Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPiramitler

Taban alanı 144 cm2144\text{ cm}^2 ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan düzgün kare dik piramit, taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Elde edilen kesik piramidin hacmi, üstte kalan küçük piramidin hacminin 7 katı olduğuna göre, kesik piramidin toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevap: 360 cm^2

Cevap

Kesik piramidin toplam yüzey alanı 360 cm2360\text{ cm}^2 dir.
Kesik piramidin hacminin üstteki piramidin hacmine oranı 7 olduğundan, küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı 1/81/8 olur. Hacimler oranının küp kökü benzerlik oranını verdiğinden benzerlik oranı 1/21/2 olarak bulunur. Buradan kesit kenarı 6 cm6\text{ cm} ve kesit alanı 36 cm236\text{ cm}^2 hesaplanır. Piramidin yan yüz yüksekliği Pisagor teoreminden 10 cm10\text{ cm} bulunduğundan, kesik piramidin yanal yüz yüksekliği 5 cm5\text{ cm} olur. 4 adet yanal yamuk yüzeyin alanı 180 cm2180\text{ cm}^2 ve taban alanları toplamı 144+36=180 cm2144 + 36 = 180\text{ cm}^2 olduğundan, toplam yüzey alanı 360 cm2360\text{ cm}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hacim ilişkisinden yararlanarak benzerlik oranını belirleyin.
Kesik piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin 7 katı ise, tüm piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin 1+7=81 + 7 = 8 katıdır. Buradan hacimler oranı Vku¨c¸u¨kVtu¨m=18\frac{V_{\text{küçük}}}{V_{\text{tüm}}} = \frac{1}{8} olur. Benzerlik oranı kk ise, k3=18⇒k=12k^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow k = \frac{1}{2} bulunur.
Paralel düzlemle kesilen piramitlerde benzerlik oranının küpü, hacimler oranına eşittir.
2
Kesit alanını ve kesit ayrıt uzunluğunu hesaplayın.
Ana piramidin taban alanı 144 cm2144\text{ cm}^2 olduğuna göre, taban kenarı a=144=12 cma = \sqrt{144} = 12\text{ cm}'dir. Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} oldu��undan, kesit karesinin bir kenarı b=k⋅a=12⋅12=6 cmb = k \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\text{ cm} olur. Üst taban alanı ise Su¨st=62=36 cm2S_{\text{üst}} = 6^2 = 36\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Benzer şekillerde uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar ise benzerlik oranının karesiyle değişir.
3
Piramidin yan yüz yüksekliğini bulun.
Taban karesinin ağırlık merkezinden bir kenara olan dik uzaklık a2=6 cm\frac{a}{2} = 6\text{ cm}'dir. Piramidin yüksekliği H=8 cmH = 8\text{ cm} olduğuna göre, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak yan yüz yüksekliği hy=82+62=10 cmh_y = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm} olarak hesaplanır.
Piramidin yüksekliği, taban kenarının orta noktasına birleştirildiğinde yan yüz yüksekliği ile dik üçgen oluşturur.
4
Kesik piramidin yan yüz yüksekliğini ve yanal alan��nı hesaplayın.
Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} olduğundan, kesik piramidin yan yüz yüksekliği de ana yan yüz yüksekliğinin yarısı kadar olup hy,kesik=10⋅12=5 cmh_{y,\text{kesik}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm} olur. Kesik piramidin yanal yüzeyi 4 adet eş yamuktan oluşur. Bir yamuğun alanı A=a+b2⋅hy,kesik=12+62⋅5=45 cm2A = \frac{a+b}{2} \cdot h_{y,\text{kesik}} = \frac{12+6}{2} \cdot 5 = 45\text{ cm}^2'dir. Toplam yanal alan ise Yalan=4⋅45=180 cm2Y_{\text{alan}} = 4 \cdot 45 = 180\text{ cm}^2 bulunur.
Kesik piramidin yanal alanı, taban kenarları aa ve bb, yüksekliği hy,kesikh_{y,\text{kesik}} olan 4 adet yamuğun alanları toplamıdır.
5
Kesik piramidin toplam yüzey alanını hesaplayın.
Toplam Yüzey Alanı = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal Alan = 144+36+180=360 cm2144 + 36 + 180 = 360\text{ cm}^2 elde edilir.
Kesik piramidin toplam yüzey alanı, alt taban, üst taban ve yan yüzleri oluşturan yamukların alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde benzerlik oranı, hacimler oranının küp köküne eşittir. Kesik piramidin yüzey alanı hesaplanırken alt taban, üst taban ve yanal alanları oluşturan yamuk alanlarının toplamı dikkate alınır.
Bu soruyu puanla

Konular

Piramitler

Bu konudan daha fazla soru