Examkin

Temel Kavramlar

49 soru

Soru 41Soru →
Birer tam sayı olan aa ve bb için
a⋅b+aa \cdot b + a
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift tam sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

a⋅bifadesia \cdot b ifadesi
a⋅b+aa \cdot b + a ifadesi ortak çarpan parantezine alındığında a(b+1)a(b + 1) elde edilir. Bu çarpımın tek sayı olması için hem aa hem de b+1b + 1 ifadelerinin tek sayı olması gerekir. Buradan aa'nın tek, bb'nin ise çift tam sayı olduğu sonucu çıkar. Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak incelemek.
a(b+1)a(b + 1) ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını belirlemek daha kolaydır.
2
aa ve bb sayılarının teklik-çiftlik durumlarını saptamak.
aa tek sayı, b+1b + 1 tek sayı yani bb çift sayı olarak bulunur.
İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını kontrol etmek.
a⋅ba \cdot b ifadesi (tek \times çift) her zaman çift bir tam sayıdır.
Tek sayı ile çift sayının çarpımı her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri
Soru 42Soru →

aa bir asal sayı, bb ve cc ise pozitif tam sayılardır.

a+b⋅c=29a + b \cdot c = 29
a⋅b+c=41a \cdot b + c = 41

olduğuna göre, a+b−ca + b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğru cevap 14 değeridir.
Verilen iki denklem taraf tarafa çıkarılıp düzenlendiğinde (b−1)(a−c)=12(b-1)(a-c) = 12 çarpanlara ayrılmış biçimi elde edilir. aa sayısının asal sayı, bb ve cc sayılarının ise pozitif tam sayı olması koşulunu sağlayan tek çözüm kümesi a=3a = 3, b=13b = 13, c=2c = 2 değerleridir. Buradan a+b−ca + b - c toplamı 14 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak çarpan parantezine alınabilecek bir ifade elde edin.
(a⋅b+c)−(a+b⋅c)=41−29  ⟹  a⋅b−b⋅c−a+c=12(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 41 - 29 \implies a \cdot b - b \cdot c - a + c = 12
Denklemler arasındaki ilişkileri analiz edip değişkenleri gruplandırmak amacıyla çıkarma işlemi uygulanır.
2
Elde edilen ifadeyi gruplandırarak ortak paranteze alın ve çarpanlarına ayırın.
b(a−c)−1(a−c)=12  ⟹  (b−1)(a−c)=12b(a - c) - 1(a - c) = 12 \implies (b - 1)(a - c) = 12
Çarpım durumundaki bu ifade sayesinde tam sayı bölenleri üzerinden olası değerleri sınırlandırmak mümkün olur.
3
bb ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c değerlerinin 12'nin pozitif bölenleri olduğunu dikkate alarak durumları tek tek analiz edin.
12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. b−1=12  ⟹  b=13b - 1 = 12 \implies b = 13 ve a−c=1  ⟹  a=c+1a - c = 1 \implies a = c + 1 durumu birinci denklemde yerine yazıldığında; a+13c=29  ⟹  (c+1)+13c=29  ⟹  14c=28  ⟹  c=2a + 13c = 29 \implies (c+1) + 13c = 29 \implies 14c = 28 \implies c = 2 ve a=3a = 3 elde edilir. a=3a = 3 bir asal sayıdır. Diğer bölenler denendiğinde aa ya asal sayı çıkmaz (örneğin b=4  ⟹  a=9b=4 \implies a=9 asal değildir) ya da pozitif tam sayı çözümü elde edilemez.
aa'nın asal sayı olması ve b,cb, c'nin pozitif tam sayı olması koşullarını sağlayan tek geçerli durum belirlenir.
4
Bulunan a=3a = 3, b=13b = 13 ve c=2c = 2 değerlerini kullanarak a+b−ca + b - c ifadesini hesaplayın.
3+13−2=143 + 13 - 2 = 14
Soru kökünde talep edilen aritmetik işlemi tamamlamak için toplama ve çıkarma yapılır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklem sistemlerinin pozitif tam sayılar kümesinde çarpanlara ayırma yöntemi ve asal sayı tanımı kullanılarak çözülmesi.
Soru 43Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a2−b2=2ca^2 - b^2 = 2^c
a−b=c−3a - b = c - 3
olduğunu göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En küçük toplam 21 değeridir.
Denklemler iki kare farkı ve üslü sayı özellikleri kullanılarak çözüldüğünde, aa ve bb tam sayılarının elde edilebilmesi için a−ba-b farkının en az 2 olması gerektiği görülür. Buradan c=5c=5 en küçük pozitif tam sayı değeri olarak bulunur ve a=9a=9, b=7b=7 değerleriyle toplam en az 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak birinci denklemi çarpanlarına ayırın.
a2−b2=(a−b)(a+b)=2ca^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 2^c elde edilir.
Taban pozitif bir çift sayı (2) olduğundan, çarpımın elemanlarının da 2'nin kuvvetleri olması gerektiğini belirlemek için.
2
aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, a−ba-b ve a+ba+b ifadelerinin her ikisinin de 2'nin tam sayı kuvveti olması gerektiğini belirleyin.
a−b=2xa-b = 2^x ve a+b=2ya+b = 2^y (x<yx < y ve x+y=cx+y=c olacak şekilde). aa ve bb'nin tam sayı olabilmesi için x≥1x \ge 1 olmalıdır.
Eğer x=0x = 0 olsaydı, a−b=1a-b = 1 olurdu ve toplamları çift olan 2y2^y ile farkları tek olan 11'in toplamı tek olacağından aa ve bb tam sayı olamazdı.
3
İkinci denklemdeki a−b=c−3a-b = c-3 eşitliğini kullanarak cc değerini xx cinsinden yazın.
2x=c−3  ⟹  c=2x+32^x = c-3 \implies c = 2^x + 3 bulunur.
Değişken sayısını azaltmak ve en küçük cc değerini bulmak için.
4
x≥1x \ge 1 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini vererek aa, bb ve cc değerlerini hesaplayın.
x=1x=1 için c=21+3=5c = 2^1 + 3 = 5 olur. Bu durumda a−b=21=2a-b = 2^1 = 2 ve a+b=24=16a+b = 2^4 = 16 elde edilir. Buradan a=9,b=7a=9, b=7 bulunur.
aa, bb ve cc'nin pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük çözüm kümesini bulmak için.
5
Bulunan en küçük değerlerin toplamını hesaplayın.
a+b+c=9+7+5=21a+b+c = 9+7+5 = 21 bulunur. Daha büyük xx değerleri için toplam büyüyecektir.
Soruda istenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği, üslü ifadeler ve tam sayıların teklik-çiftlik özellikleri.
Soru 44Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a+3ba + 3b ve 5b+2c5b + 2c sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+1)⋅b(a + 1) \cdot b

Cevap

Parantez içinde a artı bir ile b sayısının çarpımı olan ifade her zaman çift sayıdır.
Çözüm adımlarında görüldüğü üzere, iki ifadenin toplamından a sayısının kesinlikle tek sayı olduğu anlaşılır. a tek sayı ise, a + 1 ifadesi kesinlikle çift bir sayıdır. Çift bir sayının pozitif bir tam sayı olan b ile çarpımı her zaman çift sayı olacağından, parantez içinde a artı bir ile b'nin çarpımı olan ifade kesinlikle çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin toplamının tek mi çift mi olduğunu analiz etmek.
İki ifadeden biri tek diğeri çift olduğundan, toplamları tek sayı olmalıdır.
Tek ve çift iki sayının toplamı her zaman tek sayıdır.
2
İfadeleri toplayarak sadeleştirmek.
(a+3b)+(5b+2c)=a+8b+2c(a + 3b) + (5b + 2c) = a + 8b + 2c toplamı elde edilir.
Değişkenleri bir araya getirerek a sayısının teklik veya çiftliğini inceleyebilmek için toplama işlemi yapılır.
3
Elde edilen toplamın terimlerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
8b8b ve 2c2c terimleri çift sayıdır, dolayısıyla a+c¸ift+c¸ift=a+c¸ifta + \text{çift} + \text{çift} = a + \text{çift} ifadesi teke eşit olmalıdır. Buradan a sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır.
Çift katsayı ile çarpılan tam sayılar her zaman çift olduğundan ve toplamın tek olması gerektiğinden a tek sayı olmalıdır.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin değerini a sayısının tek olduğu bilgisiyle test etmek.
aa tek sayı olduğundan a+1a + 1 çift sayıdır. Dolayısıyla, (a+1)⋅b(a + 1) \cdot b ifadesi daima çift sayı olur.
Çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile çarpımı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile temel cebirsel çıkarımlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
a⋅b−b⋅c−a+c=6a \cdot b - b \cdot c - a + c = 6
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

En küçük toplam 8'dir.
Verilen denklem (b−1)(a−c)=6(b - 1)(a - c) = 6 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a,b,ca, b, c pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c pozitif tam sayılar olmalıdır. 6'nın pozitif bölen çiftleri incelendiğinde, toplamı en küçük yapan durumlar (b−1,a−c)=(2,3)(b - 1, a - c) = (2, 3) veya (3,2)(3, 2) olur. Buradan b=3b = 3 ve a−c=3a - c = 3 (veya b=4b = 4 ve a−c=2a - c = 2) elde edilir. En küçük toplam için c=1c = 1 seçildiğinde a=4a = 4 (veya a=3a = 3) bulunur. Değerler birbirinden farklı pozitif tam sayılar şartını sağlar ve toplam 4+3+1=84 + 3 + 1 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
b(a−c)−(a−c)=6⇒(b−1)(a−c)=6b(a - c) - (a - c) = 6 \Rightarrow (b - 1)(a - c) = 6
Denklemi analiz edebilmek ve bilinmeyenlerin alabileceği değerleri belirleyebilmek için.
2
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c değerlerinin 6'nın pozitif bölenleri olması gerektiğini belirleyin.
b−1>0b - 1 > 0 ve a−c>0a - c > 0 olmalıdır, çünkü b≥1b \ge 1 ve b≠1b \neq 1 (eğer b=1b=1 ise çarpım 0 olur). Dolayısıyla a>ca > c olur.
Bilinmeyenlerin tam sayı sınırlarını belirlemek ve toplamı en aza indirecek değerleri seçmek için.
3
6'nın pozitif çarpan çiftlerini (b−1,a−c)(b - 1, a - c) için deneyerek a,b,ca, b, c değerlerini ve toplamlarını bulun.
1) b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 ve a−c=6a - c = 6. c=1  ⟹  a=7c = 1 \implies a = 7. Bu durumda (7,2,1)  ⟹  a+b+c=10(7, 2, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
2) b−1=2  ⟹  b=3b - 1 = 2 \implies b = 3 ve a−c=3a - c = 3. c=1  ⟹  a=4c = 1 \implies a = 4. Bu durumda (4,3,1)  ⟹  a+b+c=8(4, 3, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
3) b−1=3  ⟹  b=4b - 1 = 3 \implies b = 4 ve a−c=2a - c = 2. c=1  ⟹  a=3c = 1 \implies a = 3. Bu durumda (3,4,1)  ⟹  a+b+c=8(3, 4, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
4) b−1=6  ⟹  b=7b - 1 = 6 \implies b = 7 ve a−c=1a - c = 1. c=1  ⟹  a=2c = 1 \implies a = 2. Bu durumda (2,7,1)  ⟹  a+b+c=10(2, 7, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
Birbirinden farklı pozitif tam sayı şartını sağlayan ve toplamı en küçük yapan kombinasyonu seçmek için.
4
Elde edilen sonuçlar arasından en küçük toplamı belirleyin.
En küçük toplam 8'dir. Bu toplam (4,3,1)(4, 3, 1) veya (3,4,1)(3, 4, 1) üçlüleri ile elde edilir.
Soru bizden en küçük değeri istediği için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayılarda değer verme
Soru 46Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
x⋅y−4x+3y=20x \cdot y - 4x + 3y = 20
olduğuna göre, xx tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı ka��tır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

−24-24 (farklı değerlerin toplamı)
Denklem (x+3)(y−4)=8(x + 3)(y - 4) = 8 şeklinde düzenlendiğinde, x+3x + 3 ifadesinin 8'in tüm pozitif ve negatif tam sayı bölenlerine (1,2,4,8,−1,−2,−4,−81, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8) eşit olabileceği görülür. Buradan elde edilen tüm xx değerlerinin toplamı −24-24 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanarak denklem düzenlenir.
x(y−4)+3y=20x(y - 4) + 3y = 20 ifadesi elde edilir.
Denklemi çarpanlarına ayırarak değişkenler arasındaki ilişkiyi analiz edebilmek için.
2
Sol tarafta y−4y - 4 ortak çarpanını oluşturmak amacıyla her iki taraftan 12 çıkarılır.
x(y−4)+3(y−4)=8x(y - 4) + 3(y - 4) = 8 ve buradan (x+3)(y−4)=8(x + 3)(y - 4) = 8 denklemi elde edilir.
İfadeyi çarpım durumuna getirerek tam sayı bölenlerini kullanabilmek için.
3
xx ve yy tam sayılar olduğundan, x+3x + 3 ifadesinin 8'in tam sayı bölenleri olması gerektiği belirlenir ve 8'in tam sayı bölenleri listelenir.
8'in tam say�� bölenleri: 1,2,4,8,−1,−2,−4,−81, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8 olarak bulunur.
Çarpımları 8 olan tam sayı çiftlerini belirlemek için.
4
Her bir bölen değeri (dd) için x=d−3x = d - 3 formülüyle xx değerleri hesaplanır ve bu değerler toplanır.
xx değerleri sırasıyla −2,−1,1,5,−4,−5,−7,−11-2, -1, 1, 5, -4, -5, -7, -11 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı (−2)+(−1)+1+5+(−4)+(−5)+(−7)+(−11)=−24(-2) + (-1) + 1 + 5 + (-4) + (-5) + (-7) + (-11) = -24 olur.
xx tam sayısının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpanlara ayırma ve bölen analizi

İpuçları

1
Denklemi çarpanlarına ayırmak için sol tarafı gruplandırarak ortak paranteze almaya çalışın.
2
Eşitliğin sol tarafında (y−4)(y - 4) çarpanını elde etmek için denklemin her iki tarafından hangi sayıyı çıkarmanız gerektiğini düşünün.
3
(x+3)(y−4)=8(x + 3)(y - 4) = 8 elde ettikten sonra, 8 sayısının hem pozitif hem de negatif tüm tam sayı bölenlerini listeyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (x−a)(y−b)=c(x - a)(y - b) = c formatındaki denklemleri çözerek bu pratik yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kısa yol olarak, x+3=dx + 3 = d (burada dd, 8'in bir bölenidir) yazılırsa x=d−3x = d - 3 olur. 8'in tüm tam sayı bölenlerinin toplamı sıfır (∑d=0\sum d = 0) olduğundan, 8 tane bölen için xx değerlerinin toplamı ∑x=∑d−3×8=0−24=−24\sum x = \sum d - 3 \times 8 = 0 - 24 = -24 olarak pratik yoldan bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 47Soru →

xx, yy ve zz sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere,

3x+4y=5z3x + 4y = 5z

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−zx - z çift sayıdır.

Cevap

İki sayının farkını belirten ifade her zaman bir çift sayıdır.
Verilen 3x+4y=5z3x + 4y = 5z eşitliğinde, 4y4y daima çift bir sayı olduğu için 3x3x ile 5z5z ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynıdır. 33 ve 55 tek sayılar olduğundan xx ve zz değişkenlerinin de teklik-çiftlik durumları aynı olmak zorundadır. Pariteleri aynı olan iki tam sayının farkı (yani biri tek iken diğeri de tek, biri çift iken diğeri de çift olduğundan) daima çift sayı olur. Bu yüzden iki sayının farkını belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki terimlerin katsayılarını ve teklik-çiftlik (parite) durumlarını analiz edin.
3x+4y=5z3x + 4y = 5z eşitliğinde, 4y4y teriminin katsayısı çift olduğundan yy ne olursa olsun 4y4y ifadesi daima bir çift sayıdır.
Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.
2
Eşitliğin her iki tarafının paritesini karşılaştırarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi kurun.
3x+c¸ift=5z3x + \text{çift} = 5z olduğundan, 3x3x ve 5z5z ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmak zorundadır.
Eşitliğin her iki yanındaki ifadelerin pariteleri eşit olmalıdır.
3
3x3x ve 5z5z ifadelerinin paritesinden yararlanarak x−zx - z farkını inceleyin.
33 ve 55 tek sayılar olduğundan, xx tek ise zz tek, xx çift ise zz çift olmak zorundadır. Her iki durumda da iki tek sayının farkı da iki çift sayının farkı da daima çift olacağından x−zx - z daima çift sayıdır.
Teklik ve çiftlik temel çıkarma kuralları gereği aynı paritedeki sayıların farkı çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri

Alternatif Yöntem

Genelliği bozmadan basit değerler vererek seçenekleri eleyebilirsiniz. Örneğin eşitliği sağlayan x=1,y=3,z=3x=1, y=3, z=3 (hepsi tek) ve x=2,y=1,z=2x=2, y=1, z=2 (iki çift, bir tek) durumlarını denediğinizde sadece iki sayının farkının çift sayı olduğu seçeneğin her iki durumu da sağladığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 48Soru →
mm, nn ve pp birer tam sayıdır.
m⋅n=18n⋅p=24 \begin{aligned} m \cdot n &= 18 \\ n \cdot p &= 24 \end{aligned}
olduğuna göre, m+n+pm + n + p toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -43

Cevap

-43
Toplamı en küçük yapmak amacıyla değişkenlerin negatif tam sayı değerleri alması gerektiği belirlenir. Ortak olan değişken olan nn sayısına −1-1 değeri verildiğinde, m=−18m = -18 ve p=−24p = -24 elde edilir. Bu değerlerin toplamı (−18)+(−1)+(−24)=−43(-18) + (-1) + (-24) = -43 olur ve bu değer alabileceğimiz en küçük toplam değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım denklemlerini yazıp ortak olan değişkeni belirleme
m⋅n=18m \cdot n = 18 ve n⋅p=24n \cdot p = 24 denkleminde ortak değişken nn sayısıdır.
nn sayısına verilecek değerler diğer iki değişkenin değerlerini doğrudan belirler.
2
m+n+pm + n + p toplamının en küçük değerini bulmak için değişkenlerin işaretini belirleme
Değişkenler tam sayı olduğu için negatif değerler alabilirler. Toplamı en küçük yapmak için negatif değerler seçilmelidir.
Negatif sayıların toplamı, pozitif sayıların toplamından her zaman daha küçüktür.
3
Ortak çarpan nn için olası negatif tam sayı değerlerini ve buna bağlı mm ile pp değerlerini hesaplama
n=−1n = -1 için m=−18m = -18 ve p=−24p = -24 olur. Bu durumda toplam: (−18)+(−1)+(−24)=−43(-18) + (-1) + (-24) = -43 bulunur.
nn sayısının mutlak değerini en küçük tutarak (n=−1n = -1), diğer çarpanların mutlak değerce en büyük negatif sayı olmalarını sağlamak toplamı minimize eder.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Çarpım-Toplam İlişkisi
Soru 49Soru →

aa, bb ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

toplamın alabileceği en küçük değer olan 16'dır
Verilen denklemde en küçük toplamı elde etmek için katsayısı büyük olan değişkenlere olabildiğince büyük değerler vermeliyiz. Sayıların birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması koşulu altında, c=11c = 11, b=4b = 4 ve a=1a = 1 değerleri denklemi sağlar ve en küçük toplamı olan 16 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyerek toplam ifadesini yalnız bırakma.
a+b+ca + b + c toplamına SS diyelim. Verilen a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 denklemini S+b+2c=42S + b + 2c = 42 şeklinde yazabiliriz. Buradan S=42−(b+2c)S = 42 - (b + 2c) elde edilir.
SS toplamını en küçük yapmak için çıkarılan (b+2c)(b + 2c) ifadesini en büyük yapmamız gerektiğini görmek.
2
aa değişkeninin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanma.
a≥1a \geq 1 olduğundan, 42−2b−3c≥1  ⟹  2b+3c≤4142 - 2b - 3c \geq 1 \implies 2b + 3c \leq 41 eşitsizliği elde edilir.
bb ve cc değişkenlerinin alabileceği üst sınırları belirlemek.
3
cc değişkenine en büyük değerleri vererek bb ve aa değerlerini test etme.
c=13c = 13 için 2b≤2  ⟹  b=1  ⟹  a=12b \leq 2 \implies b = 1 \implies a = 1 olur (farklı olma koşuluna uymaz). c=12c = 12 için 2b≤5  ⟹  b=12b \leq 5 \implies b = 1 veya b=2b = 2 olabilir. b=1b=1 için a=4a=4 bulunur (toplam 1717 olur). c=11c = 11 için 2b≤8  ⟹  b≤42b \leq 8 \implies b \leq 4 olur. En büyük b=4b = 4 için a=1a = 1 bulunur (toplam 1+4+11=161+4+11 = 16 olur).
Değişkenlerin birbirinden farklı ve pozitif tam sayı olma koşullarına göre en küçük toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Sayı Kümelerinde Değer Verme

İpuçları

1
a+b+ca + b + c toplamını en küçük yapmak için katsayısı büyük olan bb ve cc değişkenlerini olabildiğince büyük seçmeye çalışmalısınız.
2
a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 ifadesini (a+b+c)+b+2c=42(a+b+c) + b + 2c = 42 olarak düzenleyin. Toplamın en küçük olması için b+2cb + 2c ifadesi en büyük olmalıdır.
3
c=13c = 13, c=12c = 12 ve c=11c = 11 durumlarını tek tek deneyerek değişkenlerin pozitif tam sayı ve birbirinden farklı olma koşullarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde katsayıları farklı olan denklemlerde en büyük veya en küçük değer sorularını çözerek değer verme becerilerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde aa yalnız bırakılırsa a=42−2b−3ca = 42 - 2b - 3c olur. a≥1a \geq 1 eşitsizliğinden yola çıkarak 2b+3c≤412b + 3c \leq 41 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük b+2cb + 2c değerini arayarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 3
Temel Kavramlar Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3 | Examkin