Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu Olasılık

Bir kamu kurumunda görev yapan 4 mühendis ve 5 mimar arasından rastgele 3 kişilik bir proje ekibi seçilecektir. Seçilen ekipte en az bir mühendis bulunduğu bilindiğine göre, bu ekipte tam olarak iki mimar bulunma olasılığı kaçtır?

  1. A
    514\frac{5}{14}
  2. B
    1021\frac{10}{21}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. 2037\frac{20}{37}Cevap
  5. E
    2537\frac{25}{37}

Cevap

Seçilen ekipte en az bir mühendis olduğu bilindiğinde, tam olarak iki mimar bulunma olasılığı \frac{20}{37}'dir.
Doğru cevap, koşullu olasılık tanımı gereği örnek uzayın daraltılmasıyla bulunur. Toplam durum sayısı 84'tür. Koşul 'en az bir mühendis' olduğundan, sadece mimarlardan oluşan 10 durum (C(5,3)) çıkarılır ve yeni örnek uzay 74 olur. İstenen durum (2 mimar, 1 mühendis) 40 farklı şekilde gerçekleşir. Oran 40/74 = 20/37'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası 3 kişilik ekiplerin sayısını hesapla (Koşulsuz Örnek Uzay).
C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84
Toplam 9 kişi (4 mühendis + 5 mimar) arasından sıra gözetmeksizin 3 kişi seçilmektedir.
2
Koşulu sağlayan yeni örnek uzayı hesapla (E: En az bir mühendis).
s(E) = Tüm Durumlar - Hiç Mühendis Olmayanlar (Hepsi Mimar) = 84 - C(5, 3) = 84 - 10 = 74
'En az bir' koşulu verildiğinde, tüm durumlardan istenmeyen durumun (hiç mühendis yok) çıkarılması en pratik yoldur.
3
İstenen olayın eleman sayısını hesapla (A: Tam olarak iki mimar, E koşulu altında).
s(A \cap E) = C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40
3 kişilik ekipte tam 2 mimar olması, zorunlu olarak 1 mühendis olmasını gerektirir. Bu durum 'en az bir mühendis' koşulunu zaten sağlar.
4
Koşullu olasılığı hesapla.
P(A|E) = \frac{s(A \cap E)}{s(E)} = \frac{40}{74} = \frac{20}{37}
Koşullu olasılık formülü: İstenen durum sayısı / Koşulu sağlayan tüm durum sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay, verilen koşula göre daraltılmalıdır (P(A∣B)=s(A∩B)s(B)P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}). 'En az bir' ifadesi içeren durumlarda tümleyen (complement) yöntemi kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1
'...bilindiğine göre' ifadesi, bu sorunun bir koşullu olasılık sorusu olduğunu gösterir. Paydaya tüm durumları (84) değil, sadece koşulu sağlayan durum sayısını yazmalısınız.
2
'En az bir mühendis bulunma' koşulunun eleman sayısını bulmak için, tüm durumlardan 'hiç mühendis bulunmayan' (yani tamamı mimar olan) durumları çıkarın.
3
Örnek Uzay (Payda) = C(9,3) - C(5,3). İstenen Durum (Pay) = 2 Mimar ve 1 Mühendis seçimi = C(5,2) × C(4,1).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'Seçilen bir sayının çift olduğu bilindiğine göre, 5'e bölünebilme olasılığı kaçtır?' gibi sayısal mantık soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak örnek uzayı doğrudan toplayarak da bulabilirsiniz: (1 Müh, 2 Mim) + (2 Müh, 1 Mim) + (3 Müh, 0 Mim) = (4×10) + (6×5) + (4×1) = 40 + 30 + 4 = 74.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru