Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Benzerlik

Bir köprü projesinin teknik çiziminde, ABCABC üçgeni biçimindeki bir destek bloğu modellenmiştir. Modelde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerinde, EE noktası ise [AC][AC] kenarı üzerinde yer almaktadır. [AD][AD] ve [BE][BE] destek kirişleri KK noktasında kesişmektedir.

Verilen çizimde:
∣BD∣=2∣DC∣|BD| = 2|DC|
∣AE∣=3∣EC∣|AE| = 3|EC|

Sistemin dengesini artırmak amacıyla, KK noktasından geçip [BC][BC] kenarına paralel olan bir [KF][KF] ara bağlantısı eklenmiştir (F∈[AC]F \in [AC]).

∣AC∣=44|AC| = 44 birim olduğuna göre, [AC][AC] üzerindeki EE ve FF noktaları arasındaki mesafe (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

  1. 3Cevap
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    11

Cevap

E ve F noktaları arasındaki mesafe 3 birimdir.
Soruda verilen oranlar kullanılarak önce Menelaus teoremi ile kesişim noktasının (K) konumu belirlenir (AK/AD=9/11AK/AD = 9/11). Daha sonra KF∥DCKF \parallel DC olduğu için Temel Benzerlik Teoremi ile F noktasının yeri (AF=36AF=36) bulunur. E noktasının yeri verilen orandan (AE=33AE=33) hesaplanır. İki nokta arasındaki fark 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları yerleştir ve Menelaus Teoremi'ni uygula.
ADC üçgeninde B-K-E keseni için Menelaus: (CB/BD)⋅(DK/KA)⋅(AE/EC)=1(CB/BD) \cdot (DK/KA) \cdot (AE/EC) = 1. Verilenler BD=2k,DC=k  ⟹  CB=3kBD=2k, DC=k \implies CB=3k ve AE=3m,EC=mAE=3m, EC=m. Denklem: (3k/2k)⋅(DK/KA)⋅(3m/m)=1  ⟹  (3/2)⋅(DK/KA)⋅3=1(3k/2k) \cdot (DK/KA) \cdot (3m/m) = 1 \implies (3/2) \cdot (DK/KA) \cdot 3 = 1.
K noktasının AD üzerindeki konumunu (AK/AD oranını) bulmak için Menelaus teoremi gereklidir.
2
AK/AD oranını hesapla.
9/2⋅(DK/KA)=1  ⟹  DK/KA=2/99/2 \cdot (DK/KA) = 1 \implies DK/KA = 2/9. Buradan AK/AD=AK/(AK+KD)=9/(9+2)=9/11AK/AD = AK/(AK+KD) = 9/(9+2) = 9/11 bulunur.
Paralel doğru parçasının (KF) yerini belirlemek için tepe noktasına olan oran gereklidir.
3
Thales (Temel Orantı) Teoremi ile F noktasının konumunu bul.
KF∥DCKF \parallel DC olduğundan △ADC\triangle ADC içinde AF/AC=AK/ADAF/AC = AK/AD olur. AF/44=9/11  ⟹  AF=36AF/44 = 9/11 \implies AF = 36 birim.
Paralel doğrularda kenarlar orantılı bölünür.
4
E noktasının konumunu bul ve |EF| mesafesini hesapla.
∣AE∣=3∣EC∣|AE| = 3|EC| ve ∣AC∣=44|AC|=44 olduğundan ∣AE∣=34⋅44=33|AE| = \frac{3}{4} \cdot 44 = 33 birim. ∣EF∣=∣AF−AE∣=∣36−33∣=3|EF| = |AF - AE| = |36 - 33| = 3 birim.
İki nokta arasındaki mesafe, tepe noktasına olan uzaklıkların farkıdır.

Anahtar Kavram

Menelaus Teoremi ve Temel Orantı (Thales) Teoremi'nin birlikte kullanımı

İpuçları

1
Önce ADCADC üçgenine odaklanın ve B−K−EB-K-E doğrusunun bu üçgeni kestiğini düşünerek Menelaus Teoremi'ni uygulayın.
2
Menelaus Teoremi ile AK/ADAK/AD oranını bulduktan sonra, KF∥BCKF \parallel BC bilgisini kullanarak AFAF uzunluğunu Thales Teoremi ile hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Menelaus teoremini kullanmadan, sadece alan oranları yöntemiyle çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

A noktasından BC'ye paralel bir doğru çizip 'Kelebek' (Papillon) benzerliği oluşturarak da K noktasının oranını bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru