Piramitler Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Taban ayrıtı $6\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle yaptığı açı $60^\circ$ dir. Buna göre, bu piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacminin piramidin hacmine oranı kaçtır?

\frac{\pi}{12}

\frac{\pi}{27}

\frac{\pi}{9}

\frac{\sqrt{3}\pi}{3}

\frac{\pi}{36}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\pi}{9}$

Cevap

Kürenin hacminin piramidin hacmine oranı

\frac{\pi}{9}

olarak bulunur.

Kürenin yarıçapı (

r = \sqrt{3}\text{ cm}

) ve piramidin yüksekliği (

h = 3\sqrt{3}\text{ cm}

) doğru hesaplandığında küre hacmi

4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

, piramit hacmi ise

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

çıkmaktadır. Bu iki değerin oranı

\frac{\pi}{9}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Piramidin dikey kesitini belirleyin ve yüksekliğini bulun.

Taban ayrıtı

6\text{ cm}

ve yan yüz açısı

60^\circ

olan piramidin karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen dikey kesiti, bir kenarı

6\text{ cm}

olan bir eşkenar üçgendir. Bu eşkenar üçgenin yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir:

h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

Piramit hacmini ve iç teğet küre yarıçapını bulmak için yükseklik ve dikey kesit ölçüleri gereklidir.

2

Piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin yarıçapını (

r

) bulun.

Küre, piramidin tüm yüzeylerine teğet olmalıdır. Bu kürenin dikey kesit düzlemindeki izdüşümü, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Eşkenar üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Kürenin hacmini hesaplayabilmek için yarıçapının bilinmesi gerekir.

3

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için pay kısmında yer alacak küre hacmini bulmak gerekir.

4

Piramidin hacmini hesaplayın.

V_{\text{piramit}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için payda kısmında yer alacak piramit hacmini bulmak gerekir.

5

Kürenin hacmini piramidin hacmine oranlayın.

\text{Oran} = \frac{V_{\text{küre}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{36\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9}

olarak elde edilir.

Soru kökündeki nihai oran ilişkisini kurmak için bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Düzgün piramitlerin hacmi ve iç teğet küre yarıçapının dikey kesit yardımıyla bulunması.

Soru 2Soru →

Taban ayrıtı $12\text{ cm}$ ve yanal alanı $240\text{ cm}^2$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

192

384

480

1152

1440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $384$

Cevap

Piramidin hacmi

384\text{ cm}^3

tür.

Piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Yanal alandan yanal yüz yüksekliği

10\text{ cm}

olarak hesaplandıktan sonra, Pisagor teoremi yardımıyla cisim yüksekliği

8\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

144\text{ cm}^2

ile bu yükseklik çarpılıp üçe bölündüğünde hacim

384\text{ cm}^3

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yanal alandan yararlanarak yanal yüz yüksekliğini bulun.

Yanal yüz yüksekliği

h_y = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

Düzgün kare piramidin yanal alanı, 4 adet eş üçgensel yüzün alanları toplamıdır. Yanal Alan =

4 \cdot \left(\frac{a \cdot h_y}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot h_y

formülüyle hesaplanır. Buradan

240 = 2 \cdot 12 \cdot h_y \implies h_y = 10\text{ cm}

elde edilir.

2

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak için dik üçgen oluşturun.

Cisim yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Piramidin tepe noktasından tabana inen dikme, taban merkezine düşer. Taban merkezinden yanal yüzün taban kenarına olan uzaklığı, taban ayrıtının yarısıdır (

12 / 2 = 6\text{ cm}

). Cisim yüksekliği (

h

), taban yarı uzunluğu (

6\text{ cm}

) ve yanal yüz yüksekliği (

h_y = 10\text{ cm}

) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoreminden:

h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h = 8\text{ cm}

(6-8-10 özel dik üçgeni) bulunur.

3

Taban alanını ve piramidin hacmini hesaplayın.

Taban alanı

144\text{ cm}^2

ve hacim

384\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Taban bir kenarı

12\text{ cm}

olan bir kare olduğundan, Taban Alanı =

12^2 = 144\text{ cm}^2

dir. Piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}

formülü ile hesaplanır. Buradan

V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384\text{ cm}^3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Düzgün kare dik piramidin hacmi, yanal alanı ve cisim yüksekliği ile yanal yüz yüksekliği arasındaki Pisagor bağıntısı ilişkisi.

Soru 3Soru →

Tabanının bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $4\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

144

96

48

72

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Piramidin hacmi

48\text{ cm}^3

tür.

Düzgün kare dik piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Tabanının bir kenarı

6\text{ cm}

olan karenin alanı

36\text{ cm}^2

ve yüksekliği

4\text{ cm}

olduğuna göre, hacim

\frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Düzgün kare dik piramidin tabanı bir karedir. Karenin bir kenarı

a = 6\text{ cm}

olduğuna göre taban alanını bulalım.

T_A = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2

Hacim hesabı için taban alanının bilinmesi gerekmektedir.

2

Taban alanı ile yüksekliği (

h = 4\text{ cm}

) çarpıp

3

'e bölelim.

V = \frac{1}{3} \times T_A \times h = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 12 \times 4 = 48\text{ cm}^3

Piramitlerin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Düzgün kare dik piramidin hacim formülü (

V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

).

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Tabanı dik üçgen olan bir dik piramidin taban kenar uzunlukları $8\text{ cm}$ , $15\text{ cm}$ ve $17\text{ cm}$ 'dir. Bu piramidin yüksekliği $6\text{ cm}$ olduğuna göre, hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

136

180

120

240

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Piramidin hacmi 120 cm³ tür.

Tabanı oluşturan dik üçgenin dik kenarları 8 cm ve 15 cm olduğundan taban alanı 60 cm² olarak bulunur. Bu değer, piramit yüksekliği olan 6 cm ile çarpılıp 3'e bölündüğünde hacim 120 cm³ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dik üçgen tabanın alanını hesaplamak için dik kenar uzunluklarını belirleyin ve alan formülünü uygulayın.

Taban Alanı = \frac{8 \times 15}{2} = 60\text{ cm}^2

Piramidin hacmini bulmak için öncelikle taban alanının bilinmesi gerekir. Dik üçgende dik kenarlar en kısa iki kenardır (8 cm ve 15 cm), en uzun kenar (17 cm) ise hipotenüstür.

2

Piramit hacim formülünü kullanarak piramidin hacmini hesaplayın.

Hacim = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} = \frac{1}{3} \times 60 \times 6 = 120\text{ cm}^2

Piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.

Anahtar Kavram

Piramitlerin hacim hesaplaması

İpuçları

1

Piramidin hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpıp elde ettiğiniz sonucu 3'e bölmeniz gerekir.

2

Taban bir dik üçgendir. Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. En uzun kenar olan 17 cm hipotenüstür, bu yüzden alan hesabına dahil edilmez.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, taban ayrıtı ve yan yüz yüksekliği verilen düzgün kare piramitlerin hacim hesaplamalarını da inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

Taban alanı $144\text{ cm}^2$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramit, taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Elde edilen kesik piramidin hacmi, üstte kalan küçük piramidin hacminin 7 katı olduğuna göre, kesik piramidin toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Kesik piramidin toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

dir.

Kesik piramidin hacminin üstteki piramidin hacmine oranı 7 olduğundan, küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı

1/8

olur. Hacimler oranının küp kökü benzerlik oranını verdiğinden benzerlik oranı

1/2

olarak bulunur. Buradan kesit kenarı

6\text{ cm}

ve kesit alanı

36\text{ cm}^2

hesaplanır. Piramidin yan yüz yüksekliği Pisagor teoreminden

10\text{ cm}

bulunduğundan, kesik piramidin yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

olur. 4 adet yanal yamuk yüzeyin alanı

180\text{ cm}^2

ve taban alanları toplamı

144 + 36 = 180\text{ cm}^2

olduğundan, toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hacim ilişkisinden yararlanarak benzerlik oranını belirleyin.

Kesik piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin 7 katı ise, tüm piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin

1 + 7 = 8

katıdır. Buradan hacimler oranı

\frac{V_{\text{küçük}}}{V_{\text{tüm}}} = \frac{1}{8}

olur. Benzerlik oranı

k

ise,

k^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow k = \frac{1}{2}

bulunur.

Paralel düzlemle kesilen piramitlerde benzerlik oranının küpü, hacimler oranına eşittir.

2

Kesit alanını ve kesit ayrıt uzunluğunu hesaplayın.

Ana piramidin taban alanı

144\text{ cm}^2

olduğuna göre, taban kenarı

a = \sqrt{144} = 12\text{ cm}

'dir. Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

oldu��undan, kesit karesinin bir kenarı

b = k \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\text{ cm}

olur. Üst taban alanı ise

S_{\text{üst}} = 6^2 = 36\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Benzer şekillerde uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar ise benzerlik oranının karesiyle değişir.

3

Piramidin yan yüz yüksekliğini bulun.

Taban karesinin ağırlık merkezinden bir kenara olan dik uzaklık

\frac{a}{2} = 6\text{ cm}

'dir. Piramidin yüksekliği

H = 8\text{ cm}

olduğuna göre, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak yan yüz yüksekliği

h_y = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Piramidin yüksekliği, taban kenarının orta noktasına birleştirildiğinde yan yüz yüksekliği ile dik üçgen oluşturur.

4

Kesik piramidin yan yüz yüksekliğini ve yanal alan��nı hesaplayın.

Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

olduğundan, kesik piramidin yan yüz yüksekliği de ana yan yüz yüksekliğinin yarısı kadar olup

h_{y,\text{kesik}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm}

olur. Kesik piramidin yanal yüzeyi 4 adet eş yamuktan oluşur. Bir yamuğun alanı

A = \frac{a+b}{2} \cdot h_{y,\text{kesik}} = \frac{12+6}{2} \cdot 5 = 45\text{ cm}^2

'dir. Toplam yanal alan ise

Y_{\text{alan}} = 4 \cdot 45 = 180\text{ cm}^2

bulunur.

Kesik piramidin yanal alanı, taban kenarları

a

ve

b

, yüksekliği

h_{y,\text{kesik}}

olan 4 adet yamuğun alanları toplamıdır.

5

Kesik piramidin toplam yüzey alanını hesaplayın.

Toplam Yüzey Alanı = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal Alan =

144 + 36 + 180 = 360\text{ cm}^2

elde edilir.

Kesik piramidin toplam yüzey alanı, alt taban, üst taban ve yan yüzleri oluşturan yamukların alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde benzerlik oranı, hacimler oranının küp köküne eşittir. Kesik piramidin yüzey alanı hesaplanırken alt taban, üst taban ve yanal alanları oluşturan yamuk alanlarının toplamı dikkate alınır.

Soru 6Soru →

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ düzgün dörtyüzlüsünün $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası işaretleniyor.

$|AE| = 4\text{ cm}$ ve $|BF| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $C$ , $E$ ve $F$ noktalarından geçen düzlem ile bu düzgün dörtyüzlü iki parçaya ayrıldığında, $ABC$ yüzeyini içeren parçanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur?

48\sqrt{2}

96\sqrt{2}

120\sqrt{2}

144

288\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $96\sqrt{2}$

Cevap

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi

144\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak hesaplanır. Tepe noktası

D

kabul edilen

D-CEF

piramidinin yanal ayrıtlar üzerindeki uzunlukları

|DE| = 8\text{ cm}

ve

|DF| = 6\text{ cm}

olduğundan, bu piramidin hacminin tüm dörtyüzlünün hacmine oranı

\frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

olur. Dolayısıyla

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi, tüm hacmin

\frac{2}{3}

'ü olan

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliğini bulmak için yükseklik formülü uygulanır.

h = 12\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{6}\text{ cm}

Hacim hesabında taban alanıyla çarpılacak dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.

2

Eşkenar üçgen olan taban alanı hesaplanır.

A_{\text{taban}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2

Düzgün dörtyüzlünün taban yüzeyi bir kenarı

12\text{ cm}

olan eşkenar üçgendir.

3

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} = 144\sqrt{2}\text{ cm}^3

Piramidin hacmi, taban alan�� ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

4

Ortak tepe noktası

D

olan

D-CEF

piramidinin ayrıt oranları kullanılarak hacim oranı bulunur.

|DE| = 12 - 4 = 8\text{ cm}

ve

|DF| = 12 - 6 = 6\text{ cm}

olduğundan,

\frac{V(D-CEF)}{V(D-ABC)} = \frac{DE}{DA} \cdot \frac{DF}{DB} = \frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

bulunur.

Aynı düzlemle bölünen ve tepe noktası ortak olan piramitlerin hacimleri oranı, ilgili ayrıt uzunluklarının oranlarının çarpımına eşittir.

5

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi hesaplanır.

V_{\text{alt}} = V_{\text{toplam}} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 144\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Alt parçanın hacmi, toplam dörtyüzlü hacminden üstteki küçük piramidin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Piramitlerde Hacim ve Hacim Oranları

Soru 7Soru →

Taban kenar uzunluğu $6\sqrt{3}\text{ cm}$ olan düzgün üçgen dik piramidin yanal yüz yüksekliği $5\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu piramidin hacmi kaç $\sqrt{3}\text{ cm}^3$ tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Doğru cevap 36'dır.

Taban kenarı

6\sqrt{3}\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin yüksekliği

9\text{ cm}

'dir. Ağırlık merkezinin kenara uzaklığı bu yüksekliğin üçte biri olup

3\text{ cm}

'dir. Yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

ve ağırlık merkezinin kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında piramidin yüksekliği

4\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olan piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \times 27\sqrt{3} \times 4 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak elde edilir. Hacmin

\sqrt{3}

'e oranı

36

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabanı oluşturan eşkenar üçgenin yüksekliğini hesaplamak

Taban yüksekliği

9\text{ cm}

olarak bulunur.

Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığını bulabilmek için önce tabanın kendi yüksekliğini bulmamız gerekir.

2

Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığını bulmak

Ağırlık merkezinin bir kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olarak bulunur.

Eşkenar üçgende ağırlık merkezi yüksekliği kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzakl��kta olacak şekilde

1:2

oranında böler.

3

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak

Cisim yüksekliği

4\text{ cm}

olarak bulunur.

Cisim yüksekliği, ağırlık merkezinin kenara uzaklığı ve yanal yüz yüksekliği arasında oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır.

4

Taban alanını hesaplamak

Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Eşkenar üçgenin alan formülü

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

uygulanır.

5

Piramidin hacmini hesaplamak

Piramidin hacmi

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Piramit hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

kullanılır.

Anahtar Kavram

Düzgün piramitlerin hacmi ve yükseklik bağıntıları

Piramitler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar