Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

Bir fizik laboratuvarında gerçekleştirilen 'Karanlık Kutu' (Pinhole Camera) deneyinde, ışık doğrusal yayıldığı için üçgende benzerlik prensibinden faydalanılmaktadır.

Boyu 1,21,2 metre olan dikey bir çubuk, iğne deliğinin bulunduğu noktadan 44 metre uzağa yerleştirildiğinde, kutunun arka yüzeyindeki ekran üzerinde çubuğun ters bir görüntüsü oluşmakta ve görüntü boyu 1515 cm olarak ölçülmektedir.

Buna göre, çubuk iğne deliğine doğru 11 metre yaklaştırılırsa, ekrandaki görüntünün boyu kaç santimetre artar?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    10
  5. E
    20

Cevap

Ekrandaki görüntünün boyu 5 cm artar.
Işık doğrusal yayıldığı için cisim ve görüntüsü, iğne deliği noktasında kesişen iki benzer üçgen oluşturur (Kelebek benzerliği). İlk durumda 12015=400kutu_derinligi\frac{120}{15} = \frac{400}{kutu\_derinligi} orantısından kutu derinliği 50 cm bulunur. İkinci durumda cisim 100 cm yaklaştığı için mesafe 300 cm olur. Yeni orantı 120hyeni=30050\frac{120}{h_{yeni}} = \frac{300}{50} şeklinde kurulur ve yeni görüntü 20 cm bulunur. Artış miktarı 20−15=520 - 15 = 5 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen birimleri uyumlu hale getir (metreleri santimetreye çevir).
Cisim boyu hc=120h_c = 120 cm, İlk uzaklık d1=400d_1 = 400 cm, İlk görüntü boyu hg1=15h_{g1} = 15 cm.
Benzerlik oranlarında birimlerin aynı olması işlem hatasını önler.
2
Karanlık kutunun derinliğini (xx) bulmak için temel benzerlik oranını kur (Kelebek/Kum saati benzerliği).
hchg1=d1x⇒12015=400x⇒8=400x⇒x=50\frac{h_c}{h_{g1}} = \frac{d_1}{x} \Rightarrow \frac{120}{15} = \frac{400}{x} \Rightarrow 8 = \frac{400}{x} \Rightarrow x = 50 cm.
Cisim ile görüntü arasındaki benzerlik oranı, cismin deliğe uzaklığı ile görüntünün deliğe uzaklığı (kutu derinliği) oranına eşittir.
3
Cisim 1 metre yaklaştırıldığında yeni uzaklığı hesapla ve yeni benzerlik denklemini kur.
Yeni uzaklık d2=400−100=300d_2 = 400 - 100 = 300 cm. Denklem: 120hg2=30050\frac{120}{h_{g2}} = \frac{300}{50}.
Kutu derinliği (x=50x=50 cm) sabittir, değişen sadece cismin mesafesidir.
4
Yeni görüntü boyunu (hg2h_{g2}) hesapla.
120hg2=6⇒hg2=1206=20\frac{120}{h_{g2}} = 6 \Rightarrow h_{g2} = \frac{120}{6} = 20 cm.
Orantı çözülerek yeni uzunluk bulunur.
5
İlk ve son görüntü boyları arasındaki farkı bul.
Artış = 20−15=520 - 15 = 5 cm.
Soru, yeni boyu değil, boydaki artış miktarını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Temel Benzerlik ve Kelebek (Kum Saati) Teoremi

İpuçları

1
Sorudaki düzeneği, tepeleri iğne deliğinde birleşen iki üçgen (kelebek benzerliği) olarak çizin. Kutunun derinliği (iğne deliği ile ekran arası mesafe) her iki durumda da sabittir.
2
İlk durumu kullanarak kutunun derinliğini hesaplayın: Cisim BoyuGo¨ru¨ntu¨ Boyu=Cisim Uzaklıg˘ıKutu Derinlig˘i\frac{\text{Cisim Boyu}}{\text{Görüntü Boyu}} = \frac{\text{Cisim Uzaklığı}}{\text{Kutu Derinliği}}.
3
Kutu derinliğini 50 cm bulmalısınız. İkinci durumda cisim uzaklığı 300 cm olduğunda, aynı formülü kullanarak yeni görüntü boyunu bulun ve farkı alın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının alan üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözülebilir (örn. görüntünün alanı ne kadar artar?).

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla: Uzaklık 400 cm iken oran 120/15 = 8'dir. Yani cisim, görüntünün 8 katıdır. İkinci durumda uzaklık 300 cm ve kutu derinliği değişmediği için (oran derinliğe bağlıdır), yeni oran 300/50=6300/50 = 6 olacaktır. 120/hyeni=6120 / h_{yeni} = 6 ise hyeni=20h_{yeni} = 20 olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru