Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKoşullu Olasılık

Bir kamu kurumunun A ve B arşiv dolaplarında bulunan dosyaların nitelikleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A Dolabı: 33 adet "Gizli", 44 adet "Genel" ibareli dosya,
* B Dolabı: 55 adet "Gizli", 33 adet "Genel" ibareli dosya içermektedir.

Kurum içi düzenleme sırasında, A dolabından rastgele bir dosya alınıp niteliğine bakılmaksızın B dolabına aktarılıyor. Bu işlemin ardından B dolabındaki dosyalar karıştırılıyor ve rastgele bir dosya seçiliyor.

Seçilen son dosyanın "Gizli" ibareli olduğu bilindiğine göre, A dolabından B dolabına aktarılan dosyanın da "Gizli" ibareli olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    37\frac{3}{7}
  2. B
    1931\frac{19}{31}
  3. 919\frac{9}{19}Cevap
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    3863\frac{38}{63}

Cevap

919\frac{9}{19}
Soru bir 'sonucun bilindiği durumda sebebin olasılığı' (Bayes Teoremi) problemidir. B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olması olayı (EE), iki farklı yolla gerçekleşebilir:
1. Yol: A'dan Gizli gelir (37\frac{3}{7}) ve B'den Gizli seçilir (B'de 6 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık: 37⋅69=1863\frac{3}{7} \cdot \frac{6}{9} = \frac{18}{63}.
2. Yol: A'dan Genel gelir (47\frac{4}{7}) ve B'den Gizli seçilir (B'de 5 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık: 47⋅59=2063\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{63}.

Bizden A'dan gelenin 'Gizli' olduğu durumun (1. Yol) olasılığı istendiği için; 1. Yolun Olasılığını, Toplam Olasılığa (1. Yol + 2. Yol) oranlarız:
18/6318/63+20/63=1838=919\frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları (senaryoları) belirle.
İki ana durum vardır:
1. Durum (D1D_1): A'dan "Gizli" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.
2. Durum (D2D_2): A'dan "Genel" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.
B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olduğu biliniyor (Koşul). Bu sonuca götüren tüm yolları hesaplamalıyız.
2
Birinci durumun (D1D_1) olasılığını hesapla.
P(AGizli)=37P(A_{Gizli}) = \frac{3}{7}. Bu durumda B'de 66 Gizli, 33 Genel olur (Toplam 99). B'den Gizli seçme olasılığı 69\frac{6}{9} olur.
P(D1)=37×69=1863P(D_1) = \frac{3}{7} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{63}
Zincirleme olasılık kuralı: P(AGizli∩BGizli)=P(AGizli)×P(BGizli∣AGizli)P(A_{Gizli} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Gizli}) \times P(B_{Gizli} | A_{Gizli})
3
İkinci durumun (D2D_2) olasılığını hesapla.
P(AGenel)=47P(A_{Genel}) = \frac{4}{7}. Bu durumda B'de 55 Gizli, 44 Genel olur (Toplam 99). B'den Gizli seçme olasılığı 59\frac{5}{9} olur.
P(D2)=47×59=2063P(D_2) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{63}
Zincirleme olasılık kuralı: P(AGenel∩BGizli)=P(AGenel)×P(BGizli∣AGenel)P(A_{Genel} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Genel}) \times P(B_{Gizli} | A_{Genel})
4
Bayes teoremi ile koşullu olasılığı hesapla.
İstenen Olasılık = I˙stenen Durumun Olasılıg˘ı (A’dan Gizli gelmesi)Tu¨m Olası Durumların Toplamı\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı (A'dan Gizli gelmesi)}}{\text{Tüm Olası Durumların Toplamı}}
=P(D1)P(D1)+P(D2)=18/6318/63+20/63=1838=919= \frac{P(D_1)}{P(D_1) + P(D_2)} = \frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}
Örnek uzay, 'B'den Gizli seçilme' koşulu ile daraltılmıştır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

İpuçları

1
Bu bir 'ağaç diyagramı' veya 'durum incelemesi' sorusudur. Olası iki senaryoyu (A'dan Gizli gelmesi veya A'dan Genel gelmesi) ayrı ayrı düşünün.
2
Her iki senaryo için B dolabındaki toplam dosya sayısının 9 olacağını, ancak Gizli dosya sayısının değişeceğini unutmayın.
3
İstenen Olasılık = (A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) / [(A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) + (A'dan Genel gelip B'den Gizli çekilmesi)].

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'Hatalı üretim yapan makinelerden hangisinin seçildiği' problemini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Olasılık yerine 'sanal vaka sayısı' yöntemi: Paydaların çarpımı olan 6363 adet evrensel vaka olduğunu varsayalım. A'dan Gizli gelen vaka sayısı 3/7×63=273/7 \times 63 = 27, Genel gelen 3636. Eğer 2727 vaka varsa (A'dan Gizli geldi), B'den Gizli çekme ihtimali 6/96/9. 27×(6/9)=1827 \times (6/9) = 18 başarılı vaka. Diğer durumda 36×(5/9)=2036 \times (5/9) = 20 başarılı vaka. Toplam 'B'den Gizli çekilen' vaka sayısı 18+20=3818+20=38. Bunların 1818 tanesi A'dan Gizli gelen durumdan kaynaklıdır. Sonuç 18/38=9/1918/38 = 9/19.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru