All practice questions

Ahmet, Burak ve Cihan'ın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ahmet'in $4$ yıl sonraki yaşı, Burak'ın $2$ yıl önceki yaşına eşittir.
* Cihan ile Ahmet arasındaki yaş farkı, Cihan ile Burak arasındaki yaş farkının $2$ katıdır.
* Burak'ın yaşı Cihan'ın yaşından büyüktür.

Buna göre; Ahmet, Burak ve Cihan'ı doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye doğru sıralama Burak, Cihan, Ahmet şeklindedir.

Kişilerin yaşları incelendiğinde Burak'ın Ahmet'ten

6

yaş büyük olduğu (

B = A + 6

) ve Cihan'ın yaşının bu iki kişinin yaşları arasında kaldığı (

A < C < B

) görülür. İlgili denklem çözüldüğünde Cihan'ın yaşı

C = A + 4

olarak bulunur. Yaş sıralaması küçükten büyüğe Ahmet, Cihan, Burak şeklinde olduğundan; doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye doğru sıralama, en yaşlıdan en gence doğru yani Burak, Cihan, Ahmet şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Ahmet'in bugünkü yaşına

A

, Burak'ın bugünkü yaşına

B

denilerek aralarındaki ilişkiyi belirten denklem kurulur.

A + 4 = B - 2 \implies B = A + 6

elde edilir. Bu durum Burak'ın Ahmet'ten

6

yaş büyük olduğunu gösterir.

Birinci öncülde verilen ya�� ilişkisini cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Cihan'ın bugünkü yaşına

C

denilerek, Cihan'ın diğer kişilerle olan yaş farkları mutlak değerce yazılır ve aralarındaki oran denklemi kurulur.

|C - A| = 2 \cdot |C - B|

denklemi elde edilir.

İkinci öncülde belirtilen yaş farkları oranını denkleme dökmek için.

3

Burak'ın Cihan'dan büyük olduğu (

B > C

) bilgisi kullanılarak Cihan'ın yaşının Ahmet ve Burak'a göre konumu analiz edilir.

Cihan'ın yaşı Ahmet'ten küçük olsaydı (

C < A

), Burak ile arasındaki yaş farkı Ahmet ile arasındaki yaş farkından büyük olacağından

|C - A| < |C - B|

olurdu ve bu durum eşitlikle çelişirdi. Benzer şekilde, Cihan'ın yaşı Burak'tan büyük olsaydı (

C > B

) üçüncü öncülle çelişirdi. Dolayısıyla

A < C < B

olmalıdır.

Mutlak değerlerin işaretini belirlemek ve yaş sıralamasını bulabilmek için.

4

A < C < B

eşitsizliğine göre mutlak değerler kaldırılarak denklem çözülür.

C - A = 2(B - C)

denkleminde

B = A + 6

yazıldığında

C - A = 2(A + 6 - C) \implies 3C = 3A + 12 \implies C = A + 4

bulunur.

Cihan'ın yaşının Ahmet cinsinden değerini bulmak için.

5

Bulunan yaş ifadeleri karşılaştırılarak yaş sıralaması oluşturulur ve doğum yılı sıralamasına dönüştürülür.

Yaşlar

A < A + 4 < A + 6

şeklinde olduğundan yaş sıralaması Ahmet < Cihan < Burak şeklindedir. Yaşı daha büyük olanın doğum yılı daha eski olacağı için doğum yılına göre eskiden yeniye sıralama Burak, Cihan, Ahmet olur.

Yaş sıralaması ile doğum yılı sıralaması arasındaki ters orantı ilişkisini uygulamak için.

Key Concept

Yaş Problemleri

Question 202Question →

Deniz, Ege ve Fırat isimli üç arkadaşın yaşları ve doğum yıllarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Deniz, Ege'den $4$ yaş büyüktür.
* Fırat, Deniz'in bugünkü yaşına geldiğinde Ege $22$ yaşında olacaktır.
* Bu üç kişinin bugünkü yaşları toplamı $46$ 'dır.

Buna göre; Deniz, Ege ve Fırat'ın doğum yıllarının en eskiden en yeniye (kronolojik olarak ilk doğandan son doğana) doğru sıralanışını belirleyiniz.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğum yıllarının en eskiden en yeniye doğru sıralanışı Deniz, Ege ve Fırat şeklindedir.

Deniz, Ege ve Fırat'ın bugünkü yaşları sırasıyla 19, 15 ve 12 olarak bulunur. Bir kişinin bugünkü yaşı ne kadar büyükse doğum yılı o kadar eskiye dayanır (yani sayısal olarak daha küçüktür). Bu durumda en büyük olan Deniz en eski doğum yılına, en küçük olan Fırat ise en yeni doğum yılına sahiptir. Dolayısıyla doğum yıllarının en eskiden en yeniye sıralanışı sırasıyla Deniz, Ege ve Fırat şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Deniz (

d

), Ege (

e

) ve Fırat'ın (

f

) bugünkü yaşlarını gösteren değişkenler tanımlayıp verilen ilişkileri denklem olarak yazalım.

Deniz, Ege'den 4 yaş büyük olduğu için:

d = e + 4

Üçünün bugünkü yaşları toplamı 46 olduğu için:

d + e + f = 46

Fırat'ın Deniz'in yaşına gelmesi için geçen süre

d - f

yıldır. Bu süre geçtiğinde Ege'nin yaşı

e + (d - f) = 22

olur.

Sözel olarak verilen yaş ilişkilerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için.

2

d = e + 4

eşitliğini kullanarak diğer iki denklemdeki

d

değişkeni yerine

e + 4

yazalım ve sistemi iki bilinmeyenli hale getirelim.

Yaşlar toplamı denklemi:

(e + 4) + e + f = 46 \Rightarrow 2e + f = 42

elde edilir.
Ege'nin gelecekteki yaşı denklemi:

e + (e + 4) - f = 22 \Rightarrow 2e - f = 18

elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltarak denklem sistemini çözülebilir kılmak için.

3

Elde edilen

2e + f = 42

ve

2e - f = 18

denklemlerini taraf tarafa toplayarak

e

,

f

ve

d

değerlerini hesaplayalım.

Taraf tarafa topladığımızda:

4e = 60 \Rightarrow e = 15

bulunur.

2(15) + f = 42 \Rightarrow f = 12

bulunur.

d = 15 + 4 \Rightarrow d = 19

bulunur.
Kişilerin bugünkü yaşları: Deniz 19, Ege 15, Fırat 12'dir.

Her bir kişinin bugünkü kesin yaşını bulmak için.

4

Yaşları bilinen kişilerin doğum yıllarını kıyaslayarak en eskiden en yeniye doğru sıralayalım.

Bugünkü yaşı en büyük olan kişinin doğum yılı en eskidendir. Yaş sıralaması

19 > 15 > 12

(Deniz > Ege > Fırat) olduğundan, doğum yılı sıralaması en eskiden en yeniye doğru Deniz, Ege ve Fırat şeklindedir.

Yaş ile doğum yılı arasındaki ters orantılı ilişkiyi kullanarak nihai sıralamayı bulmak için.

Key Concept

Yaş problemlerinde yaş farkının zamana göre değişmezliği ve yaş ile doğum yılı arasındaki ters yönlü ilişki.

Estimated Time:2m 0s

Question 203Question →

Bir manavda bulunan üç farklı elektronik tartının ölçüm hataları şu şekildedir:

* A tartısı, üzerine konulan bir cismin ağırlığını gerçek ağırlığından $3\text{ kg}$ eksik göstermektedir.
* B tartısı, üzerine konulan bir cismin ağırlığını gerçek ağırlığından $2\text{ kg}$ fazla göstermektedir.
* C tartısı, üzerine konulan bir cismin ağırlığını gerçek ağırlığının $2$ katı olarak göstermektedir.

Ağırlıkları sırasıyla $x$ , $y$ ve $z\text{ kg}$ olan üç karpuzdan; $x$ karpuzu A tartısında, $y$ karpuzu B tartısında, $z$ karpuzu C tartısında tartıldığında üç tartıda da ekranda $12\text{ kg}$ değeri okunmuştur.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ ağırlıklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Gerçek ağırlıklar küçükten büyüğe doğru

z

,

y

,

x

şeklinde sıralanır.

Tartılardaki hata payları tersine çevrilerek karpuzların gerçek ağırlıkları sırasıyla

z = 6\text{ kg}

,

y = 10\text{ kg}

ve

x = 15\text{ kg}

olarak hesaplanır. Bu değerler küçükten büyüğe doğru sıralandığında doğru sıralama

z

,

y

,

x

olur.

Step-by-Step Solution

1

x

karpuzunun gerçek ağırlığını bulmak için denklem kurulur.

x - 3 = 12 \Rightarrow x = 15\text{ kg}

A tartısı gerçek ağırlıktan

3\text{ kg}

eksik gösterdiği için ölçülen değere

3

eklenerek gerçek ağırlık bulunur.

2

y

karpuzunun gerçek ağırlığını bulmak için denklem kurulur.

y + 2 = 12 \Rightarrow y = 10\text{ kg}

B tartısı gerçek ağırlıktan

2\text{ kg}

fazla gösterdiği için ölçülen değerden

2

çıkarılarak gerçek ağırlık bulunur.

3

z

karpuzunun gerçek ağırlığını bulmak için denklem kurulur.

2z = 12 \Rightarrow z = 6\text{ kg}

C tartısı gerçek ağırlığın

2

katını gösterdiği için ölçülen değer

2

'ye bölünerek gerçek ağırlık bulunur.

4

Elde edilen gerçek ağırlık değerleri karşılaştırılarak sıralanır.

6 < 10 < 15 \Rightarrow z < y < x

Karpuzların gerçek ağırlıkları sırasıyla

6\text{ kg}

,

10\text{ kg}

ve

15\text{ kg}

olduğundan küçükten büyüğe doğru

z < y < x

sıralaması elde edilir.

Key Concept

Ters işlem mantığı kullanarak değişkenlerin gerçek değerlerini bulma ve sıralama yapma.

Estimated Time:1m 0s

Question 204Question →

Hacimleri yeterince büyük olan $A$ , $B$ ve $C$ kaplarında sırasıyla $V_A$ , $V_B$ ve $V_C$ litre su bulunmaktadır. Bu kaplardaki su miktarları üzerinde sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanıyor:

* $A$ kabındaki suyun $\frac{1}{3}$ 'ü $B$ kabına aktarılıyor.
* Ardından, $B$ kabında biriken suyun $\frac{1}{4}$ 'ü $C$ kabına aktarılıyor.
* Son olarak, $C$ kabında biriken suyun $\frac{1}{5}$ 'i $A$ kabına aktarılıyor.

Bu adımların sonucunda kaplardaki su miktarları birbirine eşitlendiğine göre; başlangıçtaki su miktarları olan $V_A$ , $V_B$ ve $V_C$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Başlangıçtaki su miktarlarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı

V_C < V_B < V_A

şeklindedir.

Son durumdan geriye doğru gidildiğinde kaplardaki başlangıç su miktarları sırasıyla

V_C = \frac{22}{24}x

,

V_B = \frac{23}{24}x

ve

V_A = \frac{27}{24}x

olarak elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında doğru sıralamanın

V_C < V_B < V_A

olduğu açıkça görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Son durumdan geriye doğru gitmek için son durumda her bir kaptaki su miktarına

x

diyelim.

Kaplardaki son su miktarları:

A = x

,

B = x

,

C = x

. Toplam su miktarı:

3x

litre.

Geriye doğru izlenecek adımlarda ortak bir değişken tanımlamak işlemleri kolaylaştırır.

2

3. adımdan geriye doğru gidelim:

C

kabındaki suyun

\frac{1}{5}

'i

A

'ya aktarıldığında

C

'de

x

litre su kalmıştır.

C

'de kalan su:

\frac{4}{5} \cdot C_{\text{önce}} = x \Rightarrow C_{\text{önce}} = \frac{5}{4}x

olur. Aktarılan miktar:

\frac{1}{4}x

olur. Bu durumda 3. adımdan önce

A

'da

x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x

su vardır.

B

ise bu adımdan etkilenmediği için

x

su barındırır.

3. adımdaki aktarım öncesi durum belirlenerek bir önceki adıma geçiş sağlanır.

3

2. adımdan geriye doğru gidelim:

B

kabındaki suyun

\frac{1}{4}

'ü

C

'ye aktarıldığında

B

'de

x

litre su kalmıştır.

B

'de kalan su:

\frac{3}{4} \cdot B_{\text{önce}} = x \Rightarrow B_{\text{önce}} = \frac{4}{3}x

olur. Aktarılan miktar:

\frac{1}{3}x

olur. Bu durumda 2. adımdan önce

C

'de

\frac{5}{4}x - \frac{1}{3}x = \frac{11}{12}x

su vardır.

A

ise bu adımdan etkilenmediği için

\frac{3}{4}x

su barındırır.

2. adımdaki aktarım öncesi kaplardaki su miktarları hesaplanır.

4

1. adımdan geriye doğru giderek başlangıç durumunu bulalım:

A

kabındaki suyun

\frac{1}{3}

'ü

B

'ye aktarıldığında

A

'da

\frac{3}{4}x

su kalmıştır.

A

'da kalan su:

\frac{2}{3} \cdot V_A = \frac{3}{4}x \Rightarrow V_A = \frac{9}{8}x

olur. Aktarılan miktar:

\frac{3}{8}x

olur. Başlangıçta

B

kabında

V_B = \frac{4}{3}x - \frac{3}{8}x = \frac{23}{24}x

su vardır.

C

ise ilk adımdan etkilenmediği için

V_C = \frac{11}{12}x

su barındırır.

Başlangıçtaki

V_A

,

V_B

ve

V_C

miktarları

x

cinsinden elde edilir.

5

Bulunan başlangıç değerlerini ortak paydada (

24

paydasında) yazarak karşılaştıralım.

V_A = \frac{27}{24}x

,

V_B = \frac{23}{24}x

ve

V_C = \frac{22}{24}x

olarak bulunur. Buradan

V_C < V_B < V_A

sıralaması elde edilir.

Rasyonel sayıları kolayca sıralayabilmek için paydaları eşitlenir.

Key Concept

Ters işlem mantığı kullanarak adım adım geriye doğru gitme ve rasyonel sayılarda sıralama.

Alternative Method

Son durumdaki su miktarı olan

x

yerine işlem kolaylığı açısından

24k

seçilerek kesirli sayılarla uğraşmadan tam sayılar üzerinden geriye doğru gidilebilir. Bu durumda son durum

A=24k

,

B=24k

,

C=24k

olur. 3. adım öncesi

C = 30k

,

A = 18k

olur. 2. adım öncesi

B = 32k

,

C = 22k

olur. 1. adım öncesi yani başlangıçta

A = 27k

,

B = 23k

,

C = 22k

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 205Question →

Kütleleri birbirinden farklı olan $K$ , $L$ , $M$ ve $N$ kutuları eşit kollu bir teraziyle tartıldığında aşağıdaki durumlar elde edilmiştir:

- Terazinin bir kefesine $K$ , diğer kefesine $L$ kutusu konulduğunda $L$ kutusunun bulunduğu kefe daha ağır gelmiştir.
- Terazinin bir kefesine $K$ ve $L$ , diğer kefesine $M$ ve $N$ kutuları birlikte konulduğunda terazi dengeye gelmiştir.
- Terazinin bir kefesine $K$ ve $N$ , diğer kefesine $L$ ve $M$ kutuları birlikte konulduğunda $K$ ve $N$ kutularının bulunduğu kefe daha ağır gelmiştir.

Buna göre; $K$ , $L$ , $M$ ve $N$ kutularının kütlelerini en hafif olandan en ağır olana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Kutuların hafiften ağıra doğru sıralaması

M < K < L < N

şeklindedir.

Doğru sıralama elde edilirken terazinin dengede olma ve ağır gelme durumları cebirsel olarak modellenmiştir.

K + L = M + N

ve

K + N > L + M

bağıntıları ortak çözüldüğünde

N > L

olduğu kesinleşir. Bu bilgi kullanılarak

K > M

olduğu bulunur.

K < L

verisiyle birleştirildiğinde

M < K < L < N

sıralamasına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Terazi durumlarını matematiksel eşitlik ve eşitsizlik olarak ifade edin.

K < L

(1. durum),

K + L = M + N

(2. durum) ve

K + N > L + M

(3. durum) bağıntıları elde edilir.

Problemdeki sözel bilgileri cebirsel olarak analiz edebilmek için.

2

Eşitlik ve eşitsizliği kullanarak

N

ve

L

arasındaki ilişkiyi belirleyin.

K + L = M + N \implies K - M = N - L

olur. Üçüncü bağıntıda

K - M > L - N

yazılıp yerine konursa

N - L > L - N \implies 2(N - L) > 0 \implies N > L

elde edilir.

Kutuların kütleleri arasındaki bağıntıyı sadeleştirip tek değişkenli eşitsizlik elde etmek için.

3

K

ve

M

arasındaki ilişkiyi belirleyin.

N > L

olduğundan

N - L > 0

olur. Bu durumda

K - M = N - L

eşitliğinden

K - M > 0 \implies K > M

bulunur.

K

ve

M

kutularının kütlelerini birbiriyle kıyaslayabilmek için.

4

Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirerek kesin sıralamayı oluşturun.

M < K

olduğunu biliyoruz. Ayrıca ilk durumdan

K < L

ve ikinci adımdan

L < N

olduğunu bulduk. Bunları birleştirdiğimizde

M < K < L < N

sıralaması elde edilir.

En hafiften en ağıra doğru doğru sıralamayı tamamlamak için.

Key Concept

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri ile Rutin Olmayan Problemler Çözümü

Question 206Question →

Kerem, Mert ve Nihal'in bugünkü yaşlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kerem'in doğum yılı, Mert'in doğum yılından $3$ fazladır.
* Nihal'in bugünkü yaşı, Kerem ile Mert'in bugünkü yaşları farkının $5$ katıdır.
* Nihal, $4$ yıl önce doğmuş olsaydı bugünkü yaşı Kerem'in bugünkü yaşına eşit olacaktı.

Buna göre, bu üç arkadaşı bugünkü yaşlarına göre büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Mert, Kerem, Nihal sıralaması doğrudur. Mert 22, Kerem 19, Nihal ise 15 yaşındadır.

Mert'in yaşı 22, Kerem'in yaşı 19 ve Nihal'in yaşı 15 olarak bulunduğundan, en büyükten en küçüğe sıralama Mert, Kerem ve Nihal şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Kerem ve Mert'in yaş farkını belirleme

Kerem'in doğum yılı Mert'in doğum yılından

3

fazla olduğuna göre, Mert Kerem'den

3

yıl önce doğmuştur. Bu durumda Mert, Kerem'den

3

yaş büyüktür ve aralarındaki yaş farkı her zaman

3

'tür.

İki kişinin doğum yılları arasındaki fark, yaşları farkına eşittir.

2

Nihal'in bugünkü yaşını hesaplama

Kerem ile Mert'in yaş farkı

3

olduğuna göre, Nihal'in bugünkü yaşı

3 \times 5 = 15

olur.

Nihal'in yaşı, Kerem ile Mert'in yaş farkının

5

katı olarak tanımlanmıştır.

3

Kerem'in bugünkü yaşını hesaplama

Nihal

4

yıl önce doğmuş olsaydı yaşı

15 + 4 = 19

olacaktı. Bu durumda Kerem'in bugünkü yaşı

19

'dur.

Daha önce doğmuş olmak bugünkü yaşı doğum yılı farkı kadar artırır.

4

Mert'in bugünkü yaşını hesaplama

Mert, Kerem'den

3

yaş büyük olduğuna göre Mert'in bugünkü yaşı

19 + 3 = 22

olur.

İlk adımda bulduğumuz yaş farkı bağıntısını Kerem'in yaşına uygularız.

5

Yaşları büyükten küçüğe doğru sıralama

Mert (

22

) > Kerem (

19

) > Nihal (

15

)

Elde edilen yaş değerleri karşılaştırılarak sıralama oluşturulur.

Key Concept

Yaş farkının zamanla değişmemesi ve doğum yılı ile yaş arasındaki ters orantı ilişkisi.

Question 207Question →

Üzerinde $1$ 'den $7$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların yazılı olduğu $7$ kartın bulunduğu bir torbadan Ahmet, Berk ve Can sırasıyla ikişer kart çekmiş ve torbada $1$ kart kalmıştır. Bu kişilerin çektikleri kartlar ve torbada kalan kartla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Can'ın çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir tek sayıdır.
* Ahmet'in çektiği kartlardaki sayıların toplamı, Berk'in çektiği kartlardaki sayıların toplamının $2$ kat��dır.
* Ahmet'in çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir çift sayıdır.
* Torbada kalan son kartın üzerindeki sayı bir çift sayıdır.

Buna göre; Ahmet, Berk ve Can'ın çektikleri kartlardaki sayıların toplamını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Berk'in çektiği kartlardaki sayıların toplamı < Ahmet'in çektiği kartlardaki sayıların toplamı < Can'ın çektiği kartlardaki sayıların toplamı

Verilen koşullara göre kalan kart

4

, Can'ın kartları

\{5, 7\}

(toplamı

12

), Ahmet'in kartları

\{2, 6\}

(toplamı

8

) ve Berk'in kartları

\{1, 3\}

(toplamı

4

) olarak tek bir şekilde dağıtılabilir. Bu durumda kart toplamlarının küçükten büyüğe sıralaması Berk, Ahmet, Can şeklinde olur.

Step-by-Step Solution

1

Can'ın kartlarının tek veya çift olma durumunu belirleme

Can'ın çektiği iki kart da tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.

2

Kalan kartın ve Ahmet'in kartlarının çarpım durumunu inceleme

Kalan kartın çift sayı olduğu ve Ahmet'in çektiği kartların çarpımının çift sayı (yani en az birinin çift) olduğu belirlenir.

Soruda kalan kartın çift sayı, Ahmet'in kartlarının çarpımının ise çift sayı olduğu doğrudan verilmiştir.

3

Tüm koşulları sağlayan kart dağılımını bulma

Kalan kart

4

, Ahmet'in kartları

\{2, 6\}

, Berk'in kartları

\{1, 3\}

ve Can'ın kartları

\{5, 7\}

'dir.

Toplamı

28 - 4 = 24

olan kartlar arasından Can'a iki tek sayı verildiğinde (

\{5, 7\}

), Ahmet'in toplamı Berk'in toplamının

2

katı olacak ve Ahmet'in kartlarının çarpımı çift sayı olacak şekilde tek bir çözüm mevcuttur.

4

Kişilerin kartlarının toplamını bularak sıralama yapma

Berk'in toplamı

4

, Ahmet'in toplamı

8

ve Can'ın toplamı

12

olup sıralama Berk < Ahmet < Can şeklindedir.

Elde edilen toplamlar karşılaştırıldığında en küçük toplam Berk'e, en büyük toplam ise Can'a aittir.

Key Concept

Rutin Olmayan Problemler

Estimated Time:2m 0s

Question 208Question →

Analitik düzlemde bulunan $A$ , $B$ ve $C$ karıncaları başlangıçta sırasıyla $A(1, 3)$ , $B(2, 2)$ ve $C(3, 1)$ noktalarındadır. Bu karıncalar sadece eksenlere paralel olarak sağa veya yukarı doğru hareket edebilmektedir.

- $A$ karıncası toplam 4 birim yol alarak $A'$ noktasına,
- $B$ karıncası toplam 5 birim yol alarak $B'$ noktasına,
- $C$ karıncası toplam 6 birim yol alarak $C'$ noktasına

ulaşıyor. Her karınca ulaştığı noktanın koordinatları çarpımını ( $x \cdot y$ ) en büyük yapacak şekilde hareket etmektedir.

Buna göre, karıncaların ulaştıkları noktaların koordinatları çarpımının alabileceği en büyük değerlerin ( $P_A$ , $P_B$ ve $P_C$ ) en küçükten en büyüğe doğru sıralanışını belirleyiniz.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Karıncaların ulaştığı noktaların koordinatları çarpımının en büyük değerlerinin sıralaması

P_A < P_B < P_C

şeklindedir.

Karıncaların ulaştığı noktaların koordinatları çarpımının alabileceği en büyük değerler sırasıyla

P_A = 16

,

P_B = 20

ve

P_C = 25

olarak hesaplanır. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralaması

P_A < P_B < P_C

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

A

karıncasının alabileceği en büyük koordinat çarpımını hesaplama.

A(1, 3)

noktasından başlayıp sağa

u

birim, yukarı

v

birim gidildiğinde (

u+v=4

,

u,v \geq 0

) yeni nokta

A'(1+u, 3+v)

olur. Koordinatlar çarpımı

P_A = (1+u)(3+v) = (1+u)(7-u)

ifadesidir. Bu çarpımın en büyük değeri, çarpanların birbirine en yakın (eşit) olduğu durumda yani

1+u=4

ve

7-u=4

(

u=3

) iken

4 \times 4 = 16

olarak elde edilir.

Toplamı sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine olabildiğince yakın olmalıdır.

2

B

karıncasının alabileceği en büyük koordinat çarpımını hesaplama.

B(2, 2)

noktasından başlayıp sağa

u

birim, yukarı

v

birim gidildiğinde (

u+v=5

,

u,v \geq 0

) yeni nokta

B'(2+u, 2+v)

olur. Koordinatlar çarpımı

P_B = (2+u)(2+v) = (2+u)(7-u)

ifadesidir. Bu çarpımın en büyük değeri, çarpanların toplamı 9 olduğundan birbirine en yakın iki tam sayı olan

4

ve

5

(

u=2

veya

u=3

) seçildiğinde

4 \times 5 = 20

olarak elde edilir.

Toplamı 9 olan iki tam sayının çarpımı en fazla bu sayılar 4 ve 5 seçildiğinde elde edilir.

3

C

karıncasının alabileceği en büyük koordinat çarpımını hesaplama.

C(3, 1)

noktasından başlayıp sağa

u

birim, yukarı

v

birim gidildiğinde (

u+v=6

,

u,v \geq 0

) yeni nokta

C'(3+u, 1+v)

olur. Koordinatlar çarpımı

P_C = (3+u)(1+v) = (3+u)(7-u)

ifadesidir. Bu çarpımın en büyük değeri, çarpanların toplamı 10 olduğundan birbirine eşit (

u=2

için

5

ve

5

) seçildiğinde

5 \times 5 = 25

olarak elde edilir.

Toplamı 10 olan iki sayının çarpımı en fazla bu sayılar birbirine eşit (5 ve 5) seçildiğinde elde edilir.

4

Elde edilen en büyük değerleri karşılaştırma ve sıralama.

P_A = 16

,

P_B = 20

ve

P_C = 25

değerleri karşılaştırıldığında

16 < 20 < 25

sıralaması bulunur.

Bulunan sayısal değerlerin büyüklük ilişkisi doğrudan karşılaştırılarak sıralama tamamlanır.

Key Concept

Koordinat düzleminde hareket kısıtlamalarını kullanarak yeni noktaları modelleme ve toplamları sabit olan terimlerin çarpımını maksimize etme.

Estimated Time:2m 0s

Question 209Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan Aslı, Burak ve Ceyda'nın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Aslı, Burak'tan büyüktür ve Aslı'nın bugünkü yaşı, Burak'ın bugünkü yaşının $2$ katından $15$ eksiktir.
* Aslı ile Burak'ın yaşları farkı, Ceyda'nın bugünkü yaşının üçte birine eşittir.
* Ceyda, Burak'tan daha küçüktür.

Buna göre; Aslı, Burak ve Ceyda'nın bugünkü yaşlarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Yaşların küçükten büyüğe doğru sıralaması: Ceyda'nın bugünkü yaşı < Burak'ın bugünkü yaşı < Aslı'nın bugünkü yaşı şeklindedir.

Verilen bilgiler doğrultusunda yaşlar arasında

A = 2B - 15

ve

C = 3B - 45

bağıntıları kurulur. Ceyda'nın Burak'tan küçük olma koşulu (

C < B

) ve Aslı'nın Burak'tan büyük olma koşulu (

A > B

) birleştirildiğinde Burak'ın yaşı için

15 < B < 22,5

aralığı elde edilir. Bu aralıkta seçilen her değer için en küçük yaş Ceyda'ya, en büyük yaş ise Aslı'ya ait olur. Dolayısıyla doğru sıralama Ceyda < Burak < Aslı şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Kişilerin yaşlarını değişkenlerle ifade edip birinci bilgiyi denkleme dönüştürmek.

Aslı'nın yaşı

A

, Burak'ın yaşı

B

olsun. Aslı, Burak'tan büyük olduğu için

A > B

'dir. Verilen bilgiye göre

A = 2B - 15

denklemi elde edilir.

Kişiler arasındaki yaş bağıntılarını matematiksel olarak ifade etmek.

2

İkinci bilgiyi kullanarak Ceyda'nın yaşını Burak'ın yaşı cinsinden yazmak.

Ceyda'nın yaşı

C

olsun. Aslı ile Burak'ın yaşları farkı

A - B

olup bu fark

\frac{C}{3}

'e eşittir. Buradan

A - B = \frac{C}{3}

yazılır. İlk adımdaki

A = 2B - 15

ifadesi burada yerine yazılırsa,

(2B - 15) - B = \frac{C}{3} \Rightarrow B - 15 = \frac{C}{3} \Rightarrow C = 3B - 45

denklemi bulunur.

Tüm yaş değişkenlerini tek bir bilinmeyene (

B

) indirgeyerek karşılaştırmayı kolaylaştırmak.

3

Üçüncü bilgiyi ve yaş sınırlarını kullanarak sıralamayı belirlemek.

Ceyda, Burak'tan küçük olduğu için

C < B

olmalıdır. Buradan

3B - 45 < B \Rightarrow 2B < 45 \Rightarrow B < 22,5

elde edilir. Ayrıca Aslı'nın Burak'tan büyük olabilmesi için

A > B \Rightarrow 2B - 15 > B \Rightarrow B > 15

olmalıdır. Dolayısıyla Burak'ın yaşı

15 < B < 22,5

aralığındadır. Bu aralıktaki tüm tam sayı değerleri için sıralama değişmez: Ceyda'nın yaşı en küçük (

C

), Burak'ın yaşı ortanca (

B

) ve Aslı'nın yaşı en büyüktür (

A

).

Eşitsizlikleri çözerek yaşların büyüklük ilişkisini kesinleştirmek.

Key Concept

Yaş problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden denklemlere ve eşitsizliklere dökerek bilinmeyenler arasındaki büyüklük sıralamasını belirlemek.

Estimated Time:2m 0s

Question 210Question →

Bir arkadaş grubunda bulunan Can, Defne ve Emre'nin bugünkü yaşlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Defne, Can'dan büyüktür ve ikisinin yaşları farkı $4$ 'tür.
* Can ve Defne'den yaşça daha küçük olan Emre, Can'ın bugünkü yaşına geldiğinde Defne'nin yaşı, Emre'nin yaşının $\frac{5}{3}$ katı olacaktır.
* Can ile Defne'nin bugünkü yaşları toplamı $28$ 'dir.

Buna göre; Can, Defne ve Emre'yi bugünkü yaşlarına göre en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Bugünkü yaşlarına göre en küçükten en büyüğe doğru sıralama Emre, Can ve Defne şeklindedir.

Denklemler çözüldüğünde Emre'nin bugünkü yaşının

8

, Can'ın bugünkü yaşının

12

ve Defne'nin bugünkü yaşının

16

olduğu görülür. Bu sayısal değerler küçükten büyüğe sıralandığında doğru dizilim sırasıyla Emre, Can ve Defne olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Can ve Defne'nin bugünkü yaşlarını belirlemek için verilen bilgileri kullanarak denklem kuralım.

Can'ın bugünkü yaşı

C

, Defne'nin bugünkü yaşı

D

olsun. Yaşları farkı

4

ve Defne daha büyük olduğuna göre

D - C = 4 \implies D = C + 4

olur. Yaşları toplamı

28

olarak verildiğinden:

C + D = 28 \implies C + (C + 4) = 28 \implies 2C = 24 \implies C = 12

(Can'ın yaşı) ve

D = 12 + 4 = 16

(Defne'nin yaşı) bulunur.

Sıralama yapabilmek için öncelikle Can ve Defne'nin kesin yaşlarını bulmamız gerekir.

2

Emre'nin bugünkü yaşını bulmak için zaman ilişkisini denklem haline getirelim.

Emre'nin bugünkü ya��ı

E

olsun. Emre'nin, Can'ın bugünkü yaşına (

12

yaşına) gelmesi için geçen süre

12 - E

yıldır. Bu süre zarfında Defne de yaşlanacağından, Defne'nin yeni yaşı:

16 + (12 - E) = 28 - E

olur. Soruda bu durumdayken Defne'nin yaşının Emre'nin yaşının (

12

'nin)

\frac{5}{3}

katı olacağı belirtilmiştir:

28 - E = 12 \times \frac{5}{3} \implies 28 - E = 20 \implies E = 8

olarak bulunur.

Geçen sürenin gruptaki herkes için aynı miktarda yaş artışına sebep olacağı ilkesini uygulamak için.

3

Bulunan yaş değerlerini karşılaştırarak en küçükten en büyüğe doğru sıralayalım.

Emre

8

, Can

12

ve Defne

16

yaşındadır. Yaş değerleri arasındaki büyüklük ilişkisi

8 < 12 < 16

şeklindedir. Dolayısıyla en küçükten en büyüğe doğru sıralama Emre, Can, Defne olur.

Soruda istenen nihai sıralama kriterine ulaşmak için.

Key Concept

Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de sabit kalması ve geçen sürenin gruptaki tüm bireyler için aynı olması.

Estimated Time:2m 0s

Question 211Question →

Bir fabrikada üretilen $X$ , $Y$ ve $Z$ ürünlerinin üretim süreleri, paketleme süreleri ve teslim edilmeleri gereken son günlerin bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ürün	Üretim Süresi (Gün)	Paketleme Süresi (Gün)	Teslim Süresi (Gün)
X	1	4	9
Y	2	2	6
Z	0	3	8

Bu fabrikada ürünlerin paketlenmesiyle ilgili kurallar şöyledir:
- Ürünler üretildikleri anda paketleme sırasına girmektedir. ( $0$ . günde $Z$ ürünü hazırdır.)
- Paketleme ünitesi aynı anda yalnızca bir ürünü paketleyebilmekte ve başlanan bir paketleme işlemi bölünmeden tamamlanmaktadır.
- Paketleme ünitesi boş kaldığında, sırada bekleyen ürünler arasından teslim süresi en yakın olan ürünü paketlemeye başlar.

Buna göre; $X$ , $Y$ ve $Z$ ürünlerinin paketleme işlemlerinin tamamlandığı günleri ilk tamamlanandan son tamamlanana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Ürünlerin paketleme işlemlerinin tamamlandığı günlerin ilk tamamlanandan son tamamlanana doğru sıralaması Z, Y, X şeklindedir.

Doğru sıralama Z, Y, X şeklindedir. Çünkü Z ürünü 0. günde hazır olup 3. günde tamamlanır. 3. günde sırada hazır olan X ve Y arasından teslim tarihi daha yakın olan Y seçilir ve 5. günde tamamlanır. Son olarak X ürünü 9. günde tamamlanır.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçta (

0

. gün) hangi ürünün hazır olduğunu belirleme ve paketleme sürecini başlatma.

0

. günde sadece

Z

ürünü hazırdır (üretim süresi

0

gün).

Z

ürününün paketlenmesi

0

. günde başlar ve

3

gün sürer. Dolayısıyla

Z

ürünü

3

. günde tamamlanır.

Z

ürününün üretim süresi

0

gün olduğundan hemen sıraya girer ve ünite boş olduğundan paketlemesine başlanır.

2

Z

ürünü tamamlandığında (

3

. gün) sırada bekleyen ürünleri ve teslim sürelerini belirleme.

3

. güne kadar

X

(

1

. günde) ve

Y

(

2

. günde) üretilip sıraya girmiştir. Sırada bekleyen ürünlerden

Y

'nin teslim süresi (

6

. gün),

X

'in teslim süresinden (

9

. gün) daha yakın olduğundan

Y

ürünü paketlenmeye başlar.

Y

'nin paketlenmesi

2

gün sürer ve

5

. günde tamamlanır.

Paketleme ünitesi boşaldığında sırada bekleyenlerden teslim süresi en yakın olan tercih edilir.

3

Y

ürünü tamamlandığında (

5

. gün) kalan ürünü paketleme.

Sırada sadece

X

ürünü kalmıştır.

X

ürününün paketlenmesi

5

. günde başlar,

4

gün sürer ve

9

. günde tamamlanır.

Sırada başka ürün kalmadığı için kalan tek ürün olan

X

paketlenir.

4

Bulunan tamamlanma günlerine göre ürünleri sıralama.

Z

ürünü

3

. günde,

Y

ürünü

5

. günde,

X

ürünü ise

9

. günde tamamlanır. Bu günlerin küçükten büyüğe sıralaması

Z

,

Y

,

X

şeklindedir.

Tamamlanma sürelerinin kronolojik olarak sıralanması istenmiştir.

Key Concept

Rutin Olmayan Problemler

Estimated Time:2m 0s

Question 212Question →

Fatih, Göktuğ ve Hakan isimli üç arkadaşın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Fatih'in bugünkü yaşı, Göktuğ'nun bugünkü yaşından $4$ fazladır.
* Göktuğ ve Hakan'ın bugünkü yaşları toplamı, Fatih'in bugünkü yaşının $2$ katından $3$ eksiktir.

Buna göre; Fatih, Göktuğ ve Hakan'ı doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğum yılı en eski olan en büyük kişidir. Yapılan hesaplamalar sonucunda yaş sıralaması Hakan > Fatih > Göktuğ olarak bulunur. Bu durumda doğum yıllarının en eskiden en yeniye doğru sıralanışı Hakan, Fatih, Göktuğ şeklindedir.

Denklemler çözüldüğünde Hakan'ın Fatih'ten

1

yaş, Fatih'in ise Göktuğ'dan

4

yaş büyük olduğu görülür. Yaşı en büyük olan Hakan'ın doğum yılı en eski, yaşı en küçük olan Göktuğ'nun doğum yılı ise en yenidir. Bu nedenle doğru sıralama Hakan, Fatih, Göktuğ şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Kişilerin bugünkü yaşlarını sırasıyla

F

,

G

ve

H

olarak belirleyip ilk ifadeyi denklem haline getirelim.

F = G + 4

veya

G = F - 4

Fatih'in yaşının Göktuğ'nun yaşından

4

fazla olduğu belirtilmiştir.

2

İkinci ifadeyi denklemleştirip ilk bulduğumuz

G

değerini yerine yazarak Hakan ile Fatih arasındaki yaş ilişkisini bulalım.

G + H = 2F - 3 \implies (F - 4) + H = 2F - 3 \implies H = F + 1

Göktuğ ve Hakan'ın yaşları toplamının, Fatih'in yaşının

2

katından

3

eksik olduğu verilmiştir.

3

Kişilerin yaşlarını karşılaştırarak büyükten küçüğe sıralayalım ve doğum yılı sıralamasına geçiş yapalım.

Yaşlar arasındaki ilişki

H > F > G

şeklindedir. Dolayısıyla doğum yılı sıralaması en eskiden en yeniye Hakan, Fatih, Göktuğ şeklindedir.

Bir kişinin yaşı ne kadar büyükse doğum yılı o kadar eskidir. Bu nedenle en yaşlı olan Hakan en eski doğum yılına, en genç olan Göktuğ ise en yeni doğum yılına sahiptir.

Key Concept

Yaş problemlerinde yaş farkı ve doğum yılı arasındaki ters orantı ilişkisinin denklem kurma yöntemiyle incelenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 213Question →

Aşağıda tekrarlı permütasyon kuralları kullanılarak hesaplanabilecek $3$ farklı durum verilmiştir.

Buna göre, bu durumların gerçekleşme sayılarının en küçükten en büyüğe doğru sıralanışı nasıl olmalıdır?

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama bardak dizilimi (

10

), kelime oluşturma (

36

) ve

6

basamaklı sayı yazma (

120

) şeklindedir.

Durumların sayıları sırasıyla

10

,

36

ve

120

olarak hesaplandığından küçükten büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

4

özdeş kırmızı ve

2

özdeş beyaz bardağın beyazlar yan yana olmayacak şekilde dizilim sayısını bulmak.

10

4

özdeş kırmızı bardak yerleştirildiğinde oluşan

5

boşluğa

2

özdeş beyaz bardak

\binom{5}{2} = 10

farklı şekilde konabilir.

2

FÜZEEE

kelimesinin harfleriyle yazılabilecek,

E

ile başlayıp

E

ile bitmeyen

6

harfli kelime sayısını hesaplamak.

36

FÜZEEE

kelimesinde

6

harf vardır (

E

harfi

3

kez tekrarlamaktadır).

E

ile başlayıp

E

ile bitmeyen kelimeler için; ilk harf

E

olarak sabitlenir, son harf

E

dışında

F

,

Ü

veya

Z

olmak üzere

3

seçenekten biri olur. Kalan

4

harf (ikisi

E

olmak üzere) orta kısma

\frac{4!}{2!} = 12

şekilde dizilir. Toplam durum

3 \times 12 = 36

bulunur.

3

Rakamları farklı

6

basamaklı sayılarda tek rakamların (

1

,

3

,

5

) soldan sağa doğru artan sırada olduğu durum sayısını bulmak.

120

6

basamaktan

3

'ü tek rakamlar için

\binom{6}{3} = 20

farklı şekilde seçilir ve bu rakamlar tek bir şekilde (

1

,

3

,

5

sırasıyla) yerleştirilir. Kalan

3

basamağa çift rakamlar

3! = 6

şekilde dizilir. Toplam durum

20 \times 6 = 120

bulunur.

4

Bulunan durum sayılarını karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralamak.

10 < 36 < 120

Durum sayıları sırasıyla

10

,

36

ve

120

olduğundan en küçükten en büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Key Concept

Özdeş nesnelerin diziliminde tekrarlı permütasyon formülü ve belirli elemanların sıralama kısıtlarında kombinasyon kullanımı.

Estimated Time:2m 30s

Question 214Question →

Bir hareketlinin belirli bir zaman aralığındaki ortalama süratinin, ortalama hızının büyüklüğüne oranı $\frac{\text{ortalama sürat}}{\text{ortalama hız büyüklüğü}}$ olarak tanımlanmaktadır.

Yatay düzlemde gerçekleşen aşağıdaki üç farklı hareketi, bu hareketler için hesaplanan $\frac{\text{ortalama sürat}}{\text{ortalama hız büyüklüğü}}$ oranlarına göre en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sıralama robotun kare düzlemdeki hareketi, koşucunun dairesel pistteki hareketi ve aracın doğrusal yoldaki hareketi şeklinde olmalıdır.

Robotun kare düzlemdeki hareketinde sürat/hız oranı

\sqrt{2} \approx 1,41

, koşucunun dairesel pistteki hareketinde

\frac{\pi}{2} \approx 1,57

ve doğrusal şeritteki araç hareketinde ise

3

olarak hesaplanır. Bu oranlar küçükten büyüğe sıralandığında doğru dizi III - II - I olur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci hareket için sürat/hız oranını hesaplayınız.

Alınan toplam yol

12 + 6 = 18\text{ m}

'dir. Yer değiştirme büyüklüğü

|2 - (-4)| = 6\text{ m}

'dir. Ortalama süratin ortalama hız büyüklüğüne oranı

\frac{18}{6} = 3

olur.

Ortalama sürat al��nan yolla, ortalama hız ise yer değiştirme ile doğru orantılıdır. Süreler ortak olduğundan oran alınan yol / yer değiştirme büyüklüğüne eşit olur.

2

İkinci hareket için sürat/hız oranını hesaplayınız.

Alınan toplam yol yarım çevre uzunluğu olan

\pi r

kadardır. Yer değiştirme büyüklüğü ise ��ap olan

2r

kadardır. Ortalama süratin ortalama hız büyüklüğüne oranı

\frac{\pi r}{2r} = \frac{\pi}{2} \approx 1,57

olur.

Dairesel yörüngede alınan yol yay uzunluğuna, yer değiştirme ise ilk ve son konum arasındaki en kısa kuş uçuşu mesafeye (çapa) eşittir.

3

Üçüncü hareket için sürat/hız oranını hesaplayınız.

Alınan toplam yol iki kenar uzunluğu olan

2d

'dir. Yer değiştirme büyüklüğü köşegen uzunluğu olan

d\sqrt{2}

'dir. Ortalama süratin ortalama hız büyüklüğüne oranı

\frac{2d}{d\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41

olur.

Kare şeklindeki düzlemde iki dik kenar boyunca hareket edildiğinde yer değiştirme vektörü hipotenüs (köşegen) doğrultusundadır.

4

Elde edilen oranları karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralayınız.

Değerler karşılaştırıldığında

\sqrt{2} < \frac{\pi}{2} < 3

(

1,41 < 1,57 < 3

) olduğu görülür. Dolayısıyla doğru sıralama III - II - I şeklindedir.

Matematiksel olarak en küçük oran kare düzlemdeki harekete, en büyük oran ise doğrusal yoldaki geri dönüşlü harekete aittir.

Key Concept

Alınan yol skaler bir büyüklük olup yörüngenin toplam uzunluğudur; yer değiştirme ise son konum ile ilk konum arasındaki vektörel fark olup en kısa mesafedir. Ortalama sürat alınan yolun zamana oranı, ortalama hız ise yer değiştirme vektörünün zamana oranıdır.

Estimated Time:3m 0s

Question 215Question →

Bir laboratuvarda farklı kaplarda bulunan X, Y ve Z sıvılarının hacimleri sırasıyla aşağıda verilmiştir:

* X sıvısının hacmi: $0{}5\text{ dm}^3$
* Y sıvısının hacmi: $600\text{ cm}^3$
* Z sıvısının hacmi: $0{}002\text{ m}^3$

Buna göre; X, Y ve Z sıvılarının hacimlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Hacimlerin en küçükten en büyüğe doğru sıralanışı X, Y, Z şeklindedir.

Tüm hacim birimleri ortak bir birim olan

\text{cm}^3

cinsine çevrildiğinde, X sıvısının hacmi

500\text{ cm}^3

, Y sıvısının hacmi

600\text{ cm}^3

ve Z sıvısının hacmi

2000\text{ cm}^3

olur. Bu durumda en küçük hacim X sıvısına, en büyük hacim ise Z sıvısına ait olup sıralama X < Y < Z şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen hacim değerlerini karşılaştırabilmek amacıyla hepsini ortak bir birime (örneğin

\text{cm}^3

birimine) dönüştürün.

X sıvısı için:

0{}5\text{ dm}^3 = 0{}5 \times 1000\text{ cm}^3 = 500\text{ cm}^3

.
Y sıvısı için:

600\text{ cm}^3

(aynı kalır).
Z sıvısı için:

0{}002\text{ m}^3 = 0{}002 \times 10^6\text{ cm}^3 = 2000\text{ cm}^3

.

Farklı birimlerdeki niceliklerin büyüklük sıralamasını yapabilmek için aynı birim cinsinden ifade edilmeleri gerekir.

2

Elde edilen

\text{cm}^3

cinsinden hacim değerlerini sayısal büyüklüklerine göre küçükten büyüğe sıralayın.

500\text{ cm}^3 < 600\text{ cm}^3 < 2000\text{ cm}^3

olduğu için sıralama X < Y < Z şeklinde olur.

Sayısal de��erler doğrudan hacim büyüklüğünü temsil eder.

Key Concept

Hacim birimlerinin birbirine dönüştürülmesi (

\text{m}^3

,

\text{dm}^3

,

\text{cm}^3

)

Alternative Method

Tüm hacimleri litre (L) cinsine de çevirebiliriz.

1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}

olduğundan; X sıvısı

0{}5\text{ L}

, Y sıvısı

0{}6\text{ L}

(

600\text{ cm}^3 = 0{}6\text{ dm}^3

), Z sıvısı ise

2\text{ L}

(

0{}002\text{ m}^3 = 2\text{ dm}^3

) olur. Sıralama yine X < Y < Z şeklinde bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 216Question →

Aşağıda verilen durumların her biri için gerçekleşebilecek farklı dizilim sayılarını hesaplayarak bu durumları elde edilen sayılara göre küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sarı-lacivert boncukların dizilim sayısı (10), Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu dizilim sayısı (12) ve MASAL kelimesinin harfleriyle yazılabilecek kelime sayısı (60) şeklinde küçükten büyüğe sıralanmalıdır.

Hesaplanan dizilim sayıları sırasıyla 10, 12 ve 60'tır. Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı 10 < 12 < 60 şeklinde olduğundan doğru sıralama sarı-lacivert boncukların dizilim sayısı, Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu dizilim sayısı ve MASAL kelimesinden elde edilen kelime sayısı sırasıyla olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Özdeş 3 sarı ve özdeş 2 lacivert boncuğun dizilim sayısını hesaplayın.

Toplam boncuk sayısı

3 + 2 = 5

olduğundan, tekrarlı permütasyon formülüyle

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

farklı dizilim elde edilir.

Birinci durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.

2

Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu 4 kişinin dizilim sayısını hesaplayın.

Ceren ve Deniz bir bütün olarak kabul edilir. Bu grup ve kalan 2 kişi toplam 3 nesne oluşturur. Nesnelerin dizilimi

3! = 6

ve Ceren ile Deniz'in kendi aralarında yer değiştirmesi

2! = 2

olduğundan toplam dizilim sayısı

6 \cdot 2 = 12

olur.

İkinci durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.

3

MASAL kelimesinin harfleriyle yazılabilecek farklı kelime sayısını hesaplayın.

Kelime 5 harflidir ve 'A' harfi 2 kez tekrarlanmaktadır. Tekrarlı permütasyon formülüyle

\frac{5!}{2!} = 60

farklı dizilim elde edilir.

Üçüncü durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.

4

Ende edilen dizilim sayılarını karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayın.

10 < 12 < 60

olduğundan doğru sıralama birinci durum, ikinci durum ve üçüncü durum şeklindedir.

Soruda istenen küçükten büyüğe sıralamayı elde etmek için.

Key Concept

Permütasyon ve tekrarlı permütasyon hesaplamalarında nesnelerin özdeş olması durumunda toplam faktöriyel değerinin tekrarlayan nesne sayılarının faktöriyeline bölünmesi gerekir. Belirli nesnelerin yan yana olması istendiğinde ise bu nesneler tek bir grup olarak kabul edilir ve grubun kendi içindeki yer değişimi de hesaba katılır.

Alternative Method

Her bir durumu ayrı ayrı permütasyon formülleriyle hesaplamak yerine, olası eşleşmeleri küçük sayılar için (1. ve 2. durumlar) manuel olarak yazarak da doğrulamak mümkündür. Örneğin, 3 sarı (S) ve 2 lacivert (L) boncuk için dizilimler: SSSLL, SSLSL, SSLLS, SLSSL, SLSLS, SLLSS, LSSSL, LSSLS, LSLSS, LLSSS şeklinde yazılarak 10 adet olduğu doğrudan sayılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 217Question →

Sabit ısı veren bir kaynakla ısıtılan saf bir katı maddenin sıcaklık-zaman grafiği incelenmektedir. Bu ısıtma sürecinde gerçekleşen aşağıdaki olayları, ilk gerçekleşenden son gerçekleşene doğru kronolojik olarak sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Maddenin sıcaklığının erime noktasına kadar yükselmesi, Maddenin katı hâlden tamamen sıvı hâle geçmesi, Sıvı hâldeki maddenin sıcaklığının kaynama noktasına kadar yükselmesi, Maddenin sıvı hâlden tamamen gaz hâline geçmesi

Saf bir katının ısıtılması sürecinde önce katı sıcaklığı erime noktasına yükselir, ardından madde erir, sonra oluşan sıvı kaynama noktasına kadar ısınır ve son olarak sıvı kaynayarak gaz haline geçer. Bu nedenle doğru kronolojik sıralama katı ısınması, erime, sıvı ısınması ve kaynama şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumun belirlenmesi

Katı haldeki madde ilk olarak ısı alarak sıcaklığını erime sıcaklığına yükseltir.

Maddelerin hal değiştirebilmesi için öncelikle hal değişim sıcaklığına ulaşmaları gerekir.

2

Erime aşaması

Sıcaklığı erime noktasına ulaşan saf katı madde, erime süresince sıcaklığ�� sabit kalacak şekilde sıvı faza geçer.

Saf maddelerin hal değişimi sırasında sıcaklıkları sabit kalır.

3

Sıvı halin ısınması

Tamamen sıvı faza geçen maddenin sıcaklığı ısıtılmaya devam edildikçe kaynama noktasına kadar yükselir.

Hal değişimi tamamlandıktan sonra alınan ısı sıcaklık artışına neden olur.

4

Kaynama aşaması

Kaynama noktasına ulaşan sıvı madde, kaynama süresince sıcaklığı sabit kalacak şekilde tamamen gaz fazına geçer.

Sıvı tamamen buharlaşana kadar kaynama sıcaklığında hal değişimi devam eder.

Key Concept

Saf maddelerin ısıtılması sürecinde hal değişimi basamakları sırasıyla ısınma, erime, tekrar ısınma ve kaynamadır.

Estimated Time:45s

Question 218Question →

Bir motor yağının farklı sıcaklıklardaki viskozitelerini karşılaştırmak amacıyla bir deney yapılmaktadır. Buna göre, bu motor yağı örneklerinin belirtilen sıcaklıklardaki viskozitelerini en büyükten en küçüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Motor yağı örneklerinin belirtilen sıcaklıklardaki viskoziteleri en büyükten en küçüğe doğru

15\ ^\circ\text{C}

,

50\ ^\circ\text{C}

ve

80\ ^\circ\text{C}

şeklindedir.

Sıvıların sıcaklığı arttıkça moleküller arası çekim kuvvetlerinin etkisi zayıflar ve sıvının akmaya karşı gösterdiği direnç olan viskozite azalır. Dolayısıyla, en düşük sıcaklıkta (

15\ ^\circ\text{C}

) viskozite en yüksek, en yüksek sıcaklıkta (

80\ ^\circ\text{C}

) ise viskozite en düşüktür. Bu durum viskozitelerin en büyükten en küçüğe doğru

15\ ^\circ\text{C}

,

50\ ^\circ\text{C}

ve

80\ ^\circ\text{C}

olarak sıralanmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Sıcaklık ile viskozite arasındaki ilişkiyi belirleyin.

Sıcaklık arttıkça sıvı moleküllerinin kinetik enerjisi artar, moleküller arası çekim kuvvetlerinin etkisi azalır ve sıvı daha kolay akar. Bu nedenle sıcaklık arttıkça sıvının viskozitesi (akmaya karşı gösterdiği direnç) azalır.

Viskozitenin sıcaklıkla ters orantılı değiştiği ilkesini uygulamak gerekir.

2

Verilen sıcaklık değerlerini karşılaştırın.

Sıcaklıklar arasında

15\ ^\circ\text{C} < 50\ ^\circ\text{C} < 80\ ^\circ\text{C}

ilişkisi vardır.

Sıralamayı belirlemek için sıcaklık değerlerini küçükten büyüğe belirlemek gerekir.

3

Ters orantı ilişkisini kullanarak viskoziteleri sıralayın.

En düşük sıcaklık olan

15\ ^\circ\text{C}

'de viskozite en yüksek, en yüksek sıcaklık olan

80\ ^\circ\text{C}

'de ise viskozite en düşüktür. Sıralama en büyükten en küçüğe

15\ ^\circ\text{C} > 50\ ^\circ\text{C} > 80\ ^\circ\text{C}

şeklindedir.

Sıcaklık azaldıkça viskozitenin artması prensibine göre en büyük viskozite değeri en düşük sıcaklıkta gözlenir.

Key Concept

Sıvıların sıcaklığı arttıkça viskoziteleri azalır, akışkanlıkları artır.

Question 219Question →

Aşağıda farklı sıcaklıklarda bulunan saf su örneklerini, viskozite değerleri en yüksek olandan en düşük olana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Saf su örneklerinin viskoziteleri en yüksekten en düşüğe doğru sıralanışı:

10\ ^\circ\text{C}

sıcaklığındaki saf su,

40\ ^\circ\text{C}

sıcaklığındaki saf su ve

80\ ^\circ\text{C}

sıcaklığındaki saf su şeklindedir.

Sıcaklık ile viskozite ters orantılıdır. Sıcaklığı en düşük olan

10\ ^\circ\text{C}

'deki saf suyun tanecikleri arasındaki çekim kuvveti en etkin olduğundan akmaya karşı en fazla direnci gösterir ve viskozitesi en büyüktür. Sıcaklık

80\ ^\circ\text{C}

'ye çıktığında ise tanecikler daha hızlı hareket eder, aralarındaki çekim zayıflar, sıvı daha kolay akar ve viskozitesi en düşük seviyeye iner. Bu nedenle en yüksekten en düşüğe viskozite sıralaması

10\ ^\circ\text{C}

,

40\ ^\circ\text{C}

ve

80\ ^\circ\text{C}

şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Sıcaklık ile viskozite arasındaki teorik ilişkiyi kurmak.

Sıcaklık arttıkça sıvı taneciklerinin ortalama kinetik enerjisi artar ve tanecikler arası çekim kuvvetleri zayıflar. Bu durum sıvının akışkanlığını artırırken viskozitesini (akmaya karşı direnci) azaltır. Dolayısıyla sıcaklık ile viskozite ters orantılıdır.

Soruda verilen farklı sıcaklıklardaki aynı sıvının viskozitelerini karşılaştırmak için sıcaklık-viskozite ilişkisini bilmek gerekir.

2

Su örneklerinin sıcaklık değerlerini karşılaştırmak.

Verilen su örneklerinin sıcaklık sıralaması

10\ ^\circ\text{C} < 40\ ^\circ\text{C} < 80\ ^\circ\text{C}

şeklindedir.

Ters orantı ilişkisini uygulamak için öncelikle bağımsız değişken olan sıcaklık değerlerini küçükten büyüğe belirlemek gerekir.

3

Sıcaklık sıralamasını ters orantı kuralına göre viskozite sıralamasına dönüştürmek.

Sıcaklığı en küçük olan su örneğinin (

10\ ^\circ\text{C}

) viskozitesi en yüksek, sıcaklığı en büyük olan su örneğinin (

80\ ^\circ\text{C}

) viskozitesi ise en düşük olur. Bu durumda en yüksekten en düşüğe doğru sıralama

10\ ^\circ\text{C} > 40\ ^\circ\text{C} > 80\ ^\circ\text{C}

olarak bulunur.

Sıcaklık ve viskozite ters orantılı olduğu için sıcaklık sıralamasının tam tersi yönünde viskozite sıralaması elde edilir.

Key Concept

Sıvılarda sıcaklık arttıkça taneciklerin kinetik enerjisinin artması ve moleküller arası çekim kuvvetlerinin zayıflaması nedeniyle viskozitenin azalması.

Estimated Time:45s

Question 220Question →

Aşağıdaki sıvıların belirtilen sıcaklıklardaki akışkanlıklarını (akmaya karşı gösterdikleri direncin tersini) en fazladan en aza doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sıvıların akışkanlıklarının en fazladan en aza doğru sıralanışı: 20 °C'deki saf su > 20 °C'deki etil alkol > 50 °C'deki gliserin > 20 °C'deki gliserin şeklindedir.

Sıvıların akışkanlık sıralaması belirlenirken moleküller arası çekim kuvvetleri, molekül kütlesi/şekli ve sıcaklık faktörleri birlikte değerlendirilir. Saf su molekülü küçük olduğundan oda sıcaklığında en yüksek akışkanlığa (en düşük viskoziteye) sahiptir. Etil alkolün molekül yapısı suya göre daha büyük olduğundan viskozitesi sudan fazladır, dolayısıyla akışkanlığı daha azdır. Gliserin molekülleri ise çok sayıda hidrojen bağı içerir ve molekül kütlesi büyüktür; bu yüzden yüksek sıcaklıkta (

50\ ^\circ\text{C}

) bile su ve alkolden daha vizkozdur. Gliserinin sıcaklığı düşürüldüğünde (

20\ ^\circ\text{C}

) akışkanlığı en düşük seviyeye ulaşır.

Step-by-Step Solution

1

Gliserinin farklı sıcaklıklardaki viskozite ve akışkanlık değerlerini karşılaştırın.

Aynı sıvıda sıcaklık arttıkça taneciklerin kinetik enerjisi artar, moleküller arası çekim kuvvetlerinin etkisi zayıflar. Bu nedenle viskozite azalır, akışkanlık artar. Yani

50\ ^\circ\text{C}

'deki gliserinin akışkanlığı,

20\ ^\circ\text{C}

'deki gliserinden fazladır.

Sıcaklığın viskozite ve akışkanlık üzerindeki etkisini belirlemek.

2

20\ ^\circ\text{C}

'deki saf su ile etil alkolün akışkanlıklarını karşılaştırın.

Etil alkolün (

C_2H_5OH

) molekül kütlesi (

46\text{ g/mol}

), suyun (

H_2O

) molekül kütlesinden (

18\text{ g/mol}

) büyüktür. Molekül boyutu büyüdükçe London kuvvetleri ve moleküler temas yüzeyi artar. Bu sebeple oda sıcaklığında etil alkolün viskozitesi sudan büyüktür, yani suyun akışkanlığı etil alkolden fazladır.

Molekül büyüklüğü ve kütlesinin viskoziteye etkisini belirlemek.

3

Gliserini su ve etil alkol ile karşılaştırın.

Gliserin (

C_3H_8O_3

), molekülünde 3 adet

-OH

grubu barındırır ve yoğun şekilde hidrojen bağı kurar. Ayrıca molekül kütlesi (

92\text{ g/mol}

) diğer iki sıvıdan çok büyüktür. Bu faktörler gliserine olağanüstü yüksek bir viskozite kazandırır. Sıcaklığı

50\ ^\circ\text{C}

'ye çıkarılsa bile viskozitesi su ve etil alkolün oda sıcaklığındaki değerlerinden çok daha büyüktür. Dolayısıyla gliserinin her iki sıcaklıktaki akışkanlığı da su ve alkolden düşüktür.

Moleküller arası çekim kuvvetlerinin türü ve sayısının viskoziteye etkisini analiz etmek.

4

Elde edilen sonuçları birleştirerek akışkanlık sıralamasını oluşturun.

Akışkanlığı en fazla olan saf su (

20\ ^\circ\text{C}

), ardından etil alkol (

20\ ^\circ\text{C}

), ardından gliserin (

50\ ^\circ\text{C}

) ve akışkanlığı en az (viskozitesi en yüksek) olan gliserindir (

20\ ^\circ\text{C}

). Sıralama: saf su (

20\ ^\circ\text{C}

) > etil alkol (

20\ ^\circ\text{C}

) > gliserin (

50\ ^\circ\text{C}

) > gliserin (

20\ ^\circ\text{C}

).

Sıvıların akışkanlıklarını en fazladan en aza doğru nihai olarak sıralamak.

Key Concept

Sıvılarda viskozite (akmaya karşı direnç) ve akışkanlık; moleküller arası çekim kuvvetlerinin gücü, molekül büyüklüğü/kütlesi ve sıcaklık arttıkça değişir.

Estimated Time:2m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes