Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 questions

All types376Multiple choice189True / False46Numeric122Ordering19
Question 201Question →
Bir kahve dükkanında kullanılan dijital hassas terazi, üzerindeki nesnelerin gerçek kütlesi mm gram iken ekranda gösterdiği değeri bir yazılım hatası sebebiyle
G(m)=2m−120G(m) = 2m - 120
formülüyle hesaplamaktadır.

Bu teraziye önce boş bir kahve bardağı konuluyor ve terazinin göstergesini sıfırlamak için "dara al" tuşuna basılıyor. (Dara alma işlemi, o an ekranda görünen değerin sonraki ölçümlerden çıkarılması prensibiyle çalı��maktadır.) Ardından bardağın içine, bardağın boş kütlesinin 3 katı kütleye sahip kahve çekirdeği ekleniyor ve terazinin ekranı 180 gram değerini gösteriyor.

Buna göre, boş bardağın gerçek kütlesi kaç gramdır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Boş bardağın gerçek kütlesi 30 gramdır.
Doğru cevap 30'dur. Boş bardağın kütlesi bb gram alındığında toplam kütle 4b4b olur. Terazinin gösterdiği değerlerin farkı G(4b)−G(b)=(8b−120)−(2b−120)=6bG(4b) - G(b) = (8b - 120) - (2b - 120) = 6b olur. Buradan 6b=180  ⟹  b=306b = 180 \implies b = 30 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Boş bardağın gerçek kütlesini bb cinsinden tanımlamak
Boş bardak = bb gram, Kahve çekirdeği = 3b3b gram, Toplam kütle = 4b4b gram
Değişken belirleme ve kütleleri tek bilinmeyen türünden ifade etme
2
Hatalı terazinin boş bardak ve toplam kütle için göstereceği değerleri yazmak
Boş bardak g��stergesi = 2b−1202b - 120, Toplam kütle göstergesi = 8b−1208b - 120
Verilen G(m)G(m) fonksiyonunu kullanarak gösterge değerlerini matematiksel olarak ifade etme
3
Dara alma işlemini uygulayarak denklem kurmak
(8b−120)−(2b−120)=180(8b - 120) - (2b - 120) = 180
Dara alma mantığı gereği toplam göstergeden başlangıçtaki boş bardak göstergesinin çıkarılması
4
Kurulan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek
6b=180  ⟹  b=306b = 180 \implies b = 30
Denklemi sadeleştirerek bilinmeyeni yalnız bırakmak ve bardağın gerçek kütlesini bulmak

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Question 202Question →

Bir kargo firması, gönderilen paketlerin taşınması ücretini belirlerken iki farklı tarife seçeneği sunmaktadır:

* 1. Tarife: Sabit 2525 TL işlem ücretine ek olarak paketin her bir kilogramı için 44 TL taşıma ücreti alınmaktadır.
* 2. Tarife: Sabit ücret alınmamakta, ancak paketin her bir kilogramı için 99 TL taşıma ücreti alınmaktadır.

Bu kargo firmasıyla ağırlığı kilogram cinsinden bir pozitif tam sayı olan bir paket gönderen Ayşe, hangi tarifeyi seçerse seçsin ödeyeceği toplam tutarın aynı olacağını hesaplamıştır.

Buna göre, Ayşe'nin gönderdiği paketin ağırlığı kaç kilogramdır?

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Paketin ağırlığ�� 5 kilogramdır.
Paketin ağırlığına xx kilogram denildiğinde, 1. tarifeye göre ödenecek tutar 4x+254x + 25 TL, 2. tarifeye göre ise 9x9x TL olur. Bu iki tutar eşitlendiğinde 4x+25=9x4x + 25 = 9x denklemi elde edilir. Buradan 5x=255x = 25 ve x=5x = 5 bulunur. Bulunan değer bir pozitif tam sayı olduğundan koşula uygundur.

Step-by-Step Solution

1
Paketin ağırlığı kilogram cinsinden xx (bir pozitif tam sayı) olarak kabul edilir ve her iki tarife için toplam ücreti belirten ifadeler yazılır.
1. Tarife için ücret: 4x+254x + 25 TL
2. Tarife için ücret: 9x9x TL
Soruda verilen sözel durumun matematiksel modelini (denklemini) oluşturmak için her iki seçeneğin maliyet fonksiyonları belirlenmelidir.
2
Her iki tarifede de ödenecek toplam tutar eşit olduğu için bu iki ifade birbirine eşitlenir ve denklem kurulur.
4x+25=9x4x + 25 = 9x
Tarifelerin eşit maliyet getirdiği durumdaki ortak ağırlık değerini bulmak için denklemler eşitlenmelidir.
3
Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülür.
25=9x−4x25 = 9x - 4x
25=5x25 = 5x
x=5x = 5
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakmak için benzer terimler bir araya toplanır ve sadeleştirilir. Bulunan 5 değeri bir pozitif tam sayı olduğu için sorudaki koşulu sağlar.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi
Question 203Question →

Bir ulaşım kartı sisteminde abonelere iki farklı tarife seçeneği sunulmaktadır:

* 1. Tarife: Karta yüklenen para miktarının %20\%20'si kadar hediye bakiye karta eklenmekte ve her biniş için karttan 55 TL düşülmektedir.
* 2. Tarife: Karta yüklenen para miktarının %15\%15'i kadar hediye bakiye karta eklenmekte ve her biniş için karttan 66 TL düşülmektedir.

Mert, boş olan ulaşım kartına TL cinsinden bir tam sayı miktarında para yükleyip 1. tarifeyi tercih etmiş ve hediye bakiyesiyle birlikte kartını kullanmaya başlamışt��r. Mert, bu kartla xx adet biniş yaptıktan sonra kartta kalan bakiyenin, kartına başlangıçta yüklediği para miktarının yarısına eşit olduğunu görmüştür.

Mert, eğer kartına aynı miktar parayı yükleyip 2. tarifeyi tercih etseydi ve yine xx adet biniş yapsaydı kartında kalan bakiye 9393 TL olacaktı.

Buna göre, Mert'in başlangıçta kartına yüklediği para miktarı kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 300

Answer

Mert'in başlangıçta kartına yüklediği para miktarı 300 TL'dir.
Kart yüklemesi YY TL olsun. 1. tarifede toplam bakiye 1,2Y1,2Y, xx biniş sonrası kalan bakiye 1,2Y−5x=0,5Y1,2Y - 5x = 0,5Y olur. Buradan 0,7Y=5x0,7Y = 5x ve x=0,14Yx = 0,14Y elde edilir. 2. tarifede toplam bakiye 1,15Y1,15Y, xx biniş sonrası kalan bakiye 1,15Y−6x=931,15Y - 6x = 93 olur. xx yerine 0,14Y0,14Y yazıldığında 1,15Y−0,84Y=93  ⟹  0,31Y=93  ⟹  Y=3001,15Y - 0,84Y = 93 \implies 0,31Y = 93 \implies Y = 300 bulunur. Bu durumda Mert'in başlangıçta yüklediği para miktarı 300 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçta karta yüklenen para miktarını YY TL olarak belirleyip her iki tarife için toplam bakiye ve biniş sonrası kalan bakiye ifadelerini yazalım.
1. Tarife için başlangıç bakiyesi: Y+0,20Y=1,2YY + 0,20Y = 1,2Y TL.
2. Tarife için başlangıç bakiyesi: Y+0,15Y=1,15YY + 0,15Y = 1,15Y TL.
Yüklenen para miktarı üzerinden hediye bakiye oranları eklenerek başlangıçtaki toplam bakiyeler ifade edilmelidir.
2
1. tarifeye göre Mert xx adet biniş yaptığında (her biniş 5 TL) kalan bakiyeyi başlangıçta yüklenen paranın yarısına (0,5Y0,5Y) eşitleyen denklemi kuralım.
1,2Y−5x=0,5Y  ⟹  0,7Y=5x  ⟹  x=0,14Y1,2Y - 5x = 0,5Y \implies 0,7Y = 5x \implies x = 0,14Y
1. tarifedeki biniş ücreti ile biniş sayısı çarpılarak toplam bakiyeden çıkarılır ve başlangıç yüklemesinin yarısına eşitlenir.
3
2. tarifeye göre Mert aynı miktar para yükleyip xx adet biniş yaptığında (her biniş 6 TL) kalan bakiyenin 93 TL olduğunu gösteren denklemi kuralım.
1,15Y−6x=931,15Y - 6x = 93
2. tarifede her biniş ücreti 6 TL olduğundan, xx biniş sonrası kalan bakiyenin 93 TL olacağı belirtilmiştir.
4
İlk denklemden elde ettiğimiz x=0,14Yx = 0,14Y ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözelim.
1,15Y−6(0,14Y)=93  ⟹  1,15Y−0,84Y=93  ⟹  0,31Y=93  ⟹  Y=930,31=3001,15Y - 6(0,14Y) = 93 \implies 1,15Y - 0,84Y = 93 \implies 0,31Y = 93 \implies Y = \frac{93}{0,31} = 300 TL
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle tek bilinmeyenli birinci dereceden denkleme dönüştürerek yüklenen para miktarını buluruz.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve yerine koyma yöntemiyle çözüm yapma
Question 204Question →

Tamamen boş olan bir akıllı telefon bataryası şarj edilmeye başlandığında, bataryanın doluluk yüzdesi geçen süreyle doğru orantılı olarak artmaktadır. Bu telefonun bataryası şarj edilmeye başlandıktan 1818 dakika sonra doluluk yüzdesi 3a−63a - 6, şarj edilmeye başlandıktan 3030 dakika sonra ise doluluk yüzdesi 4a+104a + 10 olmaktadır. Buna göre, bu telefonun bataryası tamamen boşken şarj edilmeye başlandığında bataryanın tamamının dolması 3333 dakika 2020 saniye sürer.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. Telefonun bataryası tamamen boşken şarj edilmeye başlandığında tamamının dolması 33 dakika 20 saniye sürer.
Verilen ifade doğrudur çünkü bataryanın doluluk oranı ile geçen süre arasındaki doğru orantıdan kurulan 3a−618=4a+1030\frac{3a-6}{18} = \frac{4a+10}{30} denkleminin çözümü a=20a=20 değerini verir. Bu değer yerine konulduğunda telefonun dakikada %3\%3 dolduğu ve tamamının dolması için gereken sürenin 33 dakika 20 saniye olduğu kesin olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Doğru orantı ilişkisini kullanarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurun.
3a−618=4a+1030\frac{3a - 6}{18} = \frac{4a + 10}{30} denklemi elde edilir. Paydalar 6 ile sadeleştirildiğinde 3a−63=4a+105\frac{3a - 6}{3} = \frac{4a + 10}{5} olur.
Geçen süre ile doluluk yüzdesi doğru orantılı olduğundan bu iki çokluğun oranları birbirine eşit olmalıdır.
2
Elde edilen denklemi çözerek aa bilinmeyenini bulun.
İçler dışlar çarpımı yapıldığında 5(3a−6)=3(4a+10)  ⟹  15a−30=12a+30  ⟹  3a=60  ⟹  a=205(3a - 6) = 3(4a + 10) \implies 15a - 30 = 12a + 30 \implies 3a = 60 \implies a = 20 olarak bulunur.
Denklemin her iki tarafındaki terimleri düzenleyip bilinmeyeni yalnız bırakmak için.
3
Bulunan aa değerini kullanarak telefonun 1 dakikadaki şarj yüzdesini (şarj hızını) hesaplayın.
18. dakikadaki doluluk oranı 3(20)−6=%543(20) - 6 = \%54 olur. Dakikadaki şarj hızı ise 5418=%3\frac{54}{18} = \%3 olarak bulunur.
Bataryanın toplam dolma süresini bulmak için öncelikle birim zamandaki dolma miktarının bilinmesi gerekir.
4
Bataryanın tamamının (\100\100) dolması için gereken toplam süreyi bulun ve dakika/saniye cinsine çevirin.
Gereken süre 1003=3313\frac{100}{3} = 33 \frac{1}{3} dakikadır. 13\frac{1}{3} dakika, 13×60=20\frac{1}{3} \times 60 = 20 saniye olduğundan toplam süre 33 dakika 20 saniye olarak bulunur.
Kalan rasyonel süreyi saniye cinsine dönüştürerek tam zamanı belirlemek için.

Key Concept

Doğru orantı yardımıyla birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve rasyonel sayıları zaman birimlerine dönüştürme.
Estimated Time:2m 30s
Question 205Question →

Bir kargo firması, taşınacak paketlerin kg cinsinden kütlesini birer pozitif tam sayı olarak kabul etmekte ve taşıma ücretini (TL) bu kütleye göre hesaplamaktadır. Aynı kütleye sahip bir paketi bu firmanın A ve B şubelerinden göndermek isteyen bir müşteri için hesaplanan ücret tarifeleri aşağıda verilmiştir:

* A şubesi: Kütlenin 55 katının 2020 TL fazlası
* B şubesi: Kütlenin 33 katının aa TL fazlası

Müşterinin bu paketi hangi şubeden gönderirse göndersin ödeyeceği ücretin aynı olduğu bilindiğine göre, aa değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

26
Paketin kütlesi xx kg olsun. A şubesi için ücret 5x+205x + 20 TL, B şubesi için ise 3x+a3x + a TL'dir. Ücretler eşit olduğuna göre 5x+20=3x+a  ⟹  2x=a−20  ⟹  x=a−2025x + 20 = 3x + a \implies 2x = a - 20 \implies x = \frac{a - 20}{2} olur. Paketin kütlesi pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan a−202\frac{a - 20}{2} ifadesinin pozitif bir tam sayı çıkması gerekir. Bunun için a>20a > 20 ve aa değerinin çift sayı olması şarttır. Seçenekler arasında bu şartı sağlayan tek sayı 26'dır.

Step-by-Step Solution

1
Paketin kg cinsinden kütlesine xx diyelim. Sorudaki koşula göre xx bir pozitif tam sayı olmalıdır (x∈Z+x \in \mathbb{Z}^+).
x∈{1,2,3,… }x \in \{1, 2, 3, \dots\}
Kargo firması paket kütlelerini pozitif tam sayı olarak kabul etmektedir.
2
İki şubenin ücret formüllerini kütle xx cinsinden yazıp birbirine eşitleyelim.
5x+20=3x+a5x + 20 = 3x + a
Paketin her iki şubede de aynı ücrete karşılık geldiği belirtilmiştir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi xx değişkenini yalnız bırakacak şekilde çözelim.
2x=a−20  ⟹  x=a−2022x = a - 20 \implies x = \frac{a - 20}{2}
Bilinmeyeni (xx) parametre (aa) cinsinden ifade etmek için.
4
Kütle xx'in pozitif tam sayı olma koşulunu kullanarak seçenekleri inceleyelim. x=a−202x = \frac{a - 20}{2} ifadesinin pozitif tam sayı olması için a−20a - 20 ifadesi pozitif bir çift sayı olmalıdır. Dolayısıyla a>20a > 20 ve aa bir çift sayı olmalıdır.
a∈{22,24,26,28,… }a \in \{22, 24, 26, 28, \dots\}
Kökün pozitif tam sayı çıkmasını sağlayan aa değerlerini belirlemek için.
5
Seçeneklerdeki değerleri incelediğimizde bu koşulu sağlayan tek değerin 26 olduğunu görürüz.
a=26  ⟹  x=3a = 26 \implies x = 3 (pozitif tam sayı)
Doğru seçeneği belirlemek için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin elemanlarının tanımlı olduğu sayı kümelerine uygunluğunun denetlenmesi.
Question 206Question →

Bir kargo firması, gönderilen paketlerin kilogram cinsinden ağırlıklarını iki basamaklı abab sayısı olarak kaydetmekte ve taşıma ücretini bu ağırlığın basamaklarındaki rakamlara göre hesaplamaktadır. Firmanın A ve B şubelerinin ücretlendirme tarifeleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

ŞubeÜcret Hesaplama Yöntemi
A ŞubesiOnlar basamağındaki rakamın 8 katı ile birler basamağındaki rakamın 3 katının toplamına 12 TL12\text{ TL} eklenir.
B ŞubesiOnlar basamağındaki rakamın 5 katı ile birler basamağındaki rakamın 7 katının toplamına 4 TL4\text{ TL} eklenir.

Aynı paketi göndermek isteyen bir müşteri, her iki şubeden de eşit fiyat teklifi almıştır.

Paketin ağırlığı olan abab sayısı için a=b−1a = b - 1 ilişkisi olduğuna göre, bu paketin ağırlığı kaç kg'dır?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

Paketin ağırlığı 45 kg'dır.
Fiyat tekliflerinin eşitliği kurulup a=b−1a = b - 1 yerine yazıldığında, −b+5=0-b + 5 = 0 denklemi elde edilir. Buradan birler basamağı b=5b = 5 ve onlar basamağı a=4a = 4 bulunur. Bu rakamlarla oluşturulan iki basamaklı abab sayısı 45'tir.

Step-by-Step Solution

1
Şubelerin ücret formüllerini oluşturarak birbirine eşitleyin.
8a+3b+12=5a+7b+48a + 3b + 12 = 5a + 7b + 4 eşitliği kurulur. Bu eşitlik düzenlendiğinde 3a−4b+8=03a - 4b + 8 = 0 denklemi elde edilir.
Her iki şubeden alınan fiyat teklifleri birbirine eşit olduğu için formüller eşitlenmelidir.
2
a=b−1a = b - 1 ilişkisini denklemde yerine yazarak tek bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem elde edin.
3(b−1)−4b+8=0  ⟹  3b−3−4b+8=0  ⟹  −b+5=03(b - 1) - 4b + 8 = 0 \implies 3b - 3 - 4b + 8 = 0 \implies -b + 5 = 0 denklemi elde edilir.
İki bilinmeyenli denklemi çözebilmek için değişkenlerden birini diğeri cinsinden yazarak bilinmeyen sayısını bire düşürmek gerekir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bb rakamını ve ardından aa rakamını bulun.
b=5b = 5 bulunur. Buradan a=5−1=4a = 5 - 1 = 4 olarak elde edilir.
Bulunan rakamlarla paketin ağırlığı olan iki basamaklı abab sayısını oluşturmak için basamak değerleri belirlenir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme, sayı basamakları ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Question 207Question →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a<0<ba < 0 < b eşitsizliği sağlanmaktadır.
Buna göre, xx gerçel sayısı için tanımlanan
x−ba≥x−ab \frac{x - b}{a} \ge \frac{x - a}{b}
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: (−∞,a+b](-\infty, a + b]

Answer

(−∞,a+b](-\infty, a + b] aralığıdır.
Doğru cevap olan (−∞,a+b](-\infty, a + b] aralığı, eşitsizliğin her iki tarafı negatif olan abab sayısı ile çarpıldığında eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve ardından elde edilen (b−a)x≤(b−a)(b+a)(b-a)x \le (b-a)(b+a) ifadesinde pozitif olan b−ab-a değerine bölünmesiyle elde edilen x≤a+bx \le a + b eşitsizliğinden doğrudan bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a ve b sayılarının işaretlerinden yararlanarak paydaları eşitlemek için kullanılacak ab çarpımının işaretini belirleyin.
a⋅b<0a \cdot b < 0
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatiftir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafını ab ile çarpın.
b(x−b)≤a(x−a)b(x - b) \le a(x - a)
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü yön değiştirir (büyük-eşit olan işaret küçük-eşit olur).
3
Parantezleri açarak x içeren terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın.
(b−a)x≤b2−a2(b - a)x \le b^2 - a^2
bx−b2≤ax−a2bx - b^2 \le ax - a^2 ifadesinde axax sola, −b2-b^2 sağa geçirilerek ortak paranteze alınır.
4
b^2 - a^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın ve b - a ifadesinin işaretini belirleyin.
(b−a)x≤(b−a)(b+a)(b - a)x \le (b - a)(b + a) ve b−a>0b - a > 0
a<0<ba < 0 < b olduğundan b>ab > a ve dolayısıyla b−a>0b - a > 0 olur.
5
Her iki tarafı b - a pozitif sayısına bölerek x'i yalnız bırakın.
x≤a+bx \le a + b
b−a>0b - a > 0 olduğundan her iki taraf b−ab - a ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez. Buradan çözüm kümesi (−∞,a+b](-\infty, a + b] aralığı olarak bulunur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin negatif bir sayıyla çarpılması durumunda yön değiştirmesi kuralı.
Estimated Time:2m 0s
Question 208Question →

Eşit kollu bir terazi dengededir. Terazinin sol kefesinde 5 adet özdeş mavi küre ve 2 adet özdeş sarı küp; sağ kefesinde ise 2 adet özdeş mavi k��re, 6 adet özdeş sarı küp ve 90 gramlık bir kütle bulunmaktadır.

Bir mavi kürenin kütlesi, bir sarı küpün kütlesinin 2 katından 10 gram eksiktir.

Buna göre, bir mavi kürenin kütlesi kaç gramdır?

Show answer & explanation

Answer: 110

Answer

Mavi kürenin kütlesi 110 gramdır.
Terazi dengesinden yola çıkarak kurulan denklemde sarı küpün kütlesi 60 gram olarak hesaplanır. Mavi kürenin kütlesi sarı küpün kütlesinin 2 katından 10 eksik olduğuna göre 2×60−10=1102 \times 60 - 10 = 110 gram bulunur. Dolayısıyla 110 gram olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
Sarı küpün kütlesine xx dersek, mavi kürenin kütlesi 2x−102x - 10 olur.
Soruda verilen sözel kütle ilişkisini matematiksel olarak ifade etmek.
2
Terazi dengesi için denklem kurma
5(2x−10)+2x=2(2x−10)+6x+905(2x - 10) + 2x = 2(2x - 10) + 6x + 90
Sol ve sağ kefelerin kütlelerinin eşitliğini kullanarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturmak.
3
Denklemi çözme
12x−50=10x+70⇒2x=120⇒x=6012x - 50 = 10x + 70 \Rightarrow 2x = 120 \Rightarrow x = 60
Sarı küpün kütlesini bulmak amacıyla bilinmeyenleri bir tarafa toplamak.
4
Mavi kürenin kütlesini hesaplama
2(60)−10=1102(60) - 10 = 110 gram
Bulunan xx değerini mavi kürenin kütle ifadesinde yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi
Question 209Question →

Bir kütüphanedeki iki eş rafa, kalınlıkları kendi aralar��nda eşit olan mavi (MM) ve kırmızı (KK) renkli kitaplar dikey olarak, aralarında boşluk kalmayacak biçimde dizilecektir:

* Üst rafa 8 mavi ve 12 kırmızı kitap dizildiğinde rafta 16 cm16\text{ cm} boşluk kalmaktadır.
* Alt rafa 14 mavi ve 6 kırmızı kitap dizildiğinde rafta 22 cm22\text{ cm} boşluk kalmaktadır.

Bir kırmızı kitabın kalınlığı, bir mavi kitabın kalınlığının 2 katından 3 cm3\text{ cm} eksiktir.

Buna göre, boş bir rafa sadece mavi kitaplar dizilirse, rafın tamamen dolması için kaç adet mavi kitap dizilmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Boş bir rafın tamamen dolması için 27 adet mavi kitap dizilmelidir.
Rafların eş uzunlukta olması bilgisinden yola çıkılarak kurulan denklemler sadeleştirildiğinde kırmızı kitap ile mavi kitap kalınlıkları arasında k=m+1k = m + 1 bağıntısı elde edilir. Kırmızı kitabın mavi kitaptan 2 katından 3 eksik olduğu (k=2m−3k = 2m - 3) bilgisiyle bu denklem birleştirildiğinde mavi kitap 4 cm4\text{ cm}, kırmızı kitap ise 5 cm5\text{ cm} bulunur. Rafın toplam uzunluğu 108 cm108\text{ cm} olup, sadece mavi kitaplarla doldurulduğunda 108/4=27108 / 4 = 27 adet kitap gerekir.

Step-by-Step Solution

1
Her iki rafın uzunluklarını veren ifadeleri yazıp birbirine eşitlemek.
8m+12k+16=14m+6k+228m + 12k + 16 = 14m + 6k + 22 elde edilir.
Raflar eş uzunlukta olduğu için kitapların kapladığı toplam uzunluk ve boşlukların toplamı birbirine eşittir.
2
Denklemi sadeleştirerek mm ile kk arasındaki ilişkiyi bulmak.
6k−6m=6  ⟹  k−m=1  ⟹  k=m+16k - 6m = 6 \implies k - m = 1 \implies k = m + 1 bulunur.
Kırmızı ve mavi kitap kalınlıkları arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
Verilen k=2m−3k = 2m - 3 bilgisini kullanarak mm değerini çözmek.
m+1=2m−3  ⟹  m=4m + 1 = 2m - 3 \implies m = 4 ve k=5k = 5 bulunur.
Her bir kitabın cm cinsinden kalınlığını hesaplamak.
4
Kitap kalınlıklarını kullanarak rafın toplam uzunluğunu bulmak.
L=8(4)+12(5)+16=108 cmL = 8(4) + 12(5) + 16 = 108\text{ cm} bulunur.
Raf kapasitesini belirlemek.
5
Rafın tamamını doldurmak için gereken mavi kitap sayısını hesaplamak.
108/4=27108 / 4 = 27 bulunur.
Sadece mavi kitaplar kullanıldığında kaç adet yerleştirilebileceğini bulmak.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla problem çözme
Question 210Question →
Akıllı tarım yapılan bir seradaki nem kontrol sistemi, toprağın nem oranı yy (%) iken sistemin çalışma modunu belirlemektedir. Nem kontrol sisteminin "ekonomik mod"da çalışabilmesi için nem oranının
−22≤18−5y<8-22 \le 18 - 5y < 8
koşulunu sağlaması gerekmektedir.

Buna göre, sistemin ekonomik modda çalışabileceği yy nem oranının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

Sistemin ekonomik modda çalışabileceği yy nem oranının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 3333'tür.
Eşitsizliğin her tarafına −18-18 eklendikten sonra −40≤−5y<−10-40 \le -5y < -10 elde edilir. Her taraf −5-5'e bölündüğünde negatif bölmeden dolayı yön değiştirilerek 8≥y>28 \ge y > 2 (yani 2<y≤82 < y \le 8) bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 3,4,5,6,7,83, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 3333 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikten sabit terimi çıkarmak
−40≤−5y<−10-40 \le -5y < -10
1818 terimini yok etmek için eşitsizliğin her tarafına −18-18 eklenir.
2
Her tarafı −5-5'e bölerek yy değişkenini yalnız bırakmak ve eşitsizliğin yönünü değiştirmek
8≥y>28 \ge y > 2 veya 2<y≤82 < y \le 8
Negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirlemek
y∈{3,4,5,6,7,8}y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}
2<y≤82 < y \le 8 aralığındaki tam sayılar listelenir.
4
Değerlerin toplamını hesaplamak
33
Elde edilen tam sayıların toplamı bulunur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve negatif sayı ile bölme/çarpma durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Estimated Time:2m 0s
Question 211Question →
xx bir gerçel sayı ve aa bir sabit sayı olmak üzere,
(2−a)x+12>0(2 - a)x + 12 > 0
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizlikle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Eşitsizliğin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar kümesi değildir.
* x=3x = 3 değeri bu eşitsizliği sağlarken, x=5x = 5 değeri sağlamamaktadır.

Buna göre, aa sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [225,6)\left[\frac{22}{5}, 6\right)

Answer

a sayısının alabileceği en geniş değer aralığı [22/5, 6) yarı açık aralığıdır.
Doğru olan seçenekteki aralık, x'in katsayısı olan 2-a ifadesinin negatif olması gerektiği gerçeği ve negatif sayıyla yapılan çarpma/bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirme kuralları tam olarak uygulanarak elde edilmiştir. Bu aralıktaki a değerleri için sınır değeri 3 ile 5 arasında (3 hariç, 5 dahil) yer alır ve çözüm kümesi x < B şeklinde olup istenen tüm koşulları sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte x terimini yalnız bırakalım.
(2−a)x>−12(2 - a)x > -12 elde edilir. Çözüm kümesinin boş küme veya tüm gerçel sayılar olmaması için 2−a≠02 - a \neq 0 olmalıdır.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve yönünü belirleyen x'in katsayısını analiz etmek için.
2
Eşitsizliğin katsayısı olan 2 - a ifadesinin işaretini belirleyelim.
Eğer 2−a>02 - a > 0 olsaydı, her iki tarafı 2−a2-a'ya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirmez ve x>−122−ax > \frac{-12}{2-a} olurdu. Bu durumda x=3x=3 değeri eşitsizliği sağlıyorsa, 3'ten büyük olan x=5x=5 değerinin de sağlaması gerekirdi. Ancak soruda x=5x=5 değerinin sağlamadı��ı verilmiştir. Dolayısıyla 2−a<02 - a < 0 (yani a>2a > 2) olmalıdır. Bu durumda her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir ve çözüm kümesi x<−122−ax < \frac{-12}{2-a} olur.
Negatif bir sayıya bölme işleminde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını uygulamak ve çözüm kümesinin yapısını tespit etmek için.
3
Verilen x değerlerinin sağlama durumlarına göre sınır değeri için eşitsizlik yazalım.
x=3x = 3 değeri çözüm kümesinde olduğundan 3<−122−a3 < \frac{-12}{2-a} olmalıdır. x=5x = 5 değeri çözüm kümesinde olmadığından 5≥−122−a5 \ge \frac{-12}{2-a} olmalıdır. Buradan 3<−122−a≤53 < \frac{-12}{2-a} \le 5 bileşik eşitsizliği elde edilir.
Sağlayan ve sağlamayan değerlerin sınır değerine göre konumunu belirlemek için.
4
Elde edilen 3<−122−a≤53 < \frac{-12}{2-a} \le 5 eşitsizliğini a parametresi için çözelim.
2−a<02 - a < 0 olduğundan, eşitsizliğin her tarafını 2−a2-a ile çarptığımızda eşitsizlikler yön değiştirir: 3(2−a)>−12≥5(2−a)3(2-a) > -12 \ge 5(2-a) elde edilir. Buradan:
1) 6−3a>−12  ⟹  −3a>−18  ⟹  a<66 - 3a > -12 \implies -3a > -18 \implies a < 6 (negatif sayıya bölerken yön değişti).
2) −12≥10−5a  ⟹  5a≥22  ⟹  a≥225-12 \ge 10 - 5a \implies 5a \ge 22 \implies a \ge \frac{22}{5} bulunur.
Bu iki aralığın kesişimi 225≤a<6\frac{22}{5} \le a < 6 aralığıdır. Bu aralık a>2a > 2 koşulunu da sağlamaktadır.
Bilinmeyen a parametresinin sınır değerlerini bulmak için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirmesi.

Alternative Method

Eşitsizliğin sınır değerini belirleyen denklemi (2-a)x + 12 = 0 olarak düşünebiliriz. Eşitsizliği sınırlandıran kritik noktaları bulmak için x = 3 ve x = 5 değerlerini bu sınır denkleminde yerine yazabiliriz. x = 3 için 3(2-a) + 12 = 0 ise a = 6 bulunur. x = 5 için 5(2-a) + 12 = 0 ise a = 22/5 bulunur. a'nın bu sınır değerleri arasında eşitsizliğin yönü incelenerek çözüm aralığı pratik olarak belirlenebilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 212Question →

kk negatif bir gerçel sayı olmak üzere, xx, yy ve zz gerçel sayıları için

I. k⋅x>k⋅y\text{I. } k \cdot x > k \cdot y
II. yk<zk\text{II. } \frac{y}{k} < \frac{z}{k}
III. x+z<2x\text{III. } x + z < 2x

eşitsizlikleri verilmektedir. Buna göre; xx, yy ve zz sayıların�� küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı z < x < y şeklindedir.
Verilen eşitsizliklerde negatif olan kk sayısı ile yapılan çarpma ve bölme işlemlerinde eşitsizlik yön değiştirir. Birinci öncülden x<yx < y, ikinci öncülden y>zy > z elde edilir. Üçüncü öncülden ise z<xz < x bulunur. Bu üç bilgi birleştirildiğinde z<x<yz < x < y sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
k⋅x>k⋅yk \cdot x > k \cdot y eşitsizliğinin her iki tarafını negatif olan kk sayısına bölünüz.
x<yx < y elde edilir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
2
yk<zk\frac{y}{k} < \frac{z}{k} eşitsizliğinin her iki tarafını negatif olan kk sayısı ile çarpınız.
y>zy > z elde edilir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
3
x+z<2xx + z < 2x eşitsizliğinin her iki tarafından xx çıkarınız.
z<xz < x elde edilir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.
4
Elde edilen x<yx < y, y>zy > z ve z<xz < x bağıntılarını birleştiriniz.
z<x<yz < x < y sıralamasına ulaşılır.
zz sayısı xx'ten, xx sayısı da yy'den küçük olduğu için küçükten büyüğe sıralama z,x,yz, x, y şeklinde olur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Estimated Time:1m 30s
Question 213Question →

Bir fırındaki boş ekmek sepeti ve içine konulan özdeş ekmekler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ekmeklerin her birinin ağırlığı gram cinsinden birer pozitif tam sayıdır.
* Sepete bu ekmeklerden 5 adet konulduğunda sepetin toplam ağırlığı 2400 gram2400\text{ gram} olmaktadır.
* Sepete başlangıçtaki durumdayken bu ekmeklerden 8 adet konulsaydı, sepetin toplam ağırlığı, 5 adet konulduğundaki toplam ağırlığın yarısından 1350 gram1350\text{ gram} fazla olacaktı.

Buna göre, bu ekmeklerden bir tanesinin ağırlığı kaç gramdır?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Bir ekmeğin ağırlığı 50 gramdır.
Sepete 5 ekmek konulduğundaki toplam ağırlık 2400 gramdır. Başlangıçtaki sepet 8 ekmekle doldurulduğunda toplam ağırlık, 5 ekmekli durumun yarısından (1200 gram) 1350 gram fazla yani 2550 gram olmaktadır. İki durum arasındaki fark incelendiğinde, sepet ağırlığı sabit kalırken ekmek sayısı 3 artmış ve toplam ağırlık 150 gram artmıştır. Buradan 3 ekmeğin ağırlığı 150 gram olarak bulunur. Bir ekmeğin ağırlığı ise 50 gram olarak elde edilir. Bu değer bir pozitif tam sayı olduğu için koşulu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
İkinci durumdaki toplam ağırlığı belirlemek için birinci durumdaki a��ırlığın yarısı alınır ve 1350 eklenir.
İkinci durumdaki toplam ağırlık 2550 gram olarak bulunur.
Soruda verilen 'yarısından 1350 gram fazla' ifadesini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
İki sepet arasındaki ekmek sayısı ve ağırlık farkı hesaplanır.
3 ekmek = 150 gram fark�� elde edilir.
Ekmeklerin bir tanesinin ağırlığını bulmak için doğrusal denklem kurmak amacıyla.
3
Elde edilen fark denklemi çözülerek bir ekmeğin ağırlığı bulunur.
Bir ekmeğin ağırlığı 50 gram olarak hesaplanır.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin sözel problemler yardımıyla kurulması ve çözülmesi.
Question 214Question →

Bir kütüphaneci, elindeki özdeş kitapları okulun A ve B sınıflarındaki öğrencilere dağıtacaktır. Bu dağıtımla ilgili a��ağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* A sınıfındaki öğrenci sayısı 4'tür. Bu sınıftaki her bir öğrenciye xx adet kitap verilmek istendiğinde kütüphanedeki kitap sayısı 15 adet eksik kalmaktadır.
* B sınıfındaki öğrenci sayısı 2'dir. Bu sınıftaki her bir öğrenciye, A sınıfındaki bir öğrenciye verilmesi planlanan kitap sayısının 3 fazlası kadar kitap verildiğinde kütüphanede 5 kitap artmaktadır.

Başlangıçta kütüphanede bulunan toplam kitap sayısı her iki durumda da aynı ve xx bir pozitif tam sayı olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Kitap sayısını veren denklem doğru şekilde ��özüldüğünde elde edilen 13 değeridir.
Sorudaki bilgiler doğrultusunda başlangıçtaki toplam kitap sayısı için 4x−15=2(x+3)+54x - 15 = 2(x + 3) + 5 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 2x=262x = 26 eşitliğinden x=13x = 13 olarak bulunur. Bu değer pozitif bir tam sayı olduğu için verilen tüm koşulları sağlar.

Step-by-Step Solution

1
A ve B durumları için kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren cebirsel ifadelerin yazılması.
A sınıfı için kitap sayısı: 4x−154x - 15
B sınıfı için kitap sayısı: 2(x+3)+52(x + 3) + 5
A sınıfındaki 4 öğrenciye xx kitap verildiğinde 15 kitap eksik kalmaktadır. B sınıfındaki 2 öğrenciye (x+3)(x+3) kitap verildiğinde ise 5 kitap artmaktadır.
2
Toplam kitap sayılarının eşitlenmesiyle denklemin kurulması.
4x−15=2(x+3)+54x - 15 = 2(x + 3) + 5
Her iki durumda da kütüphanedeki başlangıç kitap sayısı sabit ve birbirine eşittir.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki parantezin dağıtılması ve denklemin çözülmesi.
4x−15=2x+6+54x - 15 = 2x + 6 + 5
4x−15=2x+114x - 15 = 2x + 11
4x−2x=11+154x - 2x = 11 + 15
2x=262x = 26
x=13x = 13
Cebirsel ifade sadeleştirilerek bilinmeyen terim yalnız bırakılır. Bulunan 1313 değeri bir pozitif tam sayı olduğu için sorudaki koşulu sağlar.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi
Question 215Question →

Bir e-ticaret deposunda siparişleri paketlemek için kullanılan A ve B otomatik paketleme makineleri bulunmaktadır. Bu makinelerin çalışma hızları ve süreleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A makinesi her 2 dakikada bir sipariş paketlemektedir.
* B makinesi her 3 dakikada bir sipariş paketlemektedir.
* Depodaki yoğunluğu azaltmak için önce A makinesi çalıştırılmış, A makinesi çalışmaya başladıktan 15 dakika sonra ise B makinesi çalıştırılmıştır.
* Her iki makine de çalıştırıldıktan sonra kesintisiz çalışmış ve toplam 35 sipariş paketlendiği anda makineler aynı anda kapatılmıştır.

Buna göre, makinelerin kapatıldığı ana kadar A makinesi toplam kaç dakika çalıştırılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

A makinesinin toplam çalışma süresi 48 dakikadır.
A makinesinin toplam çalışma süresi xx dakika ise, 15 dakika geç başlayan B makinesinin çalışma süresi x−15x-15 dakika olur. A makinesi dakikada 12\frac{1}{2} sipariş, B makinesi ise dakikada 13\frac{1}{3} sipariş paketlemektedir. Toplam paketlenen sipariş sayısı olan 35'e eşitlendiğinde x2+x−153=35\frac{x}{2} + \frac{x-15}{3} = 35 denklemi elde edilir. Paydalar eşitlenip denklem çözüldüğünde 3x+2x−30=210  ⟹  5x=240  ⟹  x=483x + 2x - 30 = 210 \implies 5x = 240 \implies x = 48 dakika bulunur. Bu nedenle 48 dakika ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
A makinesinin çalışma süresi xx dakika olarak belirlenir. B makinesi, A makinesinden 15 dakika sonra çalışmaya başladığı için B makinesinin çalışma süresi x−15x - 15 dakika olarak yazılır.
A makinesinin çalışma süresi: xx dakika, B makinesinin çalışma süresi: x−15x - 15 dakika
Makinelerin çalışma süreleri arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
Makinelerin paketleme hızlarından yararlanılarak, her bir makinenin paketlediği sipariş miktarını gösteren rasyonel ifadeler oluşturulur ve toplam sipariş sayısına eşitlenir.
x2+x−153=35\frac{x}{2} + \frac{x - 15}{3} = 35
Toplam paketlenen sipariş miktarı üzerinden denklemi kurmak.
3
Elde edilen birinci dereceden rasyonel denklem çözülür. Paydalar 6 ile eşitlenir ve denklem düzenlenir: 3x+2(x−15)=210  ⟹  5x−30=210  ⟹  5x=240  ⟹  x=483x + 2(x - 15) = 210 \implies 5x - 30 = 210 \implies 5x = 240 \implies x = 48 olarak bulunur.
x=48x = 48
A makinesinin çalışma süresini bulmak.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi
Question 216Question →

Sayı doğrusu üzerinde yer alan aa ve bb gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

- aa sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı, bb sayısının başlang��ç noktasına olan uzaklığının 33 katıdır.
- aa ve bb sayıları arasındaki uzaklık 1212 birimdir.
- a⋅b<0a \cdot b < 0

Buna göre, a−ba - b farkının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

a - b farkının alabileceği en büyük değer 12'dir.
a ve b sayılarının zıt işaretli olduğu bilgisinden yola çıkarak, a - b farkının en büyük olması için a > 0 ve b < 0 seçilir. Mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulandığında a = -3b ve a - b = 12 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden b = -3 ve a = 9 bulunur. Böylece en büyük fark 9 - (-3) = 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Uzaklık tanımlarını mutlak değer cinsinden yazmak.
|a| = 3|b| ve |a - b| = 12
Bir sayının başlangıç noktasına uzaklığı mutlak değerle, iki sayı arasındaki uzaklık ise farklarının mutlak değeriyle ifade edilir.
2
Sayıların işaret durumunu ve farkın en büyük olma koşulunu analiz etmek.
a > 0 ve b < 0 olmalıdır.
a . b < 0 olduğundan sayılar zıt işaretlidir. a - b farkının en büyük olması için a'nın pozitif, b'nin ise negatif seçilmesi gerekir.
3
Mutlak değer özelliklerini kullanarak ifadeleri mutlak değer dışına çıkarmak.
|a| = a, |b| = -b dolayısıyla a = -3b; |a - b| = a - b = 12
Pozitif sayılar mutlak değer dışına aynen, negatif sayılar ise önüne eksi alarak çıkar.
4
Elde edilen denklemleri çözerek a ve b değerlerini bulmak.
b = -3 ve a = 9
a = -3b eşitliği a - b = 12 denkleminde yerine yazıldığında tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
5
a - b farkının en büyük değerini hesaplamak.
a - b = 12
Bulunan a = 9 ve b = -3 değerleri yerine yazılarak nihai fark hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusundaki geometrik anlamı ve mutlak değer dışına çıkarma özellikleri.
Question 217Question →

Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları gösterilmiştir.

bb sayısı, aa ve cc sayılarının tam ortasında yer almaktadır.

aa sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı, bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.

Buna göre,
∣a−b∣+∣b−c∣∣a+b∣+∣a+c∣\frac{|a - b| + |b - c|}{|a + b| + |a + c|}

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İfadenin değeri 2'dir.
Sayı doğrusundaki konumlara göre a<0<b<ca < 0 < b < c sıralaması mevcuttur. bb, aa ve cc'nin tam ortasında olduğundan ardışık noktalar arası uzaklık eşit olup b−a=c−b=d>0b-a = c-b = d > 0 diyebiliriz. Buradan a=b−da = b-d ve c=b+dc = b+d olur. ∣a∣>∣b∣|a| > |b| koşulundan −a>b  ⟹  d−b>b  ⟹  d>2b-a > b \implies d - b > b \implies d > 2b elde edilir. Bu durumda a−b<0a - b < 0, b−c<0b - c < 0, a+b=2b−d<0a + b = 2b - d < 0 (çünkü d>2bd > 2b) ve a+c=2b>0a + c = 2b > 0 olur. İfadeler mutlak değer dışına çıkarıldığında pay 2d2d, payda ise dd bulunur. Oranlandığında sonuç 22 çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Sayıların sayı doğrusundaki konumlarını ve aralarındaki uzaklık ilişkilerini belirleme.
Sayı doğrusunda soldan sağa doğru sıralama a<0<b<ca < 0 < b < c şeklindedir. bb sayısı aa ve cc sayılarının tam ortasında olduğundan, aa ile bb arasındaki uzaklık bb ile cc arasındaki uzaklığa eşittir. Bu uzaklığa dd (d>0d > 0) dersek; b−a=db - a = d ve c−b=dc - b = d olur. Buradan c−a=2dc - a = 2d elde edilir. Ayrıca a=b−da = b - d ve c=b+dc = b + d yazılabilir.
Mutlak değerli ifadelerin içindeki terimleri ortak bir değişken (dd) cinsinden yazarak sadeleştirme yapmak.
2
Sayıların sıfıra olan uzaklıklar�� (mutlak değerleri) arasındaki ilişkiyi kullanarak bb ve dd arasındaki eşitsizliği belirleme.
aa sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣a∣|a|, bb sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣b∣|b|'dir. Soruda ∣a∣>∣b∣|a| > |b| olduğu verilmiştir. a<0a < 0 olduğundan ∣a∣=−a|a| = -a ve b>0b > 0 olduğundan ∣b∣=b|b| = b olur. Dolayısıyla −a>b-a > b yazılır. a=b−da = b - d eşitliğini burada yerine yazarsak: −(b−d)>b  ⟹  d−b>b  ⟹  d>2b-(b - d) > b \implies d - b > b \implies d > 2b elde edilir.
a+ba+b ifadesinin işaretini kesin olarak belirleyebilmek için dd ile bb arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Mutlak değer içerisindeki her bir ifadenin işaretini belirleme.
- a<b  ⟹  a−b<0a < b \implies a - b < 0
- b<c  ⟹  b−c<0b < c \implies b - c < 0
- a+b=(b−d)+b=2b−da + b = (b - d) + b = 2b - d olur. d>2bd > 2b olduğundan 2b−d<02b - d < 0'dır. Dolayısıyla a+b<0a + b < 0 olur.
- bb sayısı aa ve cc'nin ortasında olduğundan a+c=2ba + c = 2b yazılır. b>0b > 0 olduğundan a+c>0a + c > 0 olur.
Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını doğru uygulayabilmek.
4
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarıp sadeleştirme işlemini tamamlama.
Belirlenen işaretlere göre ifadeleri mutlak değer dışına çıkaralım:
- ∣a−b∣=−(a−b)=b−a=d|a - b| = -(a - b) = b - a = d
- ∣b−c∣=−(b−c)=c−b=d|b - c| = -(b - c) = c - b = d
- ∣a+b∣=−(a+b)=d−2b|a + b| = -(a + b) = d - 2b
- ∣a+c∣=a+c=2b|a + c| = a + c = 2b

Yerine koyarsak:
∣a−b∣+∣b−c∣∣a+b∣+∣a+c∣=d+d(d−2b)+2b=2dd=2\frac{|a - b| + |b - c|}{|a + b| + |a + c|} = \frac{d + d}{(d - 2b) + 2b} = \frac{2d}{d} = 2
İfadenin en sade sayısal değerini elde etmek.

Key Concept

Mutlak değerin geometrik yorumu (uzaklık) ve mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 218Question →

Sıfırdan farklı her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği, xx ve yy sayılarının zıt işaretli olması durumunda her zaman sağlanır.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Sıfırdan farklı zıt işaretli her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| eşitsizliği her zaman doğrudur.
Zıt işaretli iki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin ayrı ayrı toplamından küçüktür. Çünkü zıt işaretli sayılar birbirini sadeleştirici (azaltıcı) etki yaparken, mutlak değerlerinin toplamında bu etki olmamakta ve daha büyük bir değer elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin zıt işaretli olması durumunu matematiksel olarak tanımlayalım.
xx ve yy sıfırdan farklı ve zıt işaretli ise, biri pozitif diğeri negatiftir. Bu durum x⋅y<0x \cdot y < 0 olarak ifade edilir.
İ��aret analizini cebirsel olarak yapabilmek için çarpımlarının işaretini belirlememiz gerekir.
2
İfadenin her iki tarafının karesini alarak karşılaştırma yapalım.
Sol tarafın karesi: ∣x+y∣2=(x+y)2=x2+2xy+y2|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Sağ tarafın karesi: (∣x∣+∣y∣)2=∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2=x2+2∣xy∣+y2(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2.
Mutlak değerli ifadeleri karşılaştırmak için karelerini almak işaret belirsizliğini ortadan kaldırır.
3
Elde edilen kareleri karşılaştıralım.
x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğundan, xy<∣xy∣xy < |xy| olur. Bu nedenle, x2+2xy+y2<x2+2∣xy∣+y2x^2 + 2xy + y^2 < x^2 + 2|xy| + y^2 eşitsizliği yazılır. Buradan ∣x+y∣2<(∣x∣+∣y∣)2|x + y|^2 < (|x| + |y|)^2 ve dolayısıyla ∣x+y∣<∣x∣+∣y∣|x + y| < |x| + |y| elde edilir.
xyxy negatif bir sayı iken ∣xy∣|xy| pozitif bir sayı olduğundan, negatif değer pozitif değerden her zaman küçüktür.

Key Concept

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özelliği ve geometrik yorumu
Question 219Question →

Sayı doğrusu üzerinde yer alan sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* x<y<0<zx < y < 0 < z
* yy sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı, zz sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından büyüktür.

Buna göre,

∣x−y∣+∣y+z∣−∣x−z∣|x - y| + |y + z| - |x - z|

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Show answer & explanation

Answer: −2z-2z

Answer

−2z-2z
Verilen koşullara göre mutlak değerlerin içerisindeki her üç ifade de (x−yx-y, y+zy+z ve x−zx-z) negatiftir. Bu nedenle her biri mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar. Bu ifadeler yerine yazılıp toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında xx ve yy terimleri birbirini yok eder ve geriye yalnızca −2z-2z kalır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikleri ve uzaklık ilişkisini kullanarak mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirleme.
x−y<0x - y < 0, y+z<0y + z < 0 ve x−z<0x - z < 0 olarak bulunur.
x<yx < y oldu��undan x−y<0x - y < 0 olur. y<0<zy < 0 < z olup yy sayısının sıfıra uzaklığı (∣y∣=−y|y| = -y) zz sayısının sıfıra uzaklığından (∣z∣=z|z| = z) büyük olduğu için −y>z  ⟹  y+z<0-y > z \implies y + z < 0 olur. Son olarak x<0x < 0 ve z>0z > 0 olduğundan x<z  ⟹  x−z<0x < z \implies x - z < 0 olur.
2
Negatif olan ifadeleri mutlak değer dışına eksi ile çarparak çıkarma.
∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x, ∣y+z∣=−y−z|y + z| = -y - z ve ∣x−z∣=z−x|x - z| = z - x şeklinde elde edilir.
Mutlak değer içerisindeki ifade negatif ise, dışarıya önüne eksi (−-) alarak (işaret değiştirerek) çıkar.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri ana denklemde yerine yazarak sadeleştirme.
(y−x)+(−y−z)−(z−x)=−2z(y - x) + (-y - z) - (z - x) = -2z bulunur.
Toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında xx ve yy terimleri birbirini götürür: y−x−y−z−z+x=−2zy - x - y - z - z + x = -2z olur.

Key Concept

Mutlak değerin tanımı gereği, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması ve sayı doğrusundaki uzaklıkların cebirsel olarak ifade edilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 220Question →

Bir okulda düzenlenecek mezuniyet töreni için iki farklı salon firması ile görüşülmüştür. Bu firmaların ücret tarifeleri aşağıda belirtilmiştir:

* A firması: Katılımcı başına 1616 TL ve salon süslemesi için sabit 135135 TL ücret almaktadır.
* B firması: Katılan kişilerden 44 tanesinden ücret almayıp, kalan her bir kişi için 2020 TL ve salon süslemesi için sabit 6060 TL ücret almaktadır.

Okul yönetimi, törene katılması planlanan xx sayıda davetli için her iki firmadan da aldığı fiyat tekliflerinin birbirine eşit olduğunu hesaplamıştır.

xx bir pozitif tam sayı olduğuna göre, bu törene katılması planlanan davetli sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: Fiyat tekliflerinin eşit olmasını sağlayan bir davetli sayısı yoktur

Answer

Fiyat tekliflerinin eşit olmasını sağlayan bir davetli sayısı yoktur
Her iki firmanın fiyat teklifini eşitleyen denklem kurulup çözüldüğünde elde edilen x=38,75x = 38,75 değeri bir pozitif tam sayı değildir. Davetli sayısı fiziksel olarak tam sayı olmak zorunda olduğundan ve soruda da xx'in pozitif tam sayı olduğu belirtildiğinden, bu eşitliği sağlayan herhangi bir davetli sayısı bulunmamaktadır. Dolayısıyla doğru seçenek fiyat tekliflerinin eşit olmasını sağlayan bir davetli sayısı olmadığını belirten seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
A ve B firmalarının fiyat tekliflerini davetli sayısı olan x değişkeni cinsinden ifade eden denklemleri kurma
A firmasının teklifi: 16x+13516x + 135 TL, B firmasının teklifi: 20(x−4)+6020(x - 4) + 60 TL olarak modellenir.
Her iki firmanın sunduğu tekliflerin matematiksel modelini oluşturmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Fiyat tekliflerini birbirine eşitleyerek birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözme
16x+135=20(x−4)+6016x+135=20x−80+6016x+135=20x−20135+20=20x−16x155=4xx=38,7516x + 135 = 20(x - 4) + 60 16x + 135 = 20x - 80 + 60 16x + 135 = 20x - 20 135 + 20 = 20x - 16x 155 = 4x x = 38,75 olarak bulunur.
Tekliflerin eşit olduğu teorik davetli sayısını belirlemek için denklem çözülür.
3
Bulunan x değerini problemin fiziksel kısıtı olan 'pozitif tam sayı' kümesiyle karşılaştırma
38,7538,75 değeri bir tam sayı olmadığından (38,75∉Z+38,75 \notin \mathbb{Z}^+), her iki ücretin birbirine tam olarak eşit olmasını sağlayan bir tam sayı değeri bulunamaz.
Davetli sayısı gibi adet belirten büyüklükler reel hayatta sadece tam sayılarla ifade edilebileceği için cebirsel çözüm kümesi kontrol edilir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin gerçek hayat senaryolarındaki sayı kümeleri kısıtları altında yorumlanması.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 11 / 19Next
Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 11 | Examkin