Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu Olasılık

A ve B torbaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A torbasında: 4 sarı, 2 mavi bilye vardır.
* B torbasında: 3 sarı, 5 mavi bilye vardır.

Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayı 3'ten küçükse A torbasından, 3 veya daha büyükse B torbasından rastgele bir bilye çekiliyor.

Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin A torbasından alınmış olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    29\frac{2}{9}
  2. B
    1736\frac{17}{36}
  3. C
    1625\frac{16}{25}
  4. D
    917\frac{9}{17}
  5. 817\frac{8}{17}Cevap

Cevap

817\frac{8}{17}
Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, örnek uzayımız artık tüm bilyeler değil, sadece 'sarı bilye çekilen durumlar' kümesidir. Bu durumda Bayes teoremi kullanılır.

İstenen Durum: A torbasından Sarı gelmesi = 13×46=29=836\frac{1}{3} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{9} = \frac{8}{36}

Tüm Durumlar: (A'dan Sarı) + (B'den Sarı) = 836+(23×38)=836+14=836+936=1736\frac{8}{36} + (\frac{2}{3} \times \frac{3}{8}) = \frac{8}{36} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}

Olasılık = I˙stenenTu¨m=8/3617/36=817\frac{\text{İstenen}}{\text{Tüm}} = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Zar atışına göre torbaların seçilme olasılıklarını hesapla.
Zar {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durumludur.
P(A Torbası)=P(Zar<3)=P({1,2})=26=13P(\text{A Torbası}) = P(\text{Zar} < 3) = P(\{1, 2\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
P(B Torbası)=P(Zar≥3)=P({3,4,5,6})=46=23P(\text{B Torbası}) = P(\text{Zar} \geq 3) = P(\{3, 4, 5, 6\}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Olasılık ağacının ilk dalını oluşturmak için torba seçim olasılıkları gereklidir.
2
Her torbadan sarı bilye çekilme olasılığını hesapla (P(S∣A)P(S|A) ve P(S∣B)P(S|B)).
A Torbası (4 Sarı, 2 Mavi, Toplam 6): P(S∣A)=46=23P(S|A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
B Torbası (3 Sarı, 5 Mavi, Toplam 8): P(S∣B)=38P(S|B) = \frac{3}{8}
Koşullu olasılık formülünde kullanılacak parçaları bulmak gerekir.
3
Toplam olasılık kuralı ile çekilen bilyenin sarı olma olasılığını (P(S)P(S)) bul.
P(S)=P(A)⋅P(S∣A)+P(B)⋅P(S∣B)P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B)
P(S)=(13⋅23)+(23⋅38)=29+624P(S) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{2}{9} + \frac{6}{24}
P(S)=29+14=836+936=1736P(S) = \frac{2}{9} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}
Bayes teoreminin paydası olan 'tüm sarı gelme durumları' hesaplanmalıdır.
4
Koşullu olasılık formülünü uygula: P(A∣S)=P(A∩S)P(S)P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)}.
P(A∣S)=P(A)⋅P(S∣A)P(S)=2/917/36P(A|S) = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)} = \frac{2/9}{17/36}
Paydaları eşitlemek için 29=836\frac{2}{9} = \frac{8}{36} yazılır.
P(A∣S)=8/3617/36=817P(A|S) = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17}
İstenen durum (A'dan Sarı), tüm olası durumlara (Herhangi bir Sarı) oranlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

İpuçları

1
Önce zar atışına göre hangi torbanın seçilme ihtimalinin ne olduğunu hesaplayın (1/3 ve 2/3).
2
İki ayrı durumu hesaplayın: 1) A torbası seçilip sarı gelmesi, 2) B torbası seçilip sarı gelmesi.
3
Koşullu olasılık formülü: (A'dan Sarı gelme olasılığı) / (Toplam Sarı gelme olasılığı).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'B torbasından gelme olasılığı' için çözünüz veya bilye renklerini değiştirerek deneyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru