Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

ABC bir üçgen, G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. G noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru, [AB][AB] kenarını D, [AC][AC] kenarını E noktasında kesmektedir.

Bu kesim sonucunda oluşan DBCE dörtgeninin alanı 40 cm240 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ADE üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    16
  2. B
    24
  3. 32Cevap
  4. D
    72
  5. E
    80

Cevap

ADE üçgeninin alanı 32 cm² dir.
Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler, bu da tepe noktasından tabana olan uzaklıklar oranının (benzerlik oranı) 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan (2/3)2=4/9(2/3)^2 = 4/9 olur. Yani küçük üçgenin alanı 4S4S ise büyük üçgenin alanı 9S9S, aradaki dörtgenin alanı ise 9S−4S=5S9S - 4S = 5S olur. 5S=405S = 40 verildiğinden S=8S=8 bulunur. İstenen alan 4S=324S = 32 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini hatırla
G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler. Yani ∣AG∣=2k|AG| = 2k ise ∣GM∣=k|GM| = k ve toplam kenarortay ∣AM∣=3k|AM| = 3k olur.
Üçgenin ağırlık merkezinin temel özelliği, kenarortay üzerinde 2:1 oranını sağlamasıdır.
2
Benzerlik oranını belirle
DE∥BCDE \parallel BC olduğundan △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC dir. Benzerlik oranı k=∣AG∣∣AM∣=23k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3} tür.
Temel orantı teoremine göre paralel doğrularla oluşan üçgenler benzerdir.
3
Alanlar oranını hesapla
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: A(ADE)A(ABC)=(23)2=49\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.
4
Alanları değişken cinsinden ifade et ve denklemi çöz
A(ADE)=4SA(ADE) = 4S dersek, A(ABC)=9SA(ABC) = 9S olur. Dörtgenin alanı farka eşittir: A(DBCE)=9S−4S=5SA(DBCE) = 9S - 4S = 5S. Verilen 5S=405S = 40 ise S=8S = 8 bulunur.
Büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak dörtgenin alanı bulunur.
5
İstenen alanı bul
Bizden A(ADE)A(ADE) istenmiştir. A(ADE)=4S=4×8=32 cm2A(ADE) = 4S = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2.
Bulunan birim alan (S) değeri yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2 dir.

İpuçları

1
Üçgenin ağırlık merkezi (G), köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında sabit bir oran (2:1) kurar.
2
Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı ∣AG∣/∣AM∣|AG| / |AM| şeklindedir.
3
Benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2 dir. Oranınız 2/3 ise, alanlar oranı 4/9 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Ağırlık merkezi yerine kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan alan sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Yükseklikler oranı üzerinden de gidilebilir: Ağırlık merkezinden geçen paralel, yüksekliği de 2:1 oranında böler (h1=2h,h2=hh_1 = 2h, h_2 = h). Üstteki üçgenin tabanı 2x2x, alttaki yamuğun alt tabanı 3x3x olur. Alan formülleriyle oran yine bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru