Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPiramitler

Bir kenar uzunluğu 12 cm12\text{ cm} olan ABCDABCD düzgün dörtyüzlüsünün [AD][AD] kenarı üzerinde bir EE noktası ve [BD][BD] kenarı üzerinde bir FF noktası işaretleniyor.

∣AE∣=4 cm|AE| = 4\text{ cm} ve ∣BF∣=6 cm|BF| = 6\text{ cm} olduğuna göre, CC, EE ve FF noktalarından geçen düzlem ile bu düzgün dörtyüzlü iki parçaya ayrıldığında, ABCABC yüzeyini içeren parçanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 olur?

  1. A
    48248\sqrt{2}
  2. 96296\sqrt{2}Cevap
  3. C
    1202120\sqrt{2}
  4. D
    144144
  5. E
    2882288\sqrt{2}

Cevap

962 cm396\sqrt{2}\text{ cm}^3
Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi 1442 cm3144\sqrt{2}\text{ cm}^3 olarak hesaplanır. Tepe noktası DD kabul edilen D−CEFD-CEF piramidinin yanal ayrıtlar üzerindeki uzunlukları ∣DE∣=8 cm|DE| = 8\text{ cm} ve ∣DF∣=6 cm|DF| = 6\text{ cm} olduğundan, bu piramidin hacminin tüm dörtyüzlünün hacmine oranı 812⋅612=13\frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3} olur. Dolayısıyla ABCABC tabanını içeren alt parçanın hacmi, tüm hacmin 23\frac{2}{3}'ü olan 962 cm396\sqrt{2}\text{ cm}^3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliğini bulmak için yükseklik formülü uygulanır.
h=1223=46 cmh = 12\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{6}\text{ cm}
Hacim hesabında taban alanıyla çarpılacak dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.
2
Eşkenar üçgen olan taban alanı hesaplanır.
Ataban=12234=363 cm2A_{\text{taban}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2
Düzgün dörtyüzlünün taban yüzeyi bir kenarı 12 cm12\text{ cm} olan eşkenar üçgendir.
3
Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi hesaplanır.
Vtoplam=13⋅363⋅46=1442 cm3V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} = 144\sqrt{2}\text{ cm}^3
Piramidin hacmi, taban alan�� ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.
4
Ortak tepe noktası DD olan D−CEFD-CEF piramidinin ayrıt oranları kullanılarak hacim oranı bulunur.
∣DE∣=12−4=8 cm|DE| = 12 - 4 = 8\text{ cm} ve ∣DF∣=12−6=6 cm|DF| = 12 - 6 = 6\text{ cm} olduğundan, V(D−CEF)V(D−ABC)=DEDA⋅DFDB=812⋅612=13\frac{V(D-CEF)}{V(D-ABC)} = \frac{DE}{DA} \cdot \frac{DF}{DB} = \frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3} bulunur.
Aynı düzlemle bölünen ve tepe noktası ortak olan piramitlerin hacimleri oranı, ilgili ayrıt uzunluklarının oranlarının çarpımına eşittir.
5
ABCABC tabanını içeren alt parçanın hacmi hesaplanır.
Valt=Vtoplam⋅(1−13)=1442⋅23=962 cm3V_{\text{alt}} = V_{\text{toplam}} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 144\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 96\sqrt{2}\text{ cm}^3
Alt parçanın hacmi, toplam dörtyüzlü hacminden üstteki küçük piramidin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde Hacim ve Hacim Oranları
Bu soruyu puanla

Konular

Piramitler

Bu konudan daha fazla soru