Taban ayrıtı 12\text{ cm} ve yanal alanı 240\text{ cm}^2 olan düzgün kare dik piramidin ha… — ALES

Taban ayrıtı $12\text{ cm}$ ve yanal alanı $240\text{ cm}^2$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

A
$192$
$384$ Cevap
C
$480$
D
$1152$
E
$1440$

Cevap

Piramidin hacmi

384\text{ cm}^3

tür.

Piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Yanal alandan yanal yüz yüksekliği

10\text{ cm}

olarak hesaplandıktan sonra, Pisagor teoremi yardımıyla cisim yüksekliği

8\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

144\text{ cm}^2

ile bu yükseklik çarpılıp üçe bölündüğünde hacim

384\text{ cm}^3

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Yanal alandan yararlanarak yanal yüz yüksekliğini bulun.

Yanal yüz yüksekliği

h_y = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

Düzgün kare piramidin yanal alanı, 4 adet eş üçgensel yüzün alanları toplamıdır. Yanal Alan =

4 \cdot \left(\frac{a \cdot h_y}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot h_y

formülüyle hesaplanır. Buradan

240 = 2 \cdot 12 \cdot h_y \implies h_y = 10\text{ cm}

elde edilir.

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak için dik üçgen oluşturun.

Cisim yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Piramidin tepe noktasından tabana inen dikme, taban merkezine düşer. Taban merkezinden yanal yüzün taban kenarına olan uzaklığı, taban ayrıtının yarısıdır (

12 / 2 = 6\text{ cm}

). Cisim yüksekliği (

h

), taban yarı uzunluğu (

6\text{ cm}

) ve yanal yüz yüksekliği (

h_y = 10\text{ cm}

) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoreminden:

h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h = 8\text{ cm}

(6-8-10 özel dik üçgeni) bulunur.

Taban alanını ve piramidin hacmini hesaplayın.

Taban alanı

144\text{ cm}^2

ve hacim

384\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Taban bir kenarı

12\text{ cm}

olan bir kare olduğundan, Taban Alanı =

12^2 = 144\text{ cm}^2

dir. Piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}

formülü ile hesaplanır. Buradan

V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384\text{ cm}^3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Düzgün kare dik piramidin hacmi, yanal alanı ve cisim yüksekliği ile yanal yüz yüksekliği arasındaki Pisagor bağıntısı ilişkisi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru