Taban ayrıtı 6\text{ cm} olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle ya… — ALES

Taban ayrıtı $6\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle yaptığı açı $60^\circ$ dir. Buna göre, bu piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacminin piramidin hacmine oranı kaçtır?

A
$\frac{\pi}{12}$
B
$\frac{\pi}{27}$
$\frac{\pi}{9}$ Cevap
D
$\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$
E
$\frac{\pi}{36}$

Cevap

Kürenin hacminin piramidin hacmine oranı

\frac{\pi}{9}

olarak bulunur.

Kürenin yarıçapı (

r = \sqrt{3}\text{ cm}

) ve piramidin yüksekliği (

h = 3\sqrt{3}\text{ cm}

) doğru hesaplandığında küre hacmi

4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

, piramit hacmi ise

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

çıkmaktadır. Bu iki değerin oranı

\frac{\pi}{9}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Piramidin dikey kesitini belirleyin ve yüksekliğini bulun.

Taban ayrıtı

6\text{ cm}

ve yan yüz açısı

60^\circ

olan piramidin karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen dikey kesiti, bir kenarı

6\text{ cm}

olan bir eşkenar üçgendir. Bu eşkenar üçgenin yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir:

h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

Piramit hacmini ve iç teğet küre yarıçapını bulmak için yükseklik ve dikey kesit ölçüleri gereklidir.

Piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin yarıçapını (

r

) bulun.

Küre, piramidin tüm yüzeylerine teğet olmalıdır. Bu kürenin dikey kesit düzlemindeki izdüşümü, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Eşkenar üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Kürenin hacmini hesaplayabilmek için yarıçapının bilinmesi gerekir.

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için pay kısmında yer alacak küre hacmini bulmak gerekir.

Piramidin hacmini hesaplayın.

V_{\text{piramit}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için payda kısmında yer alacak piramit hacmini bulmak gerekir.

Kürenin hacmini piramidin hacmine oranlayın.

\text{Oran} = \frac{V_{\text{küre}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{36\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9}

olarak elde edilir.

Soru kökündeki nihai oran ilişkisini kurmak için bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Düzgün piramitlerin hacmi ve iç teğet küre yarıçapının dikey kesit yardımıyla bulunması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru