Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Benzerlik

Bir kamu binasının projesinde, ön cephede yer alan ABCABC üçgeni şeklindeki dekoratif cam yüzey, tabana (BCBC kenarına) paralel çekilen bir çelik kiriş (DEDE) ile iki bölgeye ayrılmıştır. ADEADE üçgeni biçimindeki üst kısım şeffaf cam, BCEDBCED dörtgeni biçimindeki alt kısım ise renkli cam ile kaplanacaktır. Projede, renkli cam ile kaplanacak alanın, şeffaf cam ile kaplanacak alanın 8 katı olması planlanmıştır. ADEADE üçgeninin yüksekliği 2 metre olduğuna göre, tüm cephenin (ABCABC üçgeninin) yüksekliği kaç metredir?

  1. A
    4
  2. 6Cevap
  3. C
    9
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

Tüm cephenin yüksekliği 6 metredir.
Doğru cevap, benzerlik ve alan ilişkisi kullanılarak bulunur. DE//BCDE // BC olduğu için ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Alanlar oranı 1/91/9 olarak bulunduğunda, benzerlik oranı bu değerin karekökü olan 1/31/3'tür. Küçük üçgenin yüksekliği 2 m ise, büyük üçgenin yüksekliği bunun 3 katı, yani 6 m olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Alanlar arasındaki kat ilişkisini belirle.
Şeffaf Alan (A(ADE)A(ADE)) = SS ise, Renkli Alan (A(BCED)A(BCED)) = 8S8S olur.
Soruda verilen '8 katı' ilişkisi matematiksel olarak ifade edilir.
2
Toplam alanı ve alanlar oranını hesapla.
Toplam Alan (A(ABC)A(ABC)) = S+8S=9SS + 8S = 9S. Alanlar Oranı: A(ADE)A(ABC)=S9S=19\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}.
Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı kullanılır.
3
Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.
Benzerlik Oranı (kk) = 19=13\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan Oranık^2 = \text{Alan Oranı}).
4
Yükseklikler arasındaki ilişkiyi kur ve sonucu bul.
hku¨c\cu¨khbu¨yu¨k=13⇒2hbu¨yu¨k=13⇒hbu¨yu¨k=6\frac{h_{küçük}}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{büyük} = 6 metre.
Benzerlik oranı, karşılıklı yüksekliklerin oranına da eşittir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (A1A2=k2\frac{A_1}{A_2} = k^2).

İpuçları

1
Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
2
Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan1Alan2k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}).
3
Toplam alan 9S9S, küçük alan SS'dir. Alanlar oranı 1/91/9 ise benzerlik oranı 1/31/3 olur.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (küpü) üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Yükseklik hh ile alan orantılıdır (h2h^2). hku¨c\cu¨k2h_{küçük}^2 orantılıdır SS, hbu¨yu¨k2h_{büyük}^2 orantılıdır 9S9S. Buradan hbu¨yu¨k=3×hku¨c\cu¨kh_{büyük} = 3 \times h_{küçük} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru