Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Dizileri ve Örüntüler
İlk terimi a1=23a_1 = 23 olan bir (an)(a_n) sayı dizisinde, her n≥1n \geq 1 için bir sonraki terim
an+1=an+P(an)a_{n+1} = a_n + P(a_n)
kuralı ile belirlenmektedir. Burada P(x)P(x), xx doğal sayısının tüm basamaklarındaki rakamların çarpımıdır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

  1. A
    75
  2. B
    103
  3. 110Cevap
  4. D
    126
  5. E
    140

Cevap

110
Doğru cevap 110 değeridir. Dizinin ilk teriminden itibaren adım adım kural uygulandığında 5. terim olan a5=110a_5 = 110 elde edilir. 110 sayısının rakamları çarpımı 1×1×0=01 \times 1 \times 0 = 0 olduğundan, sonraki terim a6=110+0=110a_6 = 110 + 0 = 110 olur. Bu durum zincirleme olarak devam eder ve 10. terim de dahil olmak üzere sonraki tüm terimler 110 olarak sabit kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan a1=23a_1 = 23 değerinden başlayarak bir sonraki terimleri bulmak için rakamların çarpımını ekleme kuralını uygulayalım.
a2=23+(2×3)=29a_2 = 23 + (2 \times 3) = 29
23 sayısının rakamları çarpımı 2×3=62 \times 3 = 6 olup, bu değer a1a_1 terimine eklenir.
2
İkinci terimden üçüncü terimi elde edelim.
a3=29+(2×9)=47a_3 = 29 + (2 \times 9) = 47
29 sayısının rakamları çarpımı 2×9=182 \times 9 = 18 olup, bu değer a2a_2 terimine eklenir.
3
Üçüncü terimden dördüncü terimi elde edelim.
a4=47+(4×7)=75a_4 = 47 + (4 \times 7) = 75
47 sayısının rakamları çarpımı 4×7=284 \times 7 = 28 olup, bu değer a3a_3 terimine eklenir.
4
Dördüncü terimden beşinci terimi elde edelim.
a5=75+(7×5)=110a_5 = 75 + (7 \times 5) = 110
75 sayısının rakamları çarpımı 7×5=357 \times 5 = 35 olup, bu değer a4a_4 terimine eklenir.
5
Beşinci terimden altıncı terimi elde edelim.
a6=110+(1×1×0)=110a_6 = 110 + (1 \times 1 \times 0) = 110
110 sayısının rakamları çarpımında sıfır (0) yutan eleman olduğu için çarpım 0 olur ve terim değişmez.
6
Sonraki tüm terimleri analiz edelim.
a7=a8=a9=a10=110a_7 = a_8 = a_9 = a_{10} = 110
Herhangi bir terim 110 değerine ulaştığında rakamları çarpımı her zaman 0 olacağından, bu adımdan sonraki tüm terimler sabit kalır ve 110 değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler

İpuçları

1
Terimleri tek tek yazarak örüntüyü takip edin. Özellikle 5. terime ulaştığınızda basamaklardaki rakamların çarpımına dikkat edin.
2
5. terim 75+35=11075 + 35 = 110 olur. Bir sonraki adımda 110 sayısının rakamları çarpımını (1×1×01 \times 1 \times 0) hesaplamanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat rakamları toplamına göre ilerleyen dizilerde periyodik tekrar durumlarını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerinin bir noktadan sonra sabitlendiğini fark etmek soruyu çözmenin en hızlı yoludur. Rakamlar çarpımının sıfır olması için terimde en az bir adet '0' rakamı bulunmalıdır. a5=110a_5 = 110 elde edildikten sonra içinde 0 barındıran bu sayıdan sonraki tüm terimlerin değişmeyeceğini doğrudan öngörebiliriz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru