Examkin

Üçgende Benzerlik

33 soru

Soru 1Soru →

Bir kamu binasının projesinde, ön cephede yer alan ABCABC üçgeni şeklindeki dekoratif cam yüzey, tabana (BCBC kenarına) paralel çekilen bir çelik kiriş (DEDE) ile iki bölgeye ayrılmıştır. ADEADE üçgeni biçimindeki üst kısım şeffaf cam, BCEDBCED dörtgeni biçimindeki alt kısım ise renkli cam ile kaplanacaktır. Projede, renkli cam ile kaplanacak alanın, şeffaf cam ile kaplanacak alanın 8 katı olması planlanmıştır. ADEADE üçgeninin yüksekliği 2 metre olduğuna göre, tüm cephenin (ABCABC üçgeninin) yüksekliği kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tüm cephenin yüksekliği 6 metredir.
Doğru cevap, benzerlik ve alan ilişkisi kullanılarak bulunur. DE//BCDE // BC olduğu için ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Alanlar oranı 1/91/9 olarak bulunduğunda, benzerlik oranı bu değerin karekökü olan 1/31/3'tür. Küçük üçgenin yüksekliği 2 m ise, büyük üçgenin yüksekliği bunun 3 katı, yani 6 m olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Alanlar arasındaki kat ilişkisini belirle.
Şeffaf Alan (A(ADE)A(ADE)) = SS ise, Renkli Alan (A(BCED)A(BCED)) = 8S8S olur.
Soruda verilen '8 katı' ilişkisi matematiksel olarak ifade edilir.
2
Toplam alanı ve alanlar oranını hesapla.
Toplam Alan (A(ABC)A(ABC)) = S+8S=9SS + 8S = 9S. Alanlar Oranı: A(ADE)A(ABC)=S9S=19\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}.
Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı kullanılır.
3
Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.
Benzerlik Oranı (kk) = 19=13\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan Oranık^2 = \text{Alan Oranı}).
4
Yükseklikler arasındaki ilişkiyi kur ve sonucu bul.
hku¨c\cu¨khbu¨yu¨k=13⇒2hbu¨yu¨k=13⇒hbu¨yu¨k=6\frac{h_{küçük}}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{büyük} = 6 metre.
Benzerlik oranı, karşılıklı yüksekliklerin oranına da eşittir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (A1A2=k2\frac{A_1}{A_2} = k^2).

İpuçları

1
Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
2
Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan1Alan2k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}).
3
Toplam alan 9S9S, küçük alan SS'dir. Alanlar oranı 1/91/9 ise benzerlik oranı 1/31/3 olur.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (küpü) üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Yükseklik hh ile alan orantılıdır (h2h^2). hku¨c\cu¨k2h_{küçük}^2 orantılıdır SS, hbu¨yu¨k2h_{büyük}^2 orantılıdır 9S9S. Buradan hbu¨yu¨k=3×hku¨c\cu¨kh_{büyük} = 3 \times h_{küçük} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir şehir parkında tasarlanan yürüyüş yollarında [AB]∥[DE][AB] \parallel [DE] olduğu bilinmektedir. A,C,DA, C, D noktaları ile B,C,EB, C, E noktaları doğrusal olacak şekilde bu yollar CC noktasında kesişen iki ara yolla birleşmektedir. ∣AB∣=8|AB| = 8 metre, ∣DE∣=12|DE| = 12 metre ve BB ile EE noktaları arasındaki toplam mesafe (∣BE∣|BE|) 25 metredir. Buna göre, CC ile EE noktaları arasındaki mesafe (∣CE∣|CE|) kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

C ve E noktaları arasındaki mesafe 15 metredir.
Verilen [AB]∥[DE][AB] \parallel [DE] paralelliği sayesinde △ABC\triangle ABC ile △EDC\triangle EDC üçgenleri arasında kelebek benzerliği oluşur. Bu benzerliğe göre kenarlar arasındaki oran ∣AB∣/∣DE∣=8/12=2/3|AB|/|DE| = 8/12 = 2/3 şeklindedir. ∣BC∣/∣CE∣|BC|/|CE| oranı da buna eşit olmalıdır. ∣BE∣=25|BE| = 25 birimlik toplam uzunluk 2:32:3 oranında paylaştırıldığında, büyük olan parça (∣CE∣|CE|) 15 metre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik ilişkisini belirle.
△ABC∼△EDC\triangle ABC \sim \triangle EDC
[AB]∥[DE][AB] \parallel [DE] olduğu için iç ters açılar eşittir (AA açısı DD açısına, BB açısı EE açısına eşittir). Bu durum A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralını sağlar.
2
Benzerlik oranını kur.
k=∣AB∣∣DE∣=812=23k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
Karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine oranlıdır.
3
İlgili kenarlar arasında oran kur.
∣BC∣∣CE∣=23\frac{|BC|}{|CE|} = \frac{2}{3}
Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar aynı benzerlik oranına sahiptir.
4
Toplam uzunluğu kullanarak bilinmeyeni bul.
∣BC∣=2k|BC| = 2k ve ∣CE∣=3k|CE| = 3k ise 2k+3k=25  ⟹  5k=25  ⟹  k=52k + 3k = 25 \implies 5k = 25 \implies k = 5
B,C,EB, C, E noktaları doğrusal olduğundan ∣BC∣+∣CE∣=∣BE∣|BC| + |CE| = |BE| eşitliği geçerlidir.
5
∣CE∣|CE| uzunluğunu hesapla.
∣CE∣=3×5=15|CE| = 3 \times 5 = 15 metre
Orantı sabitini hedef kenar çarpanı ile çarparak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

İpuçları

1
Paralel doğrular arasında oluşan 'Z' kuralını hatırlayarak hangi açıların birbirine eşit olduğunu bulun.
2
Üçgenler arasındaki benzerlik oranını 8/128/12 sadeleştirerek 2/32/3 olarak belirleyin.
3
∣BC∣=2x|BC| = 2x ve ∣CE∣=3x|CE| = 3x diyerek toplamı olan 5x=255x = 25 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda benzerlik oranının karesini alarak üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 3Soru →

ABC bir üçgen, G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. G noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru, [AB][AB] kenarını D, [AC][AC] kenarını E noktasında kesmektedir.

Bu kesim sonucunda oluşan DBCE dörtgeninin alanı 40 cm240 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ADE üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

ADE üçgeninin alanı 32 cm² dir.
Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler, bu da tepe noktasından tabana olan uzaklıklar oranının (benzerlik oranı) 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan (2/3)2=4/9(2/3)^2 = 4/9 olur. Yani küçük üçgenin alanı 4S4S ise büyük üçgenin alanı 9S9S, aradaki dörtgenin alanı ise 9S−4S=5S9S - 4S = 5S olur. 5S=405S = 40 verildiğinden S=8S=8 bulunur. İstenen alan 4S=324S = 32 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini hatırla
G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler. Yani ∣AG∣=2k|AG| = 2k ise ∣GM∣=k|GM| = k ve toplam kenarortay ∣AM∣=3k|AM| = 3k olur.
Üçgenin ağırlık merkezinin temel özelliği, kenarortay üzerinde 2:1 oranını sağlamasıdır.
2
Benzerlik oranını belirle
DE∥BCDE \parallel BC olduğundan △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC dir. Benzerlik oranı k=∣AG∣∣AM∣=23k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3} tür.
Temel orantı teoremine göre paralel doğrularla oluşan üçgenler benzerdir.
3
Alanlar oranını hesapla
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: A(ADE)A(ABC)=(23)2=49\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.
4
Alanları değişken cinsinden ifade et ve denklemi çöz
A(ADE)=4SA(ADE) = 4S dersek, A(ABC)=9SA(ABC) = 9S olur. Dörtgenin alanı farka eşittir: A(DBCE)=9S−4S=5SA(DBCE) = 9S - 4S = 5S. Verilen 5S=405S = 40 ise S=8S = 8 bulunur.
Büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak dörtgenin alanı bulunur.
5
İstenen alanı bul
Bizden A(ADE)A(ADE) istenmiştir. A(ADE)=4S=4×8=32 cm2A(ADE) = 4S = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2.
Bulunan birim alan (S) değeri yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2 dir.

İpuçları

1
Üçgenin ağırlık merkezi (G), köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında sabit bir oran (2:1) kurar.
2
Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı ∣AG∣/∣AM∣|AG| / |AM| şeklindedir.
3
Benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2 dir. Oranınız 2/3 ise, alanlar oranı 4/9 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Ağırlık merkezi yerine kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan alan sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Yükseklikler oranı üzerinden de gidilebilir: Ağırlık merkezinden geçen paralel, yüksekliği de 2:1 oranında böler (h1=2h,h2=hh_1 = 2h, h_2 = h). Üstteki üçgenin tabanı 2x2x, alttaki yamuğun alt tabanı 3x3x olur. Alan formülleriyle oran yine bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir fizik laboratuvarında gerçekleştirilen 'Karanlık Kutu' (Pinhole Camera) deneyinde, ışık doğrusal yayıldığı için üçgende benzerlik prensibinden faydalanılmaktadır.

Boyu 1,21,2 metre olan dikey bir çubuk, iğne deliğinin bulunduğu noktadan 44 metre uzağa yerleştirildiğinde, kutunun arka yüzeyindeki ekran üzerinde çubuğun ters bir görüntüsü oluşmakta ve görüntü boyu 1515 cm olarak ölçülmektedir.

Buna göre, çubuk iğne deliğine doğru 11 metre yaklaştırılırsa, ekrandaki görüntünün boyu kaç santimetre artar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ekrandaki görüntünün boyu 5 cm artar.
Işık doğrusal yayıldığı için cisim ve görüntüsü, iğne deliği noktasında kesişen iki benzer üçgen oluşturur (Kelebek benzerliği). İlk durumda 12015=400kutu_derinligi\frac{120}{15} = \frac{400}{kutu\_derinligi} orantısından kutu derinliği 50 cm bulunur. İkinci durumda cisim 100 cm yaklaştığı için mesafe 300 cm olur. Yeni orantı 120hyeni=30050\frac{120}{h_{yeni}} = \frac{300}{50} şeklinde kurulur ve yeni görüntü 20 cm bulunur. Artış miktarı 20−15=520 - 15 = 5 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen birimleri uyumlu hale getir (metreleri santimetreye çevir).
Cisim boyu hc=120h_c = 120 cm, İlk uzaklık d1=400d_1 = 400 cm, İlk görüntü boyu hg1=15h_{g1} = 15 cm.
Benzerlik oranlarında birimlerin aynı olması işlem hatasını önler.
2
Karanlık kutunun derinliğini (xx) bulmak için temel benzerlik oranını kur (Kelebek/Kum saati benzerliği).
hchg1=d1x⇒12015=400x⇒8=400x⇒x=50\frac{h_c}{h_{g1}} = \frac{d_1}{x} \Rightarrow \frac{120}{15} = \frac{400}{x} \Rightarrow 8 = \frac{400}{x} \Rightarrow x = 50 cm.
Cisim ile görüntü arasındaki benzerlik oranı, cismin deliğe uzaklığı ile görüntünün deliğe uzaklığı (kutu derinliği) oranına eşittir.
3
Cisim 1 metre yaklaştırıldığında yeni uzaklığı hesapla ve yeni benzerlik denklemini kur.
Yeni uzaklık d2=400−100=300d_2 = 400 - 100 = 300 cm. Denklem: 120hg2=30050\frac{120}{h_{g2}} = \frac{300}{50}.
Kutu derinliği (x=50x=50 cm) sabittir, değişen sadece cismin mesafesidir.
4
Yeni görüntü boyunu (hg2h_{g2}) hesapla.
120hg2=6⇒hg2=1206=20\frac{120}{h_{g2}} = 6 \Rightarrow h_{g2} = \frac{120}{6} = 20 cm.
Orantı çözülerek yeni uzunluk bulunur.
5
İlk ve son görüntü boyları arasındaki farkı bul.
Artış = 20−15=520 - 15 = 5 cm.
Soru, yeni boyu değil, boydaki artış miktarını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik ve Kelebek (Kum Saati) Teoremi

İpuçları

1
Sorudaki düzeneği, tepeleri iğne deliğinde birleşen iki üçgen (kelebek benzerliği) olarak çizin. Kutunun derinliği (iğne deliği ile ekran arası mesafe) her iki durumda da sabittir.
2
İlk durumu kullanarak kutunun derinliğini hesaplayın: Cisim BoyuGo¨ru¨ntu¨ Boyu=Cisim Uzaklıg˘ıKutu Derinlig˘i\frac{\text{Cisim Boyu}}{\text{Görüntü Boyu}} = \frac{\text{Cisim Uzaklığı}}{\text{Kutu Derinliği}}.
3
Kutu derinliğini 50 cm bulmalısınız. İkinci durumda cisim uzaklığı 300 cm olduğunda, aynı formülü kullanarak yeni görüntü boyunu bulun ve farkı alın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının alan üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözülebilir (örn. görüntünün alanı ne kadar artar?).

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla: Uzaklık 400 cm iken oran 120/15 = 8'dir. Yani cisim, görüntünün 8 katıdır. İkinci durumda uzaklık 300 cm ve kutu derinliği değişmediği için (oran derinliğe bağlıdır), yeni oran 300/50=6300/50 = 6 olacaktır. 120/hyeni=6120 / h_{yeni} = 6 ise hyeni=20h_{yeni} = 20 olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Bir ABCABC üçgeninde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretleniyor. [DE]//[BC][DE] // [BC] olmak üzere, [BE][BE] ve [CD][CD] doğru parçaları FF noktasında kesişmektedir. Alan(FDE)=4 cm2Alan(FDE) = 4 \text{ cm}^2 ve Alan(FBC)=9 cm2Alan(FBC) = 9 \text{ cm}^2 olduğuna göre, Alan(ADE)Alan(ADE) kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20
Verilen alanlar yardımıyla önce kelebek benzerliğinden temel benzerlik oranı 2/32/3 olarak bulunur. Ardından yamuk bölgesinin toplam alanı hesaplanır (25 cm225 \text{ cm}^2). Temel benzerlik teoremi ile alanların oranı 4/94/9 olarak belirlenir ve kurulan denklem sonucunda üstteki üçgenin alanı 20 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
△FDE∼△FBC\triangle FDE \sim \triangle FBC benzerliğini kurun.
DEBC=Alan(FDE)Alan(FBC)=49=23\frac{DE}{BC} = \sqrt{\frac{Alan(FDE)}{Alan(FBC)}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
Paralellikten dolayı bu iki üçgen benzerdir ve alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
2
DBCEDBCE yamuğunun toplam alanını hesaplayın.
Alan(FDB)=Alan(FEC)=4×9=6 cm2Alan(FDB) = Alan(FEC) = \sqrt{4 \times 9} = 6 \text{ cm}^2. Toplam Alan(DBCE)=4+9+6+6=25 cm2Alan(DBCE) = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 \text{ cm}^2.
Bir yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine ve tabanlardaki üçgenlerin alanlarının geometrik ortalamasına eşittir.
3
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliğini ve alan ilişkisini kurun.
Alan(ADE)Alan(ABC)=(DEBC)2=(23)2=49\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}
DE//BCDE // BC olduğu için temel benzerlik teoremi uyarınca bu üçgenler benzerdir.
4
Alan(ADE)=SAlan(ADE) = S diyerek denklemi çözün.
SS+25=49⇒9S=4S+100⇒5S=100⇒S=20\frac{S}{S + 25} = \frac{4}{9} \Rightarrow 9S = 4S + 100 \Rightarrow 5S = 100 \Rightarrow S = 20
Alan(ABC)=Alan(ADE)+Alan(DBCE)Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE) olduğu için toplam alan yerine S+25S+25 yazılır.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişki (k2k^2) ve yamukta alan özellikleri.

İpuçları

1
Paralellikten dolayı △FDE\triangle FDE ile △FBC\triangle FBC arasındaki kelebek benzerliğine odaklanın.
2
Kelebekteki alanlar oranı 4/94/9 ise, DE/BCDE/BC benzerlik oranını bulun ve bu oranı büyük üçgendeki temel benzerliğe taşıyın.
3
Yamuk bölgesinin (DBCEDBCE) toplam alanını bulup, Alan(ADE)Alan(ADE)+Alan(DBCE)=(DEBC)2\frac{Alan(ADE)}{Alan(ADE)+Alan(DBCE)} = (\frac{DE}{BC})^2 formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Alan oranı verildiğinde benzerlik oranına geçiş yapmak için karekök almayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

ABCABC bir üçgen, [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. ADEADE üçgeninin alanı 9 cm29 \text{ cm}^2 ve BCEDBCED dörtgeninin alanı 16 cm216 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ∣AD∣∣DB∣\frac{|AD|}{|DB|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

İstenen oran 32\frac{3}{2}'dir.
Doğru cevap, alanlar oranından (925\frac{9}{25}) benzerlik oranına (35\frac{3}{5}) geçilip, bu oranın kenar parçalarına (∣AD∣=3k,∣DB∣=2k|AD|=3k, |DB|=2k) doğru dağıtılmasıyla bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam alanı hesapla.
ABCABC üçgeninin toplam alanı = 9+16=25 cm29 + 16 = 25 \text{ cm}^2.
Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin (ADEADE) alanının büyük üçgenin (ABCABC) alanına oranlanması gerekir.
2
Alanlar oranından benzerlik oranını (kk) bul.
A(ADE)A(ABC)=925=k2⇒k=925=35\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{9}{25} = k^2 \Rightarrow k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Kenar uzunluklarını oranla ilişkilendir.
k=∣AD∣∣AB∣=35k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{5} olduğu için ∣AD∣=3x|AD| = 3x ve ∣AB∣=5x|AB| = 5x diyebiliriz.
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
4
İstenen ∣AD∣/∣DB∣|AD|/|DB| oranını hesapla.
∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=5x−3x=2x|DB| = |AB| - |AD| = 5x - 3x = 2x. Buradan ∣AD∣∣DB∣=3x2x=32\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}.
Soruda tüm kenarın değil, parçaların oranı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan1Alan2k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}).

İpuçları

1
Önce küçük üçgen (ADEADE) ile büyük üçgenin (ABCABC) alanlarını oranlayın.
2
Üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (k2k^2) eşittir.
3
Benzerlik oranı 3/53/5 bulunur. Bu, kenarın 3 parçasının yukarıda, tamamının 5 parça olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin alanları farkının sorulduğu bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, D∈[AC]D \in [AC] ve E∈[BC]E \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. Üçgen üzerinde ∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| ve ∣BE∣=∣EC∣|BE| = |EC| eşitlikleri verilmiştir. [AE][AE] ve [BD][BD] doğru parçaları FF noktasında kesişmektedir. ∣BF∣=12|BF| = 12 cm olduğuna göre, ∣FD∣|FD| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

FD uzunluğu 8 cm'dir.
Soruyu çözmek için E noktasından [BD]'ye paralel çizmek en pratik yöntemdir (Menelaus teoremi müfredat dışı kabul edilse bile benzerlikle ispatlanabilir). Bu paralel çizildiğinde BCD üçgeninde orta taban oluşur ve AC üzerindeki oranlar parçalanır. Oluşan yeni üçgenlerdeki (AKE ve AFD) temel benzerlik oranı 4/5 bulunur. Bu oranlar yerine konulduğunda istenen uzunluk 8 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
E noktasından [BD] doğrusuna paralel bir yardımcı doğru çizin ve bu doğrunun [AC] kenarını kestiği noktaya K deyin.
[EK] // [BD] olur.
Üçgende benzerlik (Tales) teoremini uygulayabilmek için paralel bir doğruya ihtiyaç vardır.
2
BCD üçgeninde temel orantı teoremini (Tales) uygulayın.
E noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan (|BE|=|EC|), K noktası da [DC]'nin orta noktası olur. Yani |DK| = |KC| = k diyelim.
Bir üçgenin bir kenarının orta noktasından diğer kenara çizilen paralel doğru, üçüncü kenarı da ortalar (Orta Taban).
3
Verilen |AD| = 2|DC| oranını kullanarak AD uzunluğunu k cinsinden ifade edin.
|DC| = 2k olduğundan, |AD| = 2(2k) = 4k olur.
Soruda verilen oranları ortak birim cinsinden yazarak karşılaştırma yapmak için.
4
AKE üçgeninde [FD] // [EK] paralelliğini kullanarak benzerlik oranını hesaplayın.
Benzerlik oranı = |AD| / |AK| = 4k / (4k + k) = 4/5. Dolayısıyla |FD| / |EK| = 4/5 olur.
Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular kenarları aynı oranda böler.
5
BF ve FD arasındaki ilişkiyi kurarak sonuca ulaşın.
|EK|, BCD üçgeninde orta taban olduğundan |EK| = |BD|/2'dir. Buradan |BD| = 2|EK| olur. |FD| = (4/5)|EK| olduğunu bulmuştuk. |BF| = |BD| - |FD| = 2|EK| - 0.8|EK| = 1.2|EK|. Verilen |BF|=12 ise, 1.2|EK|=12 => |EK|=10. O halde |FD| = 0.8 * 10 = 8 cm.
Parçalar arasındaki cebirsel ilişkiyi çözerek istenen uzunluğu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Yardımcı Doğru Çizimi (Menelaus Alternatifi)

İpuçları

1
Üçgenin içinde kesişen doğrular gördüğünüzde ve doğrudan bir oran yoksa, paralel bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E noktasından [BD] doğrusuna paralel çizerseniz, [AC] kenarını nasıl böler?
3
Çizdiğiniz paralel ile oluşan orta tabanı görün. Daha sonra yukarıdaki AKE üçgeninde oluşan benzerliği kullanarak |AD| ve |AK| oranını yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer oranların verildiği ancak kesişim noktasının dışarıda olduğu 'Kelebek Benzerliği' sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Menelaus teoremi ile: ADC üçgeni ve E-F-B keseni için; (CB/CE) * (EF/FA) * (AD/DB)... Bu soru için Menelaus teoremi A-E-C üçgeni ve B-F-D keseni için uygulanırsa: (|CB|/|CE|) * (|EK|/|KA|) gibi karmaşık olabilir. En kolayı dışarıdan paralel tamamlamaktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 8Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olmak üzere oluşturulan bölgelerin alanları incelenmiştir.

ADEADE üçgeninin alanı 4 cm24 \text{ cm}^2 ve EFCEFC üçgeninin alanı 9 cm29 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin toplam alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

ABC üçgeninin alanı 25 cm² dir.
Verilen şekilde DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olduğundan BDEFBDEF bir paralelkenardır. ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir, aynı şekilde EFCEFC üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan(ADE)Alan(ABC)+Alan(EFC)Alan(ABC)=1\sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} + \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}} = 1 eşitliği bu özel formül için geçerlidir. 2S+3S=1\frac{2}{\sqrt{S}} + \frac{3}{\sqrt{S}} = 1 denkleminden S=5\sqrt{S} = 5 ve S=25S = 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranlarını alanlar yardımıyla ifade et.
ADE ~ ABC ve EFC ~ ABC dir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k² = AlanOranı).
Paralellikten dolayı (DE//BC ve EF//AB) oluşan küçük üçgenler büyük üçgen ile benzerdir.
2
ADE ve EFC üçgenlerinin ABC üçgenine olan benzerlik oranlarını (k1 ve k2) hesapla.
k1 = √(Alan(ADE)/Alan(ABC)) = 2/√S ve k2 = √(Alan(EFC)/Alan(ABC)) = 3/√S.
Alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan kenar oranlarına geçilir.
3
Paralelkenar özelliğini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
|BC| = |BF| + |FC|. |BF| = |DE| olduğu için (BDEF paralelkenar), |BC| = |DE| + |FC|.
Taban kenarı parçaların toplamına eşittir ve paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir.
4
Oranları toplayarak eşitliği çöz.
1 = k1 + k2 => 1 = 2/√S + 3/√S => 1 = 5/√S => √S = 5 => S = 25.
Kenar oranlarının toplamı bütünü (1) vermelidir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralelliklerden dolayı ADEADE ve EFCEFC üçgenlerinin her ikisi de büyük ABCABC üçgenine benzerdir.
2
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir (k=Alan1/Alan2k = \sqrt{Alan_1/Alan_2}). BDEFBDEF dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu unutmayın.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} pratik kuralını kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekil üzerinde alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Bu tip (paralelkenar ile ayrılmış) sorularda toplam alanın karekökü, parçaların alanlarının karekökleri toplamına eşittir. S=4+9=2+3=5\sqrt{S} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5, buradan S=25S=25.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

ABCABC bir üçgen ve D∈[BC]D \in [BC] noktasıdır.

m(DAC^)=m(ABC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC})
∣AC∣=12 cm|AC| = 12 \text{ cm}
∣DC∣=8 cm|DC| = 8 \text{ cm}
∣AD∣=10 cm|AD| = 10 \text{ cm}

Verilenlere göre, ∣AB∣+∣BD∣|AB| + |BD| toplamı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Doğru cevap 25'tir.
Soruda verilen açı eşitliği ve C^\widehat{C} açısının ortak olması nedeniyle △ADC\triangle ADC ile △BAC\triangle BAC benzerdir. Benzerlik oranı 8/12=2/38/12 = 2/3 olarak bulunur. Bu oran kullanılarak ∣BC∣=18|BC|=18 ve ∣AB∣=15|AB|=15 hesaplanır. ∣BD∣=10|BD|=10 bulunur ve toplam 25 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açı eşitliklerini kullanarak benzer üçgenleri belirle.
Ortak açı C^\widehat{C} ve verilen eşitlik m(DAC^)=m(B^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B}) nedeniyle △ADC∼△BAC\triangle ADC \sim \triangle BAC.
İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Açı-Açı Benzerliği), bu üçgenler benzerdir.
2
Benzerlik oranını kurarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla.
∣DC∣∣AC∣=∣AC∣∣BC∣⇒812=12∣BC∣⇒∣BC∣=18 cm\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} \Rightarrow \frac{8}{12} = \frac{12}{|BC|} \Rightarrow |BC| = 18 \text{ cm}.
Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Benzerlik oranını kullanarak ∣AB∣|AB| uzunluğunu hesapla.
∣AD∣∣AB∣=∣DC∣∣AC∣⇒10∣AB∣=812=23⇒∣AB∣=15 cm\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DC|}{|AC|} \Rightarrow \frac{10}{|AB|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow |AB| = 15 \text{ cm}.
Benzerlik oranı k=2/3k = 2/3 olarak kullanılarak üçüncü kenar bulunur.
4
∣BD∣|BD| uzunluğunu bul ve istenen toplamı hesapla.
∣BD∣=∣BC∣−∣DC∣=18−8=10 cm|BD| = |BC| - |DC| = 18 - 8 = 10 \text{ cm}. Toplam: ∣AB∣+∣BD∣=15+10=25 cm|AB| + |BD| = 15 + 10 = 25 \text{ cm}.
Parça uzunluğu bütünden çıkarılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Açı-Açı Benzerlik Teoremi (Gizli Benzerlik)

İpuçları

1
Üçgenlerdeki açıları isimlendirin. C açısı hem küçük üçgende (ADC) hem de büyük üçgende (ABC) ortaktır.
2
İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Ortak C açısı ve verilen eşit açılar), üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir: △ADC∼△BAC\triangle ADC \sim \triangle BAC.
3
Benzerlik oranını yazın: ∣DC∣∣AC∣=∣AC∣∣BC∣=∣AD∣∣AB∣\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}. Bilinen değerleri (8, 12, 10) yerine koyarak ∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC|'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, kenar uzunlukları yerine alanların oranı verilirse benzerlik oranını nasıl bulacağınızı düşünün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları belirlenmiştir. BDEFBDEF dörtgeni bir paralelkenardır.

ADEADE üçgeninin alanı 8 cm² ve EFCEFC üçgeninin alanı 18 cm² olduğuna göre, BDEFBDEF paralelkenarının alanı kaç cm² dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

BDEF paralelkenarının alanı 24 cm² dir.
Verilen yapıda ADEADE ve EFCEFC üçgenleri büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzerlik oranları tabanlar üzerindeki paylarına göre belirlenir. BDEFBDEF paralelkenar olduğundan, ∣DE∣+∣FC∣=∣BC∣|DE| + |FC| = |BC| eşitliği sağlanır. Bu durum, Stoplam=S1+S2\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} bağıntısını doğurur. 8+18=22+32=52\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} olduğundan, toplam alan 50 cm²'dir. Paralelkenarın alanı ise 50−(8+18)=2450 - (8+18) = 24 cm² olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralelliklerden dolayı oluşan benzer üçgenleri belirle.
DE∥BCDE \parallel BC olduğu için △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve EF∥ABEF \parallel AB olduğu için △EFC∼△ABC\triangle EFC \sim \triangle ABC benzerlikleri vardır.
Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.
2
Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullan.
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir. ∣DE∣∣BC∣=Alan(ADE)Alan(ABC)\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} ve ∣FC∣∣BC∣=Alan(EFC)Alan(ABC)\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir (k2k^2).
3
Taban uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
BDEFBDEF bir paralelkenar olduğundan ∣DE∣=∣BF∣|DE| = |BF|'dir. Dolayısıyla ∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=∣DE∣+∣FC∣|BC| = |BF| + |FC| = |DE| + |FC| olur.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
4
Alan formülünü uygula ve toplam alanı bul.
Alan(ABC)=Alan(ADE)+Alan(EFC)⇒Alan(ABC)=8+18=22+32=52\sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} \Rightarrow \sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}. Buradan Alan(ABC)=(52)2=50Alan(ABC) = (5\sqrt{2})^2 = 50 cm².
Bu özel geometrik yapıda büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir.
5
Paralelkenarın alanını hesapla.
Alan(BDEF)=Alan(ABC)−[Alan(ADE)+Alan(EFC)]=50−(8+18)=50−26=24Alan(BDEF) = Alan(ABC) - [Alan(ADE) + Alan(EFC)] = 50 - (8 + 18) = 50 - 26 = 24 cm².
Toplam alandan bilinen parçaların alanlarını çıkararak bilinmeyen bölgeyi buluruz.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve bu paralelliğin üçgenlerde benzerlik oluşturduğunu hatırlayın.
2
ADEADE üçgeni ve EFCEFC üçgeni, büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} formülünü kullanarak önce tüm alanı bulun, sonra parçaları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Bu tip sorularda paralelkenarın alanı, verilen üçgen alanlarının çarpımının karekökünün 2 katına eşittir: Alan=2⋅S1⋅S2Alan = 2 \cdot \sqrt{S_1 \cdot S_2}. Burada 2⋅8⋅18=2⋅144=2⋅12=242 \cdot \sqrt{8 \cdot 18} = 2 \cdot \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Bir şehir planlama projesi kapsamında, ABCABC üçgeni şeklindeki bir park arazisi, taban kenarı olan BCBC yoluna paralel çizilen DEDE ve FGFG yürüyüş yolları ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. Arazinin ABAB kenarı üzerindeki ölçümler şu şekildedir:

∣AD∣=20 m,∣DF∣=30 m,∣FB∣=10 m|AD| = 20 \text{ m}, \quad |DF| = 30 \text{ m}, \quad |FB| = 10 \text{ m}

Ortada kalan DEGFDEGF dörtgeni şeklindeki bölgenin alanı 420 m2420 \text{ m}^2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, parkın en alt kısmında yer alan FBCGFBCG bölgesinin alanı kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 220

Cevap

FBCG bölgesinin alanı 220 metrekaredir.
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise alanlar oranı k2k^2'dir. Tepe noktasından (A) uzaklıklar sırasıyla 20, 50 ve 60 metredir. Bunları sadeleştirirsek oranlar 2, 5 ve 6 olur. Alanlar bu sayıların kareleriyle orantılı olacaktır: 22=42^2=4, 52=255^2=25, 62=366^2=36.

Buna göre en üstteki üçgenin alanı 4S4S, ortadaki büyük üçgenin alanı 25S25S, en büyük üçgenin alanı 36S36S olur. Aradaki parçaların alanlarını bulmak için çıkarma yaparız:
- Ortadaki parça (DEGF): 25S−4S=21S25S - 4S = 21S
- En alttaki parça (FBCG): 36S−25S=11S36S - 25S = 11S

Soruda 21S=42021S = 420 m² olarak verilmiş, buradan S=20S = 20 m² bulunur. İstenen alan 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 m²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranlarını belirle
Üçgenlerin tepe noktası A'ya göre benzerlik oranları: ADE∼AFG∼ABCADE \sim AFG \sim ABC. Oranlar kenar uzunlukları toplamına göre: k1=2020+30=25k_1 = \frac{20}{20+30} = \frac{2}{5} ve k2=2020+30+10=26=13k_2 = \frac{20}{20+30+10} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Paralel doğrular temel benzerlik teoremi (Thales) gereği açi-açı benzerliği oluşturur.
2
Alanlar oranını hesapla (k^2)
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. A(ADE)/A(AFG)=(2/5)2=4/25A(ADE)/A(AFG) = (2/5)^2 = 4/25. A(ADE)/A(ABC)=(1/3)2=1/9=4/36A(ADE)/A(ABC) = (1/3)^2 = 1/9 = 4/36.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
A(ADE)=4SA(ADE) = 4S olsun. A(AFG)=25SA(AFG) = 25S olduğundan aradaki DEGFDEGF alanı 25S−4S=21S25S - 4S = 21S olur. A(ABC)=36SA(ABC) = 36S olduğundan en alttaki FBCGFBCG alanı 36S−25S=11S36S - 25S = 11S olur.
Toplam alanlardan üstteki parçalar çıkarılarak şeritlerin (yamukların) alanları bulunur.
4
Verilen değeri kullanarak S'i bul ve istenen alanı hesapla
Verilen DEGFDEGF alanı 21S=420  ⟹  S=2021S = 420 \implies S = 20. İstenen FBCGFBCG alanı 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 metrekaredir.
Bulunan birim alan değeri hedef bölgenin katsayısı ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k^2)

İpuçları

1
Üçgenlerde tabana paralel çizilen doğrular, tepe noktasına göre benzer üçgenler oluşturur. Benzerlik oranını bulmak için kenar uzunluklarını oranlayın.
2
Benzer iki üçgenin benzerlik oranı 'k' ise, alanları oranı 'k'nın karesidir (k²). Alanları A(ADE)A(ADE), A(AFG)A(AFG) ve A(ABC)A(ABC) olarak düşünün.
3
Kenar oranları 2:5:6 şeklindedir. Alanlar bu sayıların karesiyle (4, 25, 36) orantılıdır. Parçaların alanlarını bulmak için bu kareleri birbirinden çıkararak farklarına bakın (25-4 ve 36-25).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (k^3) ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde DD ve EE noktaları, ACAC kenarı üzerinde ise FF ve GG noktaları işaretlenmiştir. [DF]∥[EG]∥[BC][DF] \parallel [EG] \parallel [BC] paralelliği ve ∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD| = |DE| = |EB| eşitliği verilmektedir. DFGEDFGE dörtgeninin alanı 24 cm224 \text{ cm}^2 olduğuna göre, EBCGEBCG dörtgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Üçgende eşit aralıklarla çizilen paralel doğrular, alanları S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... kuralına göre böler. Soruda verilen eşitliklere göre ortadaki bölge 3S3S, alttaki bölge 5S5S'tir. 3S=243S = 24 olduğundan S=8S=8 bulunur. İstenen alan 5S=5×8=405S = 5 \times 8 = 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranlarını belirle
Kenarlar eşit parçalandığı için üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla 1/1, 1/2 ve 1/3 değil; tepe noktasına göre 1, 2, 3 birim uzaklıktadır. Temel benzerlik oranları k1=12k_1 = \frac{1}{2} ve k2=13k_2 = \frac{1}{3} şeklindedir.
Paralel doğrular eş aralıklarla çizildiğinde oluşan üçgenlerin benzerlik oranları ardışık tam sayılarla orantılıdır.
2
Alanlar oranını hesapla
Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir. Alanlar sırasıyla 121^2, 222^2, 323^2 yani 1A1A, 4A4A, 9A9A ile orantılıdır.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2).
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
En üstteki üçgen (ADFADF): SS. Ortadaki dörtgen (DFGEDFGE): 4S−S=3S4S - S = 3S. En alttaki dörtgen (EBCGEBCG): 9S−4S=5S9S - 4S = 5S.
Büyük üçgenin alanından bir önceki küçük üçgenin alanı çıkarılarak aradaki dörtgenin alanı bulunur.
4
Verilen bilgiyi kullanarak S değerini bul ve sonucu hesapla
Verilen DFGEDFGE alanı 3S=243S = 24 ise S=8S = 8 bulunur. İstenen EBCGEBCG alanı 5S5S olduğuna göre, 5×8=40 cm25 \times 8 = 40 \text{ cm}^2 dir.
Denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir. Eşit aralıklı paralellerde alanlar S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... şeklinde tek sayılarla orantılı artar.

İpuçları

1
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir.
2
Kenarlar eşit parçalara bölündüğünde (∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD|=|DE|=|EB|), oluşan bölgelerin alanları S,3S,5S...S, 3S, 5S... şeklinde artar.
3
Ortadaki dörtgenin alanı 3S3S değerine karşılık gelmektedir. 3S=243S = 24 eşitliğini kullanınız.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının 2/32/3 veya 3/43/4 gibi rasyonel sayı olduğu ve alan değişiminin sorulduğu sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları verilmiştir. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olmak üzere, ∣AD∣=2 cm|AD| = 2 \text{ cm} ve ∣DB∣=6 cm|DB| = 6 \text{ cm} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, ADEADE üçgeninin alanının ABCABC üçgeninin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116\frac{1}{16}

Cevap

ADE üçgeninin alanının ABC üçgeninin alanına oranı 1/16'dır.
Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir. Benzerlik oranı, kenar uzunluklarının oranına eşittir: k=∣AD∣∣AB∣=22+6=14k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{2+6} = \frac{1}{4}. Benzer iki üçgenin alanları oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir: k2=(14)2=116k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranını (k) hesapla.
k = |AD| / |AB| = 2 / (2 + 6) = 2 / 8 = 1/4
Temel orantı teoremine (Thales) göre küçük üçgenin kenarı, büyük üçgenin tamamına oranlanır.
2
Alanlar oranını bulmak için benzerlik oranının karesini al.
Alan Oranı = k² = (1/4)² = 1/16
Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k -> k²)

İpuçları

1
Önce küçük üçgenin (ADEADE) kenarının büyük üçgenin (ABCABC) kenarına oranını (benzerlik oranı) bulun.
2
Benzerlik oranı k=∣AD∣∣AD∣+∣DB∣k = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|} formülüyle hesaplanır.
3
Bulduğunuz benzerlik oranı kk'nın karesini (k2k^2) alarak alanlar oranına ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin çevrelerinin oranı sorulsaydı ne yapardınız?
Tahmini Süre:45s
Soru 14Soru →

Düz bir zemin üzerine dik olarak yerleştirilmiş iki direk bulunmaktadır. Birinci direğin tepesinden ikinci direğin dibine ve ikinci direğin tepesinden birinci direğin dibine gergin ipler çekilmiştir. Bu iplerin kesişim noktasının zeminden yüksekliği 4,8 metredir. Direklerden birinin yüksekliği 8 metre olduğuna göre, diğer direğin yüksekliği kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Diğer direğin yüksekliği 12 metredir.
Verilen geometrik yapıda, zemine dik direkler birbirine paraleldir. Temel benzerlik teoremi gereği, kesişim noktasının yüksekliği (hh), direk boyları (aa ve bb) arasında 1h=1a+1b\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} bağıntısı vardır. Verilen değerler (h=4,8h=4,8 ve a=8a=8) yerine konulduğunda, diğer direğin boyu 12 metre olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi geometrik olarak modelle
Zemin üzerinde birbirine paralel iki doğru parçası (direkler) ve bunları çapraz kesen iki doğru parçası (ipler) oluşur. Bu yapı 'kelebek' benzerliği ve temel benzerlik teoremi uygulamasıdır.
Paralel doğrular arasındaki çapraz bağlantılar, benzer üçgenler oluşturur.
2
Kesişim yüksekliği formülünü uygula
Paralel iki uzunluk xx ve yy ise ve kesişim yüksekliği hh ise, formül: 1h=1x+1y\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} şeklindedir.
Temel orantı teoreminden (Thales) elde edilen harmonik ortalama ilişkisidir.
3
Verilenleri formüle yerleştir
14,8=18+1y\frac{1}{4,8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{y}
Bilinen yükseklikler (h=4,8h=4,8 ve x=8x=8) yerine konur.
4
Bilinmeyen yüksekliği (yy) çöz
14,8=1048=524\frac{1}{4,8} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}. Denklem: 524=324+1y  ⟹  224=1y  ⟹  112=1y  ⟹  y=12\frac{5}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{y} \implies \frac{2}{24} = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12.
Rasyonel sayı işlemleriyle bilinmeyen bulunur.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki çapraz kesişimlerde, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, paralel uzunlukların yüksekliklerinin tersleri toplamına eşittir.

İpuçları

1
Bu soruyu çözmek için 'Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales) kullanmalısınız. İplerin oluşturduğu üçgenlerdeki benzerlik oranlarına odaklanın.
2
Direkler birbirine paralel olduğu için, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, direk boylarının terslerinin toplamına eşittir (1h=1x+1y\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}).
3
Formülde h=4,8h = 4,8 ve x=8x = 8 değerlerini yerine koyarak yy değerini hesaplayın: 14,8−18=1y\frac{1}{4,8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{y}.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğru parçasının uzunluğunu soran soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Bir reklam tabelası tasarımında, ABCABC üçgeni şeklindeki bir yüzey üzerine DD ve EE noktalarından geçen bir destek çıtası yerleştirilmiştir. D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] olmak üzere; m(ADE^)=m(ACB^)m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}), ∣AD∣=6 cm|AD| = 6 \text{ cm}, ∣AE∣=4 cm|AE| = 4 \text{ cm} ve ∣EC∣=8 cm|EC| = 8 \text{ cm} olduğu bilinmektedir. Buna göre, ∣DB∣|DB| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Benzerlik oranına göre ∣DB∣|DB| uzunluğu 2 cm olarak bulunur.
Verilen açı eşitlikleri doğrultusunda △ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB benzerliği kurulur. Bu benzerlikte ADAD kenarı ile ACAC kenarı orantılıdır. 612=4∣AB∣\frac{6}{12} = \frac{4}{|AB|} denkleminden ∣AB∣=8|AB| = 8 cm bulunur. ∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣|DB| = |AB| - |AD| işlemiyle sonuç 2 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak açıyı ve benzerlik kuralını belirleme
widehatA\\widehat{A} açısı hem triangleADE\\triangle ADE hem de triangleACB\\triangle ACB için ortaktır.
İki üçgenin birer köşesi çakışıktır.
2
Açı-Açı (A.A.) benzerliğini kurma
m(widehatADE)=m(widehatACB)m(\\widehat{ADE}) = m(\\widehat{ACB}) verildiğinden, triangleADEsimtriangleACB\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB benzerliği kurulur.
İkişer açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir.
3
Benzerlik oranını yazma
frac∣AD∣∣AC∣=frac∣AE∣∣AB∣\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AE|}{|AB|}
Eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
4
Sayısal değerleri yerine koyma ve ∣AB∣|AB|'yi bulma
frac64+8=frac4∣AB∣Rightarrowfrac612=frac4∣AB∣Rightarrowfrac12=frac4∣AB∣Rightarrow∣AB∣=8textcm\\frac{6}{4+8} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{6}{12} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{1}{2} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = 8 \\text{ cm}
∣AC∣=∣AE∣+∣EC∣=4+8=12|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 8 = 12 cm olduğu için.
5
∣DB∣|DB| uzunluğunu hesaplama
∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=8−6=2textcm|DB| = |AB| - |AD| = 8 - 6 = 2 \\text{ cm}
İstenen parça, toplam kenar uzunluğundan verilen parçanın çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Açı-Açı (A.A.) Benzerliği ve Kenar Orantısı

Alternatif Yöntem

Alanlar oranından gidilebilir ancak kenar uzunlukları verildiği için doğrudan kenar orantısı kurmak en hızlı yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Bir teknik çizimde ABCABC üçgeni biçimindeki bir levha üzerinde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiştir. m(ADE^)=m(ACB^)m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}), ∣AD∣=4 cm|AD| = 4 \text{ cm}, ∣AE∣=5 cm|AE| = 5 \text{ cm} ve ∣EC∣=3 cm|EC| = 3 \text{ cm} olduğu bilinmektedir. Buna göre, ∣DB∣|DB| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Levha üzerindeki ∣DB∣|DB| uzunluğu 6 cm'dir.
Verilen ABCABC ve ADEADE üçgenlerinde AA açısı ortak olup DD ve CC açılarının ölçüleri eşit verildiğinden, bu üçgenler Açı-Açı kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı kurulduğunda ADAD kenarının ACAC kenarına oranı, AEAE kenarının ABAB kenarına oranına eşittir. Bu oranlardan yola çıkarak 4/8=5/(4+∣DB∣)4/8 = 5/(4+|DB|) denklemi elde edilir ve buradan ∣DB∣=6|DB| = 6 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenler arasındaki benzerliği tespit etme
△ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB
A^\widehat{A} açısı her iki üçgen için ortaktır ve soruda m(ADE^)=m(ACB^)m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}) olarak verilmiştir. Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre bu iki üçgen benzerdir.
2
Benzerlik oranını yazma
∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}
Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Verilen değerleri yerine koyma ve denklem kurma
45+3=54+∣DB∣\frac{4}{5+3} = \frac{5}{4+|DB|}
∣AC∣=∣AE∣+∣EC∣=5+3=8 cm|AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \text{ cm} ve ∣AB∣=∣AD∣+∣DB∣=4+∣DB∣|AB| = |AD| + |DB| = 4 + |DB|'dir.
4
Denklemi çözme
∣DB∣=6|DB| = 6
48=54+∣DB∣⇒12=54+∣DB∣⇒4+∣DB∣=10⇒∣DB∣=6 cm\frac{4}{8} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow 4 + |DB| = 10 \Rightarrow |DB| = 6 \text{ cm} bulunur.

Anahtar Kavram

İki üçgende ikişer açının ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir (A.A. Benzerliği). Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır.

İpuçları

1
İki üçgenin açılarını inceleyerek hangi açıların birbirine eşit olduğunu belirleyin.
2
A açısının her iki üçgende de ortak olduğunu fark edin. Bu durumda ADE ve ACB üçgenleri benzerdir.
3
Benzerlik oranını kurarken aynı açının karşısındaki kenarları birbirine oranlayın: AD/AC=AE/ABAD/AC = AE/AB.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı ile alanlar arasındaki ilişkiyi pekiştirmek için bu iki üçgenin alanları oranını (k2k^2) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı k=4/8=1/2k = 4/8 = 1/2 olarak bulunur. Bu, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin ilgili kenarlarının yarısı olduğu anlamına gelir. AE=5AE = 5 ise, bu kenarın karşılık geldiği ABAB kenarı 5×2=105 \times 2 = 10 olmalıdır. AB=10AB = 10 ve AD=4AD = 4 olduğundan ∣DB∣=10−4=6|DB| = 10 - 4 = 6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Bir harita mühendisi, ABCABC üçgeni şeklindeki bir araziyi, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD ve [AC][AC] kenarı üzerindeki EE noktalarından geçen doğrusal bir hat ile iki bölgeye ayırmıştır. Yapılan ölçümlerde m(AED^)=m(ABC^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) olduğu ve ADEADE üçgensel bölgesinin alanının, BCEDBCED dörtgensel bölgesinin alanına oranının 421\frac{4}{21} olduğu belirlenmiştir. Arazide ∣AD∣+∣AE∣=140|AD| + |AE| = 140 metre ve ∣AB∣−∣AC∣=50|AB| - |AC| = 50 metre olduğuna göre, ∣DB∣|DB| uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

140 metre
Verilen açı eşitliği (m(AED^)=m(B^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})), üçgenlerin antiparallel bir kesimle benzer olduğunu gösterir (ΔADE∼ΔACB\Delta ADE \sim \Delta ACB). Alanlar oranı 425\frac{4}{25} olduğundan benzerlik oranı k=25k=\frac{2}{5} olur. Bu oran, çapraz kenarlar arasında (ADAD ile ACAC, AEAE ile ABAB) kurulmalıdır. Elde edilen denklem sisteminden ∣AB∣=200|AB|=200 ve ∣AD∣=60|AD|=60 bulunur, farkları olan ∣DB∣=140|DB|=140 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik ilişkisini ve türünü belirle.
ΔADE\Delta ADE ve ΔACB\Delta ACB üçgenlerinde A^\widehat{A} ortak açı ve m(AED^)=m(ABC^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) olduğundan, A-A benzerlik teoremine göre ΔADE∼ΔACB\Delta ADE \sim \Delta ACB dir.
İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir ancak açıların sırası kenar oranları için kritiktir (Antiparalellik).
2
Alan oranından benzerlik oranını (kk) hesapla.
Alan(ADE)Alan(ABC)=4S4S+21S=425\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{4S}{4S + 21S} = \frac{4}{25}. Benzerlik oranı k=425=25k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} tir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Toplam alan 4+21=254+21=25 birimdir.
3
Benzerlik oranını kenar uzunlukları ile ilişkilendir.
∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣=25\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}. Buradan ∣AC∣=52∣AD∣|AC| = \frac{5}{2}|AD| ve ∣AB∣=52∣AE∣|AB| = \frac{5}{2}|AE| elde edilir.
Benzerlikte eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır: E^\widehat{E}'nin karşısındaki ADAD, B^\widehat{B}'nin karşısındaki ACAC ile orantılıdır.
4
Verilen denklem sistemini kur ve çöz.
∣AB∣−∣AC∣=52(∣AE∣−∣AD∣)=50⇒∣AE∣−∣AD∣=20|AB| - |AC| = \frac{5}{2}(|AE| - |AD|) = 50 \Rightarrow |AE| - |AD| = 20. Verilen ∣AE∣+∣AD∣=140|AE| + |AD| = 140 ile birlikte çözüldüğünde: 2∣AE∣=160⇒∣AE∣=802|AE| = 160 \Rightarrow |AE|=80, ∣AD∣=60|AD|=60.
İki bilinmeyenli denklem sistemi kullanılarak kenar parçaları bulunur.
5
İstenen uzunluğu hesapla.
∣AB∣=52⋅80=200|AB| = \frac{5}{2} \cdot 80 = 200 m. İstenen parça ∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=200−60=140|DB| = |AB| - |AD| = 200 - 60 = 140 m.
Sonuç için bulunan ∣AB∣|AB| değerinden ∣AD∣|AD| çıkarılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (Antiparalellik)

İpuçları

1
Üçgenlerde verilen eşit açıları (m(AED^)=m(B^)m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})) kullanarak benzerlik kurmaya çalışın. Açıların sırasına dikkat edin.
2
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Toplam alanı düşünerek benzerlik oranını (kk) bulun.
3
Benzerlik oranı 2/52/5 tir. Ancak DEDE paralel DEĞİLDİR. Bu yüzden ∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣=25\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5} eşitliğini kullanıp, verilen toplam ve fark denklemlerini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının çevreler oranına eşit olduğu (kk), ancak alanlar oranının karesine eşit olduğu (k2k^2) durumları pekiştiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sinüs alan formülü kullanılarak da oranlar yazılabilir: Alan(ADE)=12⋅AD⋅AE⋅sin⁡A\text{Alan}(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin A ve Alan(ABC)=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. Taraf tarafa oranlandığında AD⋅AEAB⋅AC=425\frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{4}{25} bulunur. Benzerlikten gelen AB=AEkAB = \frac{AE}{k} ve AC=ADkAC = \frac{AD}{k} yerine yazılarak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 18Soru →

ABC bir üçgendir. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olmak üzere; D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiştir. ∣AD∣=2|AD| = 2 cm ve ∣DB∣=3|DB| = 3 cm olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ADEADE üçgeninin alanının ABCABC üçgeninin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 425\frac{4}{25}

Cevap

İstenen alanların oranı 425\frac{4}{25} olarak bulunur.
Paralellik nedeniyle ADEADE ve ABCABC üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı ∣AD∣/∣AB∣=2/5|AD|/|AB| = 2/5'tir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan (2/5)2=4/25(2/5)^2 = 4/25 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik durumunu tespit et
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir (ADE∼ABCADE \sim ABC).
Paralellikten dolayı yöndeş açılar eşittir, dolayısıyla Açı-Açı benzerliği vardır.
2
Benzerlik oranını (kk) hesapla
k=∣AD∣∣AB∣=∣AD∣∣AD∣+∣DB∣=22+3=25k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}
Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranına eşittir. ∣AB∣|AB| kenarı ∣AD∣|AD| ve ∣DB∣|DB| toplamıdır.
3
Alanlar oranını hesapla
Alan(ADE)Alan(ABC)=k2=(25)2=425\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları farkı 32 cm² ise, küçük üçgenin alanı kaçtır?
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

Aşağıdaki şekilde [AB]∥[DE][AB] \parallel [DE] olduğu bilinmektedir. A,C,DA, C, D noktaları ile B,C,EB, C, E noktaları kendi aralarında doğrusaldır.

∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}, ∣DE∣=9 cm|DE| = 9\text{ cm} ve ∣AC∣=4 cm|AC| = 4\text{ cm} olduğuna göre, ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen geometrik şekilde benzerlik oranı kullanılarak ∣CD∣|CD| uzunluğu 6 cm6\text{ cm} olarak bulunur.
Verilen şekilde [AB][AB] ve [DE][DE] doğruları paralel olduğu için △ABC\triangle ABC ve △DEC\triangle DEC üçgenleri arasında kelebek benzerliği vardır. Benzerlik oranı ∣AB∣∣DE∣=69=23\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} şeklindedir. Aynı oran yan kenarlar için de geçerli olduğundan 4x=23\frac{4}{x} = \frac{2}{3} eşitliğinden 2x=122x = 12 ve buradan x=6 cmx = 6\text{ cm} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirleme
△ABC∼△DEC\triangle ABC \sim \triangle DEC
[AB]∥[DE][AB] \parallel [DE] olduğu için İç Ters (Z kuralı) açılardan dolayı üçgenlerin açıları eştir.
2
Benzerlik oranını kurma
∣AB∣∣DE∣=∣AC∣∣CD∣\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|CD|}
Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Verilen değerleri yerine yerleştirme
69=4x\frac{6}{9} = \frac{4}{x}
∣AB∣=6,∣DE∣=9|AB|=6, |DE|=9 ve ∣AC∣=4|AC|=4 değerleri orantıda yerine yazılır.
4
Denklemi çözme
6x=36⇒x=66x = 36 \Rightarrow x = 6
İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

İpuçları

1
Paralel doğrular arasında kalan üçgenlerde 'Kelebek Benzerliği' kurallarını hatırlayın.
2
Üstteki üçgenin tabanının alttaki üçgenin tabanına oranı, kenarların birbirine oranına eşittir.
3
66'nın 99'a oranı ile 44'ün xx'e oranı birbirine eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Farklı benzerlik oranları kullanarak benzer 'kelebek' soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sadeleştirme yaparak oranı 2/32/3 olarak bulup, 22 birime 4 cm4\text{ cm} geliyorsa (2 katı), 33 birime 6 cm6\text{ cm} gelir diyerek pratik yoldan çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 20Soru →

Bir ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiş olup ∣AD∣=4 cm|AD| = 4 \text{ cm}, ∣DB∣=2 cm|DB| = 2 \text{ cm}, ∣DE∣=(x+1) cm|DE| = (x+1) \text{ cm} ve ∣BC∣=(2x−1) cm|BC| = (2x-1) \text{ cm} bilgileri verilmiştir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Uzunluğu 9 cm olan seçenek doğrudur.
Verilen paralellik bilgisi doğrultusunda ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, ∣AD∣|AD| uzunluğunun tüm ∣AB∣|AB| uzunluğuna oranı olan 4/6=2/34/6 = 2/3 olarak bulunur. Bu oran tabanlar arasındaki orana (∣DE∣/∣BC∣|DE|/|BC|) eşitlendiğinde x+12x−1=23\frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi kurulur. Buradan x=5x=5 değeri elde edilir ve ∣BC∣=2(5)−1=9|BC| = 2(5)-1 = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenler arasındaki benzerliği ve benzerlik oranını belirle.
△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve benzerlik oranı k=∣AD∣∣AB∣=44+2=46=23k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve Açı-Açı benzerlik kuralı geçerlidir.
2
Benzer kenarlar arasındaki orantıyı kur.
∣DE∣∣BC∣=23⇒x+12x−1=23\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3} denklemi elde edilir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini çöz.
3(x+1)=2(2x−1)⇒3x+3=4x−2⇒x=53(x+1) = 2(2x-1) \Rightarrow 3x + 3 = 4x - 2 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Rasyonel bir denklemi doğrusal denkleme dönüştürmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
4
Bulunan xx değerini ∣BC∣|BC| ifadesinde yerine koy.
∣BC∣=2(5)−1=9 cm|BC| = 2(5) - 1 = 9 \text{ cm} olarak hesaplanır.
Soruda istenen değer ∣BC∣|BC| uzunluğudur.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

İpuçları

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için ADEADE ve ABCABC üçgenlerinin benzer olduğunu unutmayın.
2
Benzerlik oranını yazarken ∣AD∣|AD| uzunluğunu ∣AB∣|AB| uzunluğuna (yani 4+24+2) oranlamanız gerekir.
3
Orantıyı 46=x+12x−1\frac{4}{6} = \frac{x+1}{2x-1} şeklinde kurup içler dışlar çarpımı yaparak xx değerine ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer üçgenlerde alanların oranının, benzerlik oranının karesine eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Thales teoreminin parça-parça oranını (∣AD∣/∣DB∣=∣AE∣/∣EC∣|AD|/|DB| = |AE|/|EC|) kullanarak yan kenarlar arasındaki ilişkiyi bulabiliriz ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka parça-bütün (∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|) oranı kullanılmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Üçgende Benzerlik Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin