Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Dizileri ve Örüntüler
Bir ana_n sayı dizisinin ilk iki terimi a1=1a_1 = 1 ve a2=2a_2 = 2 olarak verilmiştir.
Bu dizinin sonraki terimleri, n≥3n \geq 3 olmak üzere,
an=an−1⋅an−2−1a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2} - 1
kuralı ile belirlenmektedir.
Buna göre, bu dizinin ilk 4040 teriminin toplamı kaçtır?
  1. A
    -29
  2. B
    -21
  3. C
    -20
  4. -19Cevap
  5. E
    -13

Cevap

İlk 40 terimin toplamı -19'dur.
Dizinin ilk terimleri sırasıyla yazıldığında a1=1a_1=1, a2=2a_2=2, a3=1a_3=1, a4=1a_4=1, a5=0a_5=0, a6=−1a_6=-1, a7=−1a_7=-1, a8=0a_8=0, a9=−1a_9=-1, a10=−1a_{10}=-1 değerleri elde edilir. Burada 5. terimden itibaren (0,−1,−1)(0, -1, -1) şeklinde 3 elemanlı bir döngünün sürekli tekrar ettiği görülür. İlk 4 terimin toplamı 5'tir. Geriye kalan 36 terim bu 3 elemanlı döngüden tam olarak 12 adet barındırır. Her bir döngünün toplamı -2 olduğundan, döngüsel kısmın toplamı 12⋅(−2)=−2412 \cdot (-2) = -24 yapar. Bu iki değer toplandığında genel toplam 5+(−24)=−195 + (-24) = -19 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimlerini teker teker bularak örüntüyü incelemek.
a1=1a_1 = 1, a2=2a_2 = 2, a3=2⋅1−1=1a_3 = 2 \cdot 1 - 1 = 1, a4=1⋅2−1=1a_4 = 1 \cdot 2 - 1 = 1, a5=1⋅1−1=0a_5 = 1 \cdot 1 - 1 = 0, a6=0⋅1−1=−1a_6 = 0 \cdot 1 - 1 = -1, a7=−1⋅0−1=−1a_7 = -1 \cdot 0 - 1 = -1, a8=−1⋅(−1)−1=0a_8 = -1 \cdot (-1) - 1 = 0, a9=0⋅(−1)−1=−1a_9 = 0 \cdot (-1) - 1 = -1, a10=−1⋅0−1=−1a_{10} = -1 \cdot 0 - 1 = -1 değerleri elde edilir.
Dizideki terimlerin nasıl ilerlediğini görmek ve periyodik bir tekrar olup olmadığını belirlemek için.
2
Tekrar eden periyodik kısmı ve döngü uzunluğunu tespit etmek.
Dizinin terimleri yazıldığında: 1,2,1,1,0,−1,−1,0,−1,−1,0,−1,−1,…1, 2, 1, 1, 0, -1, -1, 0, -1, -1, 0, -1, -1, \dots şeklindedir. Burada ilk 4 terimden sonra (5. terimden itibaren) (0,−1,−1)(0, -1, -1) biçiminde 3 elemanlı bir döngü oluşmaktadır.
40 terimi tek tek hesaplamak yerine döngüsel özelliği kullanarak pratik bir çözüm yolu geliştirmek için.
3
Döngü dışındaki terimlerin toplamını ve geriye kalan terim sayısını hesaplamak.
Döngüye dahil olmayan ilk 4 terimin toplamı: a1+a2+a3+a4=1+2+1+1=5a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + 2 + 1 + 1 = 5 olur. Toplam 40 terim olduğundan döngüye dahil olan terim sayısı 40−4=3640 - 4 = 36 tanedir.
Döngüsel yapıya sahip olan ve olmayan terimleri ayrı gruplar halinde toplamak için.
4
Döngüye dahil olan terimlerin toplamını hesaplamak.
Döngü uzunluğu 3 elemanlı olduğundan, 36 terim içerisinde 36/3=1236 / 3 = 12 tam döngü bulunur. Her döngünün elemanları toplamı 0+(−1)+(−1)=−20 + (-1) + (-1) = -2 olduğuna göre, bu kısmın toplamı 12⋅(−2)=−2412 \cdot (-2) = -24 olarak bulunur.
Kalan 36 terimin toplamını döngü sayısı ve döngü toplamı yardımıyla bulmak için.
5
Dizinin ilk 40 teriminin genel toplamına ulaşmak.
İlk 4 terimin toplamı ile döngüsel kısmın toplamı birleştirildiğinde: 5+(−24)=−195 + (-24) = -19 elde edilir.
İki grubun toplamını birleştirerek nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Dizilerinde Periyodik Tekrar ve Gruplandırma
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru