Koşullu Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun düzenlediği hizmet içi eğitim seminerine katılan personeller iki gruba ayrılmıştır. 1. Grupta 8 başarılı, 4 başarısız; 2. Grupta ise 4 başarılı, 6 başarısız personel bulunmaktadır.

Her iki gruptan da rastgele birer personel seçilip performans dosyaları inceleniyor. Seçilen bu iki personelden yalnızca birinin başarılı olduğu bilindiğine göre, başarılı olan personelin 1. Gruptan seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{2}{5}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{4}$

Cevap

İstenen koşullu olasılık değeri \frac{3}{4}'tür.

Doğru cevap, koşullu olasılık prensibi gereği hesaplanmıştır. Soruda verilen 'yalnızca birinin başarılı olması' koşulu, örnek uzayımızı kısıtlar. Bu koşulu sağlayan iki durum vardır: (1. Grup Başarılı - 2. Grup Başarısız) veya (1. Grup Başarısız - 2. Grup Başarılı). Bu iki durumun olasılıkları toplamı paydayı (8/15), istenen durum olan (1. Grup Başarılı - 2. Grup Başarısız) olasılığı ise payı (6/15) oluşturur. Oranlandığında sonuç 3/4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki gruptan başarılı (B) ve başarısız (F) personel seçme olasılıklarını hesapla.

1. Grup: P(B1) = 8/12 = 2/3, P(F1) = 4/12 = 1/3.
2. Grup: P(B2) = 4/10 = 2/5, P(F2) = 6/10 = 3/5.

Her grup birbirinden bağımsızdır ve olasılıklar grubun kendi içindeki dağılıma göre belirlenir.

2

Koşul durumu olan 'yalnızca birinin başarılı olması' olayının olasılığını hesapla (Örnek Uzay).

Durum 1 (1. Başarılı, 2. Başarısız): (2/3) × (3/5) = 6/15.
Durum 2 (1. Başarısız, 2. Başarılı): (1/3) × (2/5) = 2/15.
Toplam Koşul Olasılığı: 6/15 + 2/15 = 8/15.

Yalnızca birinin başarılı olması için ya 1. gruptan başarılı 2. gruptan başarısız seçilmeli ya da tam tersi olmalıdır.

3

İstenen durumu (başarılı personelin 1. gruptan olması) belirle.

İstenen durum, hesapladığımız Durum 1'dir: P(B1 ∩ F2) = 6/15.

Soruda başarılı olan kişinin 1. gruptan (yani diğerinin 2. gruptan başarısız) olması istenmektedir.

4

Koşullu olasılık formülünü P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) uygula.

Olasılık = (6/15) / (8/15) = 6/8 = 3/4.

İstenen durumun olasılığı, koşul durumunun toplam olasılığına oranlanır.

Anahtar Kavram

İki bağımsız olay üzerinden tanımlanan koşullu olasılık durumlarında, örnek uzay koşula uyan tüm durumların toplamına indirgenir.

İpuçları

1

Önce her iki gruptan seçilen personelin başarılı ve başarısız olma olasılıklarını ayrı ayrı kesir olarak yazınız.

2

'Yalnızca birinin başarılı olması' iki farklı senaryoda gerçekleşebilir: Ya (1. Başarılı, 2. Başarısız) ya da (1. Başarısız, 2. Başarılı). Bu iki senaryonun olasılıklarını toplayarak paydayı bulunuz.

3

Paydaya (1. Başarılı ve 2. Başarısız) + (1. Başarısız ve 2. Başarılı) olasılıklarının toplamını yazın. Paya ise sorunun istediği (1. Başarılı ve 2. Başarısız) durumunu yazarak oranlayın.

Alternatif Yöntem

Olasılık yerine kombinasyon (seçme sayısı) ile çözüm: Toplam durum sayısı üzerinden değil, olasılık ağırlıkları üzerinden gitmek daha kolaydır ancak sayı vererek de çözülebilir. Örneğin olasılık paydalarını eşitlemek (60 üzerinden) sayısal işlem kolaylığı sağlayabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Bir araç muayene istasyonunda bir gün içinde kontrol edilen araçlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Fren kusuru tespit edilen araç sayısı 45'tir.
* Far kusuru tespit edilen araç sayısı 30'dur.
* Hem fren hem de far kusuru tespit edilen araç sayısı 10'dur.

Kontrol edilen araçlar arasından rastgele seçilen bir aracın fren kusuru olduğu bilindiğine göre, bu araçta far kusuru bulunmama olasılığı kaçtır?

\frac{2}{9}

\frac{7}{24}

\frac{7}{9}

\frac{7}{13}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{9}$

Cevap

\frac{7}{9}

Seçilen aracın fren kusurlu olduğu bilindiği için çalışma evrenimiz fren kusurlu 45 araçtır. Bu 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da vardır. Geriye kalan

45-10=35

araçta ise far kusuru yoktur (sadece fren kusuru vardır). İstenen olasılık

\frac{35}{45}

olur, bu da sadeleşince

\frac{7}{9}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık koşulunu belirle (Örnek Uzay)

Seçilen aracın 'fren kusuru olduğu bilindiğine' göre, örnek uzayımız sadece fren kusuru olan araçlardır. Bu sayı

s(Fren) = 45

'tir.

Koşullu olasılıkta 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki küme, yeni örnek uzayımız olur.

2

İstenen durumu hesapla

Bu araçta 'far kusuru bulunmama' durumu istenmektedir. Fren kusuru olan 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da (kesişim) vardır. Dolayısıyla sadece fren kusuru olan (far kusuru olmayan) araç sayısı:

45 - 10 = 35

'tir.

Bir kümenin eleman sayısından kesişimin eleman sayısını çıkararak fark kümesinin eleman sayısı bulunur:

s(Fren \setminus Far) = s(Fren) - s(Fren \cap Far)

.

3

Olasılık oranını kur ve sadeleştir

P(Far Yok | Fren Var) = \frac{s(Fren \setminus Far)}{s(Fren)} = \frac{35}{45} = \frac{7}{9}

İstenen durum sayısını, koşullu örnek uzay sayısına bölerek olasılık değeri bulunur. Kesir 5 ile sadeleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık Formülü:

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

veya küme farkı mantığıyla

P(A'|B) = \frac{s(B) - s(A \cap B)}{s(B)}

İpuçları

1

Soruda '...bilindiğine göre' ifadesi geçmektedir. Bu, tüm araçları değil, sadece bu koşulu sağlayan grubu (Fren kusuru olanları) payda (örnek uzay) olarak almanız gerektiğini gösterir.

2

Paydaya fren kusuru olan toplam araç sayısını (45) yazmalısınız. Paya ise, BU GRUBUN İÇİNDEN far kusuru olmayanların sayısını yazmalısınız.

3

Fren kusuru olan 45 aracın 10 tanesinde far kusuru da varsa, kaç tanesinde far kusuru yoktur?

45 - 10

işlemini yapın ve bunu 45'e oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla: 'Far kusuru olduğu bilinen bir aracın fren kusuru da olma olasılığı nedir?' sorusunu düşününüz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek çözümü görselleştirebilirsiniz. Sadece Fren (35), Sadece Far (20), Her ikisi (10). Evren sadece Fren halkası (35+10=45) olur. İstenen bölge 'Sadece Fren' (35) bölgesidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan 4 mühendis ve 5 mimar arasından rastgele 3 kişilik bir proje ekibi seçilecektir. Seçilen ekipte en az bir mühendis bulunduğu bilindiğine göre, bu ekipte tam olarak iki mimar bulunma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{14}

\frac{10}{21}

\frac{1}{2}

\frac{20}{37}

\frac{25}{37}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{20}{37}$

Cevap

Seçilen ekipte en az bir mühendis olduğu bilindiğinde, tam olarak iki mimar bulunma olasılığı \frac{20}{37}'dir.

Doğru cevap, koşullu olasılık tanımı gereği örnek uzayın daraltılmasıyla bulunur. Toplam durum sayısı 84'tür. Koşul 'en az bir mühendis' olduğundan, sadece mimarlardan oluşan 10 durum (C(5,3)) çıkarılır ve yeni örnek uzay 74 olur. İstenen durum (2 mimar, 1 mühendis) 40 farklı şekilde gerçekleşir. Oran 40/74 = 20/37'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası 3 kişilik ekiplerin sayısını hesapla (Koşulsuz Örnek Uzay).

C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

Toplam 9 kişi (4 mühendis + 5 mimar) arasından sıra gözetmeksizin 3 kişi seçilmektedir.

2

Koşulu sağlayan yeni örnek uzayı hesapla (E: En az bir mühendis).

s(E) = Tüm Durumlar - Hiç Mühendis Olmayanlar (Hepsi Mimar) = 84 - C(5, 3) = 84 - 10 = 74

'En az bir' koşulu verildiğinde, tüm durumlardan istenmeyen durumun (hiç mühendis yok) çıkarılması en pratik yoldur.

3

İstenen olayın eleman sayısını hesapla (A: Tam olarak iki mimar, E koşulu altında).

s(A \cap E) = C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40

3 kişilik ekipte tam 2 mimar olması, zorunlu olarak 1 mühendis olmasını gerektirir. Bu durum 'en az bir mühendis' koşulunu zaten sağlar.

4

Koşullu olasılığı hesapla.

P(A|E) = \frac{s(A \cap E)}{s(E)} = \frac{40}{74} = \frac{20}{37}

Koşullu olasılık formülü: İstenen durum sayısı / Koşulu sağlayan tüm durum sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay, verilen koşula göre daraltılmalıdır (

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

). 'En az bir' ifadesi içeren durumlarda tümleyen (complement) yöntemi kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1

'...bilindiğine göre' ifadesi, bu sorunun bir koşullu olasılık sorusu olduğunu gösterir. Paydaya tüm durumları (84) değil, sadece koşulu sağlayan durum sayısını yazmalısınız.

2

'En az bir mühendis bulunma' koşulunun eleman sayısını bulmak için, tüm durumlardan 'hiç mühendis bulunmayan' (yani tamamı mimar olan) durumları çıkarın.

3

Örnek Uzay (Payda) = C(9,3) - C(5,3). İstenen Durum (Pay) = 2 Mimar ve 1 Mühendis seçimi = C(5,2) × C(4,1).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'Seçilen bir sayının çift olduğu bilindiğine göre, 5'e bölünebilme olasılığı kaçtır?' gibi sayısal mantık soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak örnek uzayı doğrudan toplayarak da bulabilirsiniz: (1 Müh, 2 Mim) + (2 Müh, 1 Mim) + (3 Müh, 0 Mim) = (4×10) + (6×5) + (4×1) = 40 + 30 + 4 = 74.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunun A ve B arşiv dolaplarında bulunan dosyaların nitelikleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A Dolabı: $3$ adet "Gizli", $4$ adet "Genel" ibareli dosya,
* B Dolabı: $5$ adet "Gizli", $3$ adet "Genel" ibareli dosya içermektedir.

Kurum içi düzenleme sırasında, A dolabından rastgele bir dosya alınıp niteliğine bakılmaksızın B dolabına aktarılıyor. Bu işlemin ardından B dolabındaki dosyalar karıştırılıyor ve rastgele bir dosya seçiliyor.

Seçilen son dosyanın "Gizli" ibareli olduğu bilindiğine göre, A dolabından B dolabına aktarılan dosyanın da "Gizli" ibareli olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{7}

\frac{19}{31}

\frac{9}{19}

\frac{2}{3}

\frac{38}{63}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{19}$

Cevap

\frac{9}{19}

Soru bir 'sonucun bilindiği durumda sebebin olasılığı' (Bayes Teoremi) problemidir. B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olması olayı (

E

), iki farklı yolla gerçekleşebilir:
1. Yol: A'dan Gizli gelir (

\frac{3}{7}

) ve B'den Gizli seçilir (B'de 6 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık:

\frac{3}{7} \cdot \frac{6}{9} = \frac{18}{63}

.
2. Yol: A'dan Genel gelir (

\frac{4}{7}

) ve B'den Gizli seçilir (B'de 5 Gizli / 9 Toplam olur). Olasılık:

\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{63}

.

Bizden A'dan gelenin 'Gizli' olduğu durumun (1. Yol) olasılığı istendiği için; 1. Yolun Olasılığını, Toplam Olasılığa (1. Yol + 2. Yol) oranlarız:

\frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}

.

Adım Adım Çözüm

1

Olası durumları (senaryoları) belirle.

İki ana durum vardır:
1. Durum (

D_1

): A'dan "Gizli" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.
2. Durum (

D_2

): A'dan "Genel" dosya aktarılması ve sonra B'den "Gizli" seçilmesi.

B'den seçilen dosyanın 'Gizli' olduğu biliniyor (Koşul). Bu sonuca götüren tüm yolları hesaplamalıyız.

2

Birinci durumun (

D_1

) olasılığını hesapla.

P(A_{Gizli}) = \frac{3}{7}

. Bu durumda B'de

6

Gizli,

3

Genel olur (Toplam

9

). B'den Gizli seçme olasılığı

\frac{6}{9}

olur.

P(D_1) = \frac{3}{7} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{63}

Zincirleme olasılık kuralı:

P(A_{Gizli} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Gizli}) \times P(B_{Gizli} | A_{Gizli})

3

İkinci durumun (

D_2

) olasılığını hesapla.

P(A_{Genel}) = \frac{4}{7}

. Bu durumda B'de

5

Gizli,

4

Genel olur (Toplam

9

). B'den Gizli seçme olasılığı

\frac{5}{9}

olur.

P(D_2) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{63}

Zincirleme olasılık kuralı:

P(A_{Genel} \cap B_{Gizli}) = P(A_{Genel}) \times P(B_{Gizli} | A_{Genel})

4

Bayes teoremi ile koşullu olasılığı hesapla.

İstenen Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı (A'dan Gizli gelmesi)}}{\text{Tüm Olası Durumların Toplamı}}

= \frac{P(D_1)}{P(D_1) + P(D_2)} = \frac{18/63}{18/63 + 20/63} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}

Örnek uzay, 'B'den Gizli seçilme' koşulu ile daraltılmıştır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

İpuçları

1

Bu bir 'ağaç diyagramı' veya 'durum incelemesi' sorusudur. Olası iki senaryoyu (A'dan Gizli gelmesi veya A'dan Genel gelmesi) ayrı ayrı düşünün.

2

Her iki senaryo için B dolabındaki toplam dosya sayısının 9 olacağını, ancak Gizli dosya sayısının değişeceğini unutmayın.

3

İstenen Olasılık = (A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) / [(A'dan Gizli gelip B'den Gizli çekilmesi) + (A'dan Genel gelip B'den Gizli çekilmesi)].

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'Hatalı üretim yapan makinelerden hangisinin seçildiği' problemini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Olasılık yerine 'sanal vaka sayısı' yöntemi: Paydaların çarpımı olan

63

adet evrensel vaka olduğunu varsayalım. A'dan Gizli gelen vaka sayısı

3/7 \times 63 = 27

, Genel gelen

36

. Eğer

27

vaka varsa (A'dan Gizli geldi), B'den Gizli çekme ihtimali

6/9

.

27 \times (6/9) = 18

başarılı vaka. Diğer durumda

36 \times (5/9) = 20

başarılı vaka. Toplam 'B'den Gizli çekilen' vaka sayısı

18+20=38

. Bunların

18

tanesi A'dan Gizli gelen durumdan kaynaklıdır. Sonuç

18/38 = 9/19

.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumuna gelen evrakların %60'ı A biriminde, %40'ı ise B biriminde incelenmektedir. Geçmiş veriler analiz edildiğinde, A biriminde incelenen evrakların %2'sinde, B biriminde incelenen evrakların ise %5'inde işlem hatası yapıldığı tespit edilmiştir.

Rastgele seçilen bir evrağın işlem hatası içerdiği bilindiğine göre, bu evrağın B biriminde incelenmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{50}

\frac{4}{125}

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{5}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{8}$

Cevap

Seçilen hatalı evrağın B biriminden gelme olasılığı

\frac{5}{8}

'dir.

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi koşullu olasılık kullanılacağını gösterir. İstenen durum, evrağın B biriminden gelmiş ve hatalı olmasıdır (

0,40 \times 0,05 = 0,020

). Tüm durumlar ise evrağın A'dan veya B'den gelip hatalı olmasıdır (

0,012 + 0,020 = 0,032

). Bu iki değerin oranı

\frac{20}{32} = \frac{5}{8}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımla ve verilen olasılıkları yaz.

P(A) = 0,60

,

P(B) = 0,40

. Hata yapma olasılıkları:

P(E|A) = 0,02

,

P(E|B) = 0,05

.

Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

Her iki durum için 'Birim ve Hata' kesişim olasılıklarını hesapla.

A ve Hata:

0,60 \times 0,02 = 0,012

. B ve Hata:

0,40 \times 0,05 = 0,020

.

Koşullu olasılık formülünde pay ve paydayı oluşturmak için kesişim kümelerinin değerlerine ihtiyaç vardır.

3

Toplam hata olasılığını (örnek uzayı) bul.

P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = 0,012 + 0,020 = 0,032

.

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' dendiği için, yeni örnek uzayımız tüm hatalı evraklardır.

4

Koşullu olasılık formülünü uygula: İstenen Durum / Tüm Durumlar.

P(B|E) = \frac{0,020}{0,032} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}

.

Bayes teoremi veya koşullu olasılık tanımı gereği, B'den gelen hatalıların tüm hatalılara oranı aranmaktadır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Yaklaşımı)

İpuçları

1

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanız gereken paydanın 'toplam hatalı evrak olasılığı' olduğunu işaret eder.

2

Önce A biriminden gelen hatalı evrak oranını (

0,60 \times 0,02

) ve B biriminden gelen hatalı evrak oranını (

0,40 \times 0,05

) ayrı ayrı hesaplayın.

3

İstenen durum (B ve Hatalı) 0,020'dir. Tüm durumlar (Toplam Hatalı) 0,032'dir. Bu iki sayıyı birbirine oranlayın.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek çözüm: Toplam 1000 evrak olduğunu varsayalım. A birimine 600, B birimine 400 evrak gider. A'daki hatalı sayısı

600 \times 0,02 = 12

. B'deki hatalı sayısı

400 \times 0,05 = 20

. Toplam hatalı evrak sayısı

12 + 20 = 32

. Bunların 20 tanesi B'den geldiği için olasılık

20/32 = 5/8

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı doğal sayılar yazılıyor.

Bu sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının $300$ 'den büyük olduğu bilindiğine göre, bu sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

\frac{7}{20}

\frac{5}{12}

\frac{7}{12}

\frac{3}{5}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{12}$

Cevap

Seçilen sayının 300'den büyük olduğu bilindiğine göre tek olma olasılığı

\frac{7}{12}

'dir.

Soruda '300'den büyük olduğu bilindiğine göre' ifadesi, örnek uzayın kısıtlandığını gösterir. Öncelikle yüzler basamağı 3, 4 veya 5 olan rakamları farklı tüm sayıların adedi (payda) bulunur:

3 \times 4 \times 3 = 36

. Ardından bu küme içinde tek olanlar (pay) hesaplanır: Yüzler basamağı 3 iken sonu {1,5} olabilir (6 adet), yüzler basamağı 4 iken sonu {1,3,5} olabilir (9 adet), yüzler basamağı 5 iken sonu {1,3} olabilir (6 adet). Toplam istenen durum 21'dir. Olasılık

\frac{21}{36} = \frac{7}{12}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu örnek uzayın (E') eleman sayısını belirle.

s(E') = 36

300'den büyük sayılar için yüzler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Her durum için kalan 4 rakamdan 2'si seçilip sıralanır:

3 \times (4 \times 3) = 36

.

2

Koşulu sağlayan istenen durumların (A) eleman sayısını hesapla.

s(A) = 21

300'den büyük VE tek olan sayılar incelenir: 3xx (sonu 1,5)

\rightarrow 2 \times 3 = 6

durum; 4xx (sonu 1,3,5)

\rightarrow 3 \times 3 = 9

durum; 5xx (sonu 1,3)

\rightarrow 2 \times 3 = 6

durum. Toplam:

6+9+6=21

.

3

Olasılık oranını hesapla.

\frac{21}{36} = \frac{7}{12}

İstenen durum sayısı / Koşullu örnek uzay sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır.

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

formülü kullanılır.

İpuçları

1

Öncelikle '300'den büyük' şartını sağlayan kaç farklı sayı yazılabileceğini (yeni örnek uzayınızı) hesaplayın.

2

300'den büyük sayıları yüzler basamağına göre gruplandırın (300'lü, 400'lü, 500'lü). Her grup için kaç tane tek sayı yazılabildiğini ayrı ayrı bulun.

3

Yüzler basamağı 3 veya 5 olduğunda, birler basamağına yazılabilecek tek rakam sayısı azalır (çünkü 3 ve 5 tektir). Yüzler basamağı 4 olduğunda ise azalmaz. Bu ayrımı yaparak toplayın.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan (300'den büyük olanlar) çift olanları çıkararak da tek sayıların adedine ulaşabilirsiniz: 36 (toplam) - 15 (çift) = 21 (tek).

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumu tarafından açılan hizmet binası ihalesine A, B ve C olmak üzere üç farklı inşaat firması katılmıştır. İhaleyi A firmasının kazanma olasılığı %40, B firmasının %35 ve C firmasının %25'tir. İhaleyi kazanan firmaya göre inşaatın belirlenen sürede tamamlanamama (gecikme) olasılıkları sırasıyla %10, %20 ve %40 olarak öngörülmüştür. İnşaat süreci sonunda binanın zamanında teslim edildiği bilinmektedir.

Buna göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{7}{25}

\frac{1}{3}

\frac{28}{79}

\frac{7}{20}

\frac{4}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{28}{79}$

Cevap

İnşaatın zamanında teslim edildiği bilindiğine göre, ihaleyi B firmasının kazanmış olma olasılığı

\frac{28}{79}

'dur.

Soruda bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (inşaatın zamanında bitmesi), bunun belirli bir sebepten (B firması) kaynaklanma olasılığı sorulmaktadır. Bu klasik bir Bayes Teoremi problemidir. Doğru çözümde önce her firmanın zamanında bitirme olasılıkları (

1 - \text{gecikme}

) bulunur. Sonra toplam olasılık kuralı ile tüm 'zamanında bitme' olasılığı hesaplanır (

0,79

). Son olarak, B firmasının bu duruma katkısı (

0,28

), toplam olasılığa bölünerek

\frac{28}{79}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.

Firmaların kazanma olasılıkları:

P(A)=0,40

,

P(B)=0,35

,

P(C)=0,25

.
Gecikme (G) olasılıkları verilmiştir:

P(G|A)=0,10

,

P(G|B)=0,20

,

P(G|C)=0,40

.
Bizden istenen durum 'Zamanında Teslim' (

Z

) olduğu için, her firma için zamanında teslim olasılıklarını (

1 - P(G)

) bulalım:

P(Z|A) = 1 - 0,10 = 0,90

P(Z|B) = 1 - 0,20 = 0,80

P(Z|C) = 1 - 0,40 = 0,60

Soruda 'zamanında teslim edildiği bilindiğine göre' dendiği için gecikme olasılıklarını değil, zamanında teslim olasılıklarını kullanmalıyız.

2

Toplam zamanında teslim edilme olasılığını (

P(Z)

) hesaplayalım (Toplam Olasılık Kanunu).

P(Z) = P(Z|A)\cdot P(A) + P(Z|B)\cdot P(B) + P(Z|C)\cdot P(C)

P(Z) = (0,90 \cdot 0,40) + (0,80 \cdot 0,35) + (0,60 \cdot 0,25)

P(Z) = 0,36 + 0,28 + 0,15 = 0,79

Bayes teoreminin paydasını oluşturmak için tüm olası 'zamanında teslim' senaryolarının toplamını bulmamız gerekir.

3

Koşullu olasılığı hesaplayalım (Bayes Teoremi).

Bizden istenen:

P(B | Z) = \frac{P(Z|B) \cdot P(B)}{P(Z)}

Pay: B firmasının kazanıp zamanında bitirme olasılığı =

0,28

Payda: Toplam zamanında bitme olasılığı =

0,79

Sonuç:

\frac{0,28}{0,79} = \frac{28}{79}

Koşullu olasılık formülü gereği, istenen durumun (B ve Zamanında) olasılığını, bilinen koşulun (Tüm Zamanında) toplam olasılığına oranlarız.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Soru 8Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından ithal edilen tıbbi cihazlar üzerinde yapılan kalite kontrol denetimlerinde, cihazların teknik şartnameye uygun olup olmadığı test edilmektedir. İthal edilen cihazların $\frac{1}{10}$ 'unun teknik şartnameye uygun olmadığı (kusurlu olduğu) bilinmektedir.

Denetimlerde kullanılan test cihazı:
* Gerçekte kusurlu olan cihazların $\frac{19}{20}$ 'sini doğru bir şekilde "kusurlu" olarak tespit etmekte,
* Gerçekte sağlam (şartnameye uygun) olan cihazların ise $\frac{1}{20}$ 'sini hatalı bir şekilde "kusurlu" olarak etiketlemektedir.

Buna göre, test cihazı tarafından "kusurlu" olarak etiketlenen rastgele seçilmiş bir tıbbi cihazın, gerçekte sağlam olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{20}

\frac{9}{28}

\frac{19}{28}

\frac{9}{20}

\frac{19}{20}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{28}$

Cevap

Test sonucunda kusurlu etiketlenen cihazın aslında sağlam olma olasılığı

\frac{9}{28}

'dir.

Soru bizden, bir cihazın 'kusurlu' olarak etiketlendiği bilindiğinde, bu cihazın aslında 'sağlam' olma olasılığını istemektedir. Bu, klasik bir koşullu olasılık problemidir. Toplamda her 200 cihazdan 19 tanesi gerçekten kusurlu olduğu için, 9 tanesi ise sağlam olduğu halde yanlışlıkla kusurlu etiketlenir. Yani toplam 28 cihaz 'kusurlu' etiketini alır. Bu 28 cihazdan 9'u aslında sağlamdır. Cevap

\frac{9}{28}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.

K

: Cihaz Kusurlu,

S

: Cihaz Sağlam,

E

: Etiket Kusurlu. Verilenler:

P(K) = \frac{1}{10}

,

P(S) = \frac{9}{10}

. Koşullu olasılıklar:

P(E|K) = \frac{19}{20}

,

P(E|S) = \frac{1}{20}

.

Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözüm yolunu netleştirir.

2

Kusurlu olarak etiketlenme durumunun gerçekleşebileceği iki farklı yolu (dalı) hesapla.

1. Yol (Gerçekten Kusurlu ve Tespit Edildi):

P(K \cap E) = \frac{1}{10} \cdot \frac{19}{20} = \frac{19}{200}

.
2. Yol (Sağlam ama Yanlış Etiketlendi):

P(S \cap E) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{20} = \frac{9}{200}

.

Bayes teoremi veya ağaç diyagramı mantığıyla, sonucun (etiketin) ortaya çıkabileceği tüm ayrık olasılıkları bulmamız gerekir.

3

Toplam 'Kusurlu Etiketlenme' olasılığını (

P(E)

) bul.

Toplam Olasılık =

\frac{19}{200} + \frac{9}{200} = \frac{28}{200}

.

Örnek uzayımızı artık sadece 'kusurlu etiketlenenler' ile sınırlıyoruz.

4

İstenen koşullu olasılığı hesapla:

P(Sağlam | Etiket) = \frac{P(Sağlam \cap Etiket)}{P(Toplam Etiket)}

.

\frac{9/200}{28/200} = \frac{9}{28}

.

Kusurlu etiketlenenler içinde, hatayla etiketlenmiş olan sağlam cihazların oranını buluyoruz.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi)

İpuçları

1

Örnek uzayınızı (tüm durumları) 'test sonucunda kusurlu etiketlenen tüm cihazlar' olarak sınırlayın.

2

Bir ağaç diyagramı çizin: İlk dalda cihazın gerçek durumu (Kusurlu/Sağlam), ikinci dalda test sonucu (Etiketli/Etiketsiz) olsun.

3

200 adet hayali cihaz olduğunu varsayın. Bunların kaçı gerçekten kusurludur? Kaçı sağlamdır? Bu gruplardan kaçar tanesi 'kusurlu' etiketi alır? Hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir senaryoda, testin pozitif çıkması durumunda hastalığın gerçekte var olma olasılığını soran bir soru çözün.

Alternatif Yöntem

Sayı Verme Yöntemi: Toplam 200 cihaz olsun. 20'si kusurlu (1/10), 180'i sağlamdır. Kusurluların 19/20'si yani 19'u etiketlenir. Sağlamların 1/20'si yani 180/20 = 9'u etiketlenir. Toplam etiketlenen = 19 + 9 = 28. Bunlardan sağlam olanlar = 9. Olasılık = 9/28.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

Bir bakanlığın düzenlediği hizmet içi eğitim programına katılan 45 uzman yardımcısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 28 kişi Kamu İhale Kanunu eğitimi almıştır.
* 20 kişi Devlet Muhasebesi eğitimi almıştır.
* 5 kişi ise bu iki eğitimi de almamıştır.

Buna göre, bu gruptan rastgele seçilen bir kişinin Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiğine göre, bu kişinin Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{2}{9}

\frac{2}{7}

\frac{2}{5}

\frac{4}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{5}$

Cevap

Seçilen kişinin Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olma olasılığı

\frac{2}{5}

'tir.

Koşullu olasılık, örnek uzayın daraltılması ilkesine dayanır. Soruda kişinin 'Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiği' belirtilmiştir. Bu durumda tüm grup (45 kişi) yerine sadece Devlet Muhasebesi eğitimi alan 20 kişiyi 'yeni örnek uzay' olarak kabul ederiz. Bu 20 kişi arasından, aynı zamanda Kamu İhale Kanunu eğitimi de almış olanları (kesişim kümesini) bulmamız gerekir. Küme formülleriyle kesişim 8 kişi olarak bulunur. Olasılık

\frac{8}{20} = \frac{2}{5}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen sayıları kümeler teorisi yardımıyla analiz et.

Tüm grup (

E

) = 45 kişi. Hiçbirini almayan (

E \setminus (A \cup B)

) = 5 kişi. Dolayısıyla en az bir eğitim alanların sayısı (Birleşim Kümesi,

s(A \cup B)

) =

45 - 5 = 40

kişidir.

Kesişim kümesini bulmak için önce birleşim kümesinin eleman sayısını belirlemek gerekir.

2

Her iki eğitimi de alan kişi sayısını (kesişim kümesi) hesapla.

Birleşim formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

. Değerleri yerine koyarsak:

40 = 28 + 20 - s(A \cap B) \Rightarrow 40 = 48 - s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 8

.

Koşullu olasılık hesabında pay kısmına yazılacak olan 'her iki durumu da sağlayan' kişi sayısını bulmak zorunludur.

3

Koşullu olasılık formülünü uygula.

İstenen Olasılık =

\frac{\text{Kesişim Sayısı}}{\text{Koşul Kümesi Sayısı}} = \frac{s(A \cap B)}{s(\text{Muhasebe})} = \frac{8}{20}

.

Soru 'Devlet Muhasebesi eğitimi aldığı bilindiğine göre' dediği için örnek uzay tüm sınıf (45) değil, sadece muhasebe eğitimi alanlar (20) olur.

4

Sonucu sadeleştir.

\frac{8}{20} = \frac{2}{5}

.

Seçeneklerdeki sonuçlar en sade haliyle verilmiştir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Kümelerde Kesişim

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumu tarafından açılan uzmanlık sınavına giren adayların $\%60$ ’ı Ankara, geri kalanı ise İstanbul merkezinde sınava katılmıştır. Ankara merkezinde sınava girenlerin $\%10$ ’u, İstanbul merkezinde sınava girenlerin ise $\%20$ ’si sınavda başarılı olmuştur.

Buna göre, bu adaylar arasından rastgele seçilen birinin başarılı olduğu bilindiğine göre, bu kişinin İstanbul merkezinde sınava girmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{7}

\frac{3}{7}

\frac{2}{25}

\frac{3}{50}

\frac{7}{50}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{7}$

Cevap

Seçilen kişinin başarılı olduğu bilindiğine göre, İstanbul merkezinden gelmiş olma olasılığı

\frac{4}{7}

'dir.

Doğru cevap seçeneği olan değer, İstanbul merkezinden gelen başarılı adayların (

8k

), sınavdaki toplam başarılı aday sayısına (

14k

) oranlanmasıyla elde edilen

\frac{4}{7}

sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

Aday sayılarını sembolik bir değer üzerinden belirleyin.

Toplam aday sayısı

100k

olsun. Ankara adayları:

60k

, İstanbul adayları:

40k

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplamı 100 ve katları seçmek uygundur.

2

Her merkezdeki başarılı aday sayılarını hesaplayın.

Ankara Başarılı:

60k \times \%10 = 6k

. İstanbul Başarılı:

40k \times \%20 = 8k

.

Koşullu olasılık için hem kesişim kümesinin hem de koşul kümesinin eleman sayıları gereklidir.

3

Koşul olan 'başarılı olma' durumunun toplam sayısını bulun.

Toplam Başarılı (

P(B)

):

6k + 8k = 14k

.

Koşullu olasılıkta verilen bilgi örnek uzayı daraltır; yeni örnek uzayımız tüm başarılı adaylardır.

4

İstenen durumun örnek uzaya oranını bulun.

Olasılık =

\frac{\text{İstanbul ve Başarılı}}{\text{Toplam Başarılı}} = \frac{8k}{14k} = \frac{4}{7}

.

Koşullu olasılık formülü

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, verilen bir bilginin (koşulun) gerçekleştiği bilindiğinde, örnek uzay sadece o koşulu sağlayan elemanlarla sınırlanır.

İpuçları

1

'Bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen kısım (başarılı olanlar), yeni örnek uzayınızdır.

2

Toplam 100 aday olduğunu varsayarak Ankara ve İstanbul'dan kaçar kişinin başarılı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın.

3

Pay kısmına sadece İstanbul'dan gelen başarılıları, payda kısmına ise hem Ankara hem İstanbul'dan gelen tüm başarılıları yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, adayların başarılı olmadığı bilindiğinde Ankara'dan gelmiş olma olasılığı üzerinden çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı yöntemi kullanılabilir. İlk dalda Ankara (%60) ve İstanbul (%40) ayrılır. İkinci dalda bu şehirlerden başarılı olanlar (%10 ve %20) belirlenir. İstenen yolun olasılığı, başarılı çıkan tüm yolların toplam olasılığına bölünür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumuna personel alımı için mülakata katılan $30$ adaydan oluşan bir grupta adayların cinsiyetleri ve bildikleri yabancı dillere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Cinsiyet	İngilizce	Almanca
Erkek	$4$	$8$
Kadın	$10$	$8$

Bu gruptan rastgele seçilen bir adayın erkek olduğu bilindiğine göre, bu adayın İngilizce biliyor olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{15}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{7}{15}

\frac{2}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

Seçilen adayın İngilizce bilen bir erkek olma olasılığı

1/3

olarak bulunur.

Seçilen adayın erkek olduğu kesin bir bilgidir. Bu nedenle toplam aday sayısı olan

30

yerine sadece erkek adayların toplamı olan

12

sayısını paydaya yazmalıyız. Bu

12

erkek arasından İngilizce bilenlerin sayısı

4

olduğu için doğru cevap

4/12

yani

1/3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulu belirleyerek örnek uzayı kısıtla.

Örnek uzay sadece erkek adaylardan oluşur:

4 + 8 = 12

kişi.

Soruda seçilen kişinin erkek olduğu 'bilindiğine göre' ifadesi, tüm grup yerine sadece erkekleri dikkate almamız gerektiğini belirtir.

2

Kısıtlanmış örnek uzay içindeki istenen durum sayısını bul.

Erkek adaylar arasından İngilizce bilenlerin sayısı

4

kişidir.

Koşullu olasılıkta istenen olay, koşul kümesinin (erkekler) bir alt kümesi olmalıdır.

3

Olasılık değerini hesapla.

P(\text{İngilizce} | \text{Erkek}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzaydaki toplam durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, 'olduğu bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen bilgi örnek uzayımızı daraltır. Formül olarak

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

şeklinde ifade edilir.

İpuçları

1

'Erkek olduğu bilindiğine göre' ifadesi, kadın adayları tamamen görmezden gelebileceğiniz anlamına gelir.

2

Yeni örnek uzayınız tablodaki 'Erkek' satırındaki sayıların toplamıdır.

3

Sadece erkeklerin olduğu bir oda hayal edin. Bu odada 4 İngilizce, 8 Almanca bilen var. Bu odadan rastgele birini seçerseniz İngilizce bilme olasılığı ne olur?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tablo sorusunda, 'İngilizce bildiği bilindiğine göre kadın olma olasılığı' gibi koşulu değiştirerek pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir hastanenin yönetim kurulunda 3 doktor, 4 hemşire ve 2 laborant görev yapmaktadır. Bu kuruldan rastgele seçilen 3 kişinin en az birinin doktor olduğu bilinmektedir. Buna göre, seçilen kişilerden sadece ikisinin doktor olma olasılığı kaçtır?

9/32

3/14

1/64

3/64

5/32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9/32

Cevap

Seçilen kişilerden sadece ikisinin doktor olma olasılığı 9/32'dir.

Soruda 'en az birinin doktor olduğu bilindiğine göre' ifadesi kullanıldığı için, tüm olası durumlar (C(9,3)=84) yerine sadece içinde en az bir doktor olan durumlar (84 - C(6,3) = 64) paydaya yazılır. İstenen durum ise seçilenlerden sadece ikisinin doktor olmasıdır (2 doktor ve 1 doktor olmayan). Bu durumların sayısı C(3,2) * C(6,1) = 3 * 6 = 18'dir. Olasılık 18/64 = 9/32 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların sayısını ve koşulu sağlayan örnek uzayı belirle.

Toplam kişi sayısı 9'dur (3D + 4H + 2L). Rastgele 3 kişi seçimi C(9,3) = 84 farklı şekilde yapılabilir.

Olasılık hesabı için önce tüm olası seçimlerin sayısı bulunmalıdır.

2

Koşulu sağlayan durum sayısını hesapla (En az birinin doktor olduğu durumlar).

Hiç doktor seçilmeyen durumlar (doktor olmayan 6 kişiden 3 seçim): C(6,3) = 20. En az bir doktor seçilen durumlar: Tüm Durumlar - Hiç Doktor Olmayan = 84 - 20 = 64.

Koşullu olasılıkta payda, koşulu sağlayan durum sayısıdır.

3

İstenen durum sayısını hesapla (Sadece ikisinin doktor olduğu durumlar).

Sadece 2 doktor seçilmesi için: 3 doktordan 2'si (C(3,2)) ve kalan 6 kişiden 1'i (C(6,1)) seçilmelidir. İstenen Durum Sayısı = 3 * 6 = 18.

Pay kısmına, koşulu sağlayan durumlar içinden soruda istenen özel durumun sayısı yazılır.

4

Olasılığı hesapla.

Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Koşulu Sağlayan Durum Sayısı = 18 / 64 = 9 / 32.

Sonuç sadeleştirilerek seçeneklerde aranır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay daraltılır; 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki şart yeni örnek uzayı (paydayı) oluşturur.

İpuçları

1

'Bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanız gereken toplam durum sayısını (paydayı) değiştirir. Tüm ihtimallerden, hiç doktor seçilmeyen durumları çıkarın.

2

Payda için: 9 kişiden 3 kişi seçmenin tüm yollarından (C(9,3)), hiç doktor olmayan 6 kişiden 3 kişi seçmenin yollarını (C(6,3)) çıkarın.

3

Pay için: 3 doktordan 2'sini ve kalan 6 kişiden 1'ini seçmeniz gerekir. C(3,2) * C(6,1) işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az birinin hemşire olduğu bilindiğine göre' şartıyla çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Bir dil kursunda bulunan $A$ ve $B$ sınıflarındaki kursiyerlerin cinsiyetlerine göre dağılımı hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $A$ sınıfında $8$ kadın ve $4$ erkek kursiyer bulunmaktadır.
* $B$ sınıfında $6$ kadın ve $12$ erkek kursiyer bulunmaktadır.

Bu kursiyerler arasından rastgele seçilen bir kişinin kadın olduğu bilindiğine göre, bu kişinin $A$ sınıfında olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{15}

\frac{2}{3}

\frac{7}{15}

\frac{4}{7}

\frac{3}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{7}$

Cevap

Seçilen kişinin kadın olduğu bilindiğine göre, örnek uzay toplam kadın sayısı olan

14

kişidir. Bu grupta

A

sınıfından olan

8

kadın bulunduğu için olasılık

\frac{8}{14} = \frac{4}{7}

olarak bulunur.

Seçilen kişinin kadın olduğu kesin bir bilgi olduğu için tüm olası durumlar toplam kadın sayısı olan

8 + 6 = 14

olur. Bu

14

kadın arasından

A

sınıfında olanların sayısı

8

olduğu için olasılık

\frac{8}{14}

sadeleştiğinde

\frac{4}{7}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olan toplam kadın sayısını belirleyelim.

8

(A sınıfı) +

6

(B sınıfı) =

14

kadın.

Koşullu olasılık sorularında 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki kısım yeni örnek uzayımızı oluşturur.

2

Koşula uygun istenen durum sayısını belirleyelim.

A

sınıfındaki kadın sayısı =

8

.

Soruda kişinin kadın olduğu bilgisiyle birlikte A sınıfında olma olasılığı istenmektedir.

3

Olasılık değerini hesaplayalım.

P(A | \text{Kadın}) = \frac{s(A \cap \text{Kadın})}{s(\text{Kadın})} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}

.

Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzaydaki toplam durum sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, bir

B

olayının gerçekleştiği biliniyorsa,

A

olayının gerçekleşme olasılığı

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülüyle hesaplanır. Bu durumda örnek uzay

B

olayının eleman sayısına indirgenir.

İpuçları

1

Önce kurstaki toplam kadın sayısını hesaplayarak yeni örnek uzayınızı belirleyin.

2

Kadın olduğu bilindiğine göre, artık erkek kursiyerlerin sayısının olasılık paydasında bir önemi kalmamıştır.

3

İstenen olasılık = (A sınıfındaki kadın sayısı) / (Toplam kadın sayısı) formülüyle bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'A sınıfından seçilen birinin erkek olma olasılığı' ile 'erkek olduğu bilinen birinin A sınıfından olma olasılığı' arasındaki farkı inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verileri bir tabloya yerleştirerek toplamları bulun. Sadece 'Kadın' sütununa odaklanın. Bu sütundaki 'A Sınıfı' hücresindeki değeri, sütun toplamına oranlayın.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan toplam $100$ personelden $60$ 'ı Strateji Geliştirme biriminde, geri kalanlar ise Personel biriminde görev yapmaktadır. Kurumun düzenlediği sertifika programı sonunda yapılan sınav sonuçlarına ilişkin veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim Adı	Personel Sayısı	Başarı Oranı
Strateji Geliştirme	$60$	$\%80$
Personel	$40$	$\%70$

Buna göre, bu personeller arasından rastgele seçilen birinin sınavda başarılı olduğu bilindiğine göre, bu personelin Strateji Geliştirme biriminde görev yapma olasılığı kaçtır?

\frac{12}{19}

\frac{7}{19}

\frac{4}{5}

\frac{12}{25}

\frac{19}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{19}$

Cevap

Sınavda başarılı olduğu bilinen bir personelin Strateji Geliştirme biriminde görev yapma olasılığı

\frac{12}{19}

'dur.

Verilen bilgilere göre kurumda toplam 76 başarılı personel bulunmaktadır. Bu başarılı personellerin 48 tanesi Strateji Geliştirme birimindendir. Dolayısıyla rastgele seçilen başarılı birinin bu birimden olma olasılığı 48/76 yani sadeleştiğinde 12/19 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birimlerdeki başarılı personel sayılarını hesaplayalım.

Strateji Geliştirme:

60 \times 0,80 = 48

kişi. Personel Birimi:

40 \times 0,70 = 28

kişi.

Koşullu olasılık hesaplamak için alt kümelerin eleman sayıları gereklidir.

2

Koşulun belirlediği yeni örnek uzayı (toplam başarılı sayısı) bulalım.

Toplam Başarılı Sayısı =

48 + 28 = 76

.

"Başarılı olduğu bilindiğine göre" ifadesi örnek uzayımızı sadece başarılı olanlarla kısıtlar.

3

İstenen durumun olasılığını hesaplayalım.

Olasılık =

\frac{\text{Strateji ve Başarılı}}{\text{Toplam Başarılı}} = \frac{48}{76}

.

Koşullu olasılık formülü gereği istenen durumun yeni örnek uzayına oranı alınır.

4

Kesri sadeleştirelim.

\frac{48 \div 4}{76 \div 4} = \frac{12}{19}

.

En sade halini bulmak için pay ve payda 4 ile bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık: Bir A olayının gerçekleştiği bilindiğinde B olayının gerçekleşme olasılığı

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1

"Başarılı olduğu bilindiğine göre" ifadesi, artık sadece başarılı olan kişiler arasından seçim yapacağınız anlamına gelir.

2

Önce Strateji Geliştirme ve Personel birimlerindeki başarılı kişi sayılarını ayrı ayrı bulun, sonra bunları toplayarak yeni paydanızı oluşturun.

3

Strateji Geliştirme'de 48, Personel biriminde 28 başarılı vardır. Toplam 76 başarılı arasından 48 kişinin oranını arıyoruz.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız olaylar ile koşullu olasılık arasındaki farkı pekiştirmek için iki torbadan top çekme sorularına göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir belediyenin sosyal yardım birimine bir ay içerisinde yapılan başvuruların bölgelere ve yardım türlerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Bölge	Gıda Yardımı	Eğitim Yardımı
Merkez	$40$	$20$
Kırsal	$30$	$10$

Bu başvurular arasından rastgele seçilen bir başvurunun gıda yardımı başvurusu olduğu bilindiğine göre, bu başvurunun merkez bölgesinden yapılmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{5}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

\frac{4}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{7}$

Cevap

Seçilen başvurunun gıda yardımı olduğu bilindiğine göre, örnek uzay 70 kişiden oluşur ve merkez bölgesinden olanların bu gruptaki oranı

\frac{4}{7}

'dir.

Verilen bilgilere göre, seçilen başvurunun 'gıda yardımı' olduğu kesinleşmiştir. Bu durumda toplam başvuru sayısı olan 100 yerine sadece gıda yardımı yapan 70 kişi dikkate alınmalıdır. Bu 70 kişi içerisinden merkez bölgesinden olanların sayısı 40 olduğu için olasılık

40/70 = 4/7

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulun belirlediği yeni örnek uzayını (örneklem uzayını) hesapla.

40 + 30 = 70

(Toplam Gıda Yardımı başvurusu)

Koşullu olasılıkta 'bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanın yapılacağı ana grubu (paydayı) sınırlar.

2

Yeni örnek uzayı içerisindeki istenen durumu belirle.

40

(Merkez bölgesinden yapılan gıda yardımı başvurusu)

İstenen durum hem merkez bölgesinden olma hem de gıda yardımı olma şartını aynı anda sağlamalıdır.

3

İstenen durum sayısını yeni örnek uzay sayısına oranla.

\frac{40}{70} = \frac{4}{7}

Olasılık, istenen durumun örnek uzaya bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü ile hesaplanır. Burada

B

olayı örnek uzayını daraltan koşuldur.

İpuçları

1

'Olduğu bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen durumu tablodan toplayarak yeni örnek uzayını (paydayı) bulun.

2

Gıda yardımı sütunundaki sayıları toplayarak payda değerini belirleyin, ardından bu toplamın içindeki merkez bölgesine ait sayıyı paya yazın.

Daha Fazla Pratik

Eğer başvurunun 'merkez bölgesinden' olduğu bilinseydi, gıda yardımı olma olasılığı kaç olurdu sorusunu çözerek kavramı pekiştirin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Bir KPSS kursundaki $50$ adayın mezuniyet durumlarına göre tercih ettikleri branş dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mezuniyet Durumu	Eğitim Bilimleri	Genel Kültür
Lisans	$10$	$10$
Eğitim Fakültesi	$20$	$10$

Bu gruptan rastgele seçilen bir adayın Eğitim Bilimleri branşını tercih ettiği bilindiğine göre, bu adayın Eğitim Fakültesi mezunu olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{3}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{3}$

Cevap

Eğitim Bilimleri tercih edenler arasından Eğitim Fakültesi mezunu seçilme olasılığı 2/3'tür.

Verilen soruda adayların Eğitim Bilimleri branşını tercih ettiği bilgisi, olasılık hesabındaki örnek uzayımızı sadece bu branşı seçen

30

kişiyle sınırlandırır. Bu

30

kişi arasından Eğitim Fakültesi mezunu olanların sayısı

20

olduğundan, olasılık değeri bu iki sayının birbirine oranı olan

2/3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşulun (yeni örnek uzayının) belirlenmesi

Eğitim Bilimleri tercih eden toplam aday sayısı

= 10 + 20 = 30

Soruda branşın 'Eğitim Bilimleri olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzayımız sadece bu adaylardan oluşur.

2

İstenen durum sayısının belirlenmesi

Eğitim Bilimleri içindeki Eğitim Fakültesi mezunu sayısı

= 20

Koşullu olasılıkta istenen durum, koşulun gerçekleştiği küme ile hedef kümenin kesişimidir.

3

Olasılığın hesaplanması

Olasılık

= \frac{20}{30} = \frac{2}{3}

Olasılık değeri, istenen durum sayısının tüm durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, verilen bilgi (koşul) örnek uzayı daraltır. 'A bilindiğine göre B'nin olasılığı' ifadesi

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

formülüyle veya doğrudan sayıların oranlanmasıyla bulunur.

İpuçları

1

'Bilindiğine göre' ifadesinden sonra gelen branşı tablodan bulun ve sadece o sütuna odaklanın.

2

Eğitim Bilimleri branşını seçenlerin toplam sayısını (

10+20

) hesaplayarak yeni toplam aday sayınız (payda) olarak belirleyin.

3

Şimdi sadece Eğitim Bilimleri sütunundaki Eğitim Fakültesi mezunu sayısını, bu sütunun toplamına oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tablo üzerinde 'Lisans mezunu olduğu bilindiğine göre Genel Kültür tercih etme olasılığı' sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek 'Eğitim Bilimleri' kümesinin içindeki 'Eğitim Fakültesi' kesişimini görebilir ve oranlamayı bu şekilde görselleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumu bünyesindeki tüm birimler, personel sayılarına göre A, B ve C olmak üzere üç farklı kategoriye ayrılmıştır. Kurumdaki birimlerin dağılımı ve bu birimlerin yıllık denetimlerden başarıyla geçme oranları aşağıdaki gibidir:

* A kategorisi: Tüm birimlerin %40'ını oluşturur ve denetimden geçme oranı %80'dir.
* B kategorisi: Tüm birimlerin %35'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %60'tır.
* C kategorisi: Tüm birimlerin %25'ini oluşturur ve denetimden geçme oranı %40'tır.

Yapılan denetimler sonucunda bir birimin denetimden geçemediği (başarısız olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, bu birimin C kategorisinde olma olasılığı kaçtır?

\frac{8}{37}

\frac{14}{37}

\frac{15}{37}

\frac{3}{20}

\frac{37}{100}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{15}{37}$

Cevap

Seçilen birimin C kategorisinde olma olasılığı

\frac{15}{37}

'dir.

Soruda bir ön koşul (birimin denetimden geçemediği) verildiği için bu bir koşullu olasılık problemidir. Öncelikle tüm birimler içinde denetimden geçemeyenlerin toplam oranı bulunur: A'dan gelen başarısızlar (

0,40 \times 0,20 = 0,08

), B'den gelen başarısızlar (

0,35 \times 0,40 = 0,14

) ve C'den gelen başarısızlar (

0,25 \times 0,60 = 0,15

). Toplam başarısızlık olasılığı

0,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37

'dir. İstenen durum, bu başarısızlığın C grubundan kaynaklanmasıdır (

0,15

). Sonuç, istenen durumun toplam duruma oranıdır:

\frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}

.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen yüzdeleri ondalık sayıya veya kesre çevirerek olayları tanımla.

Olasılıklar:

P(A)=0,40

,

P(B)=0,35

,

P(C)=0,25

. Başarı oranları verildiği için 'Başarısızlık' (Geçememe) oranlarını bul:

P(K'|A) = 1 - 0,80 = 0,20

;

P(K'|B) = 1 - 0,60 = 0,40

;

P(K'|C) = 1 - 0,40 = 0,60

.

Soruda 'denetimden geçemediği' bilindiğine göre, ilgilenilen olay başarısızlık durumudur.

2

Her bir kategori için 'kategoriye ait olma VE başarısız olma' olasılıklarını (kesişim) hesapla.

A ve Başarısız:

0,40 \times 0,20 = 0,08

B ve Başarısız:

0,35 \times 0,40 = 0,14

C ve Başarısız:

0,25 \times 0,60 = 0,15

Bayes teoreminin pay ve paydasını oluşturmak için her yolun olasılığına ihtiyaç vardır.

3

Toplam başarısızlık olasılığını (Örnek Uzay) bulmak için hesaplanan değerleri topla.

Toplam Başarısızlık =

0,08 + 0,14 + 0,15 = 0,37

Koşullu olasılıkta payda, koşulun gerçekleşme olasılığıdır (burada denetimden geçememe durumu).

4

İstenen durumu (C kategorisi ve başarısız) toplam duruma bölerek koşullu olasılığı hesapla.

\frac{P(C \cap K')}{P(K')} = \frac{0,15}{0,37} = \frac{15}{37}

Koşullu olasılık formülü:

P(C | K') = \frac{P(C \cap K')}{P(K')}

.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

İpuçları

1

Soruda 'denetimden geçemediği bilindiğine göre' ifadesi, hesaplamanızda örnek uzayı (paydayı) tüm birimler yerine sadece başarısız birimlerle sınırlamanız gerektiğini gösterir.

2

Önce her kategori (A, B, C) için 'o kategoride olma VE başarısız olma' olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayın. Başarısızlık oranlarını bulmak için başarı oranlarını 1'den çıkarmayı unutmayın (Örn: A için %100 - %80 = %20).

3

Payda = (A'nın başarısızlık payı) + (B'nin başarısızlık payı) + (C'nin başarısızlık payı). Pay = Sadece C'nin başarısızlık payı. Oran = Pay / Payda.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'başarılı olduğu bilinen bir birimin A kategorisinden olma olasılığı'nı hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Bir kamu kurumunun teftiş kurulunda görev yapan 4 müfettiş, 5 uzman ve 3 daire başkanı arasından, bir çalışma grubu için rastgele iki personel seçilmiştir. Seçilen personellerin aynı unvana sahip oldukları bilindiğine göre, her ikisinin de uzman olma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{33}

\frac{19}{66}

\frac{10}{19}

\frac{5}{12}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{10}{19}$

Cevap

Her ikisinin de uzman olma olasılığı

\frac{10}{19}

'dur.

Soruda verilen 'seçilen personellerin aynı unvana sahip oldukları bilindiğine göre' ifadesi bir koşullu olasılık belirtir. Bu durumda tüm olası 2'li seçimler (C(12,2)=66) yerine, sadece aynı unvanlı seçimler örnek uzay kabul edilir. Müfettiş çiftleri (6), Uzman çiftleri (10) ve Daire Başkanı çiftleri (3) toplandığında payda 19 olur. İstenen durum olan Uzman çiftleri (10) paya yazılır. Sonuç 10/19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam personel sayısı ve grupların belirlenmesi.

4 Müfettiş, 5 Uzman, 3 Daire Başkanı. Toplam: 12 kişi.

Kombinasyon hesapları için grup mevcutlarının netleştirilmesi gerekir.

2

Koşulun belirlediği indirgenmiş örnek uzayın (E) hesaplanması.

Aynı unvanlı çiftler:

C(4,2) + C(5,2) + C(3,2) = 6 + 10 + 3 = 19

.

Soruda 'seçilen personellerin aynı unvana sahip olduğu bilindiğine göre' ifadesi, örnek uzayın sadece bu durumlardan oluştuğunu belirtir.

3

İstenen durumun (A) belirlenmesi.

İkisinin de uzman olduğu durumlar:

C(5,2) = 10

.

Koşulu sağlayan durumlar içinde hedeflenen (uzman olma) durum sayısını bulmak gerekir.

4

Olasılık hesabının yapılması.

P(A|E) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{10}{19}

.

Koşullu olasılık formülü gereği istenen durum sayısı, koşulun sağlandığı toplam durum sayısına oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır.

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

formülü kullanılır.

İpuçları

1

Önce tüm olası durumları değil, sadece 'aynı unvana sahip olma' durumlarının sayısını hesaplayarak yeni örnek uzayınızı belirleyin.

2

Aynı unvana sahip olma durumları: İkisinin de Müfettiş, ikisinin de Uzman veya ikisinin de Daire Başkanı olmasıdır. Bu kombinasyonların toplamı paydada yer almalıdır.

3

Payda = C(4,2) + C(5,2) + C(3,2). Pay = C(5,2). Bu oran size cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'çekilen toplar geri atılmaksızın' veya 'farklı renklerde olma koşuluyla' kurgusuyla çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen Görevde Yükselme Sınavı'na A, B ve C birimlerinden personel katılmıştır. Sınav süreci, önce yazılı sınav ve ardından sadece yazılı sınavda başarılı olanlar için sözlü mülakat olmak üzere iki aşamadan oluşmaktadır.

Personelin birimlere göre dağılımı ve aşamalardaki başarı oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim	Katılım Oranı	Yazılı Sınav Başarı Oranı	Mülakat Başarı Oranı*
A	%30	%60	%50
B	%30	%40	%50
C	%40	%50	%40

* *Not: Mülakat başarı oranı, yalnızca yazılı sınavı geçen personel üzerinden hesaplanmıştır.*

Buna göre, sınav sürecinin herhangi bir aşamasında elendiği (başarısız olduğu) bilinen rastgele seçilmiş bir personelin, A biriminden olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{11}

\frac{24}{77}

\frac{32}{77}

\frac{21}{100}

\frac{7}{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{11}$

Cevap

Sınavda elenen birinin A biriminden olma olasılığı

\frac{3}{11}

'dir.

Soruda, halihazırda elendiği bilinen bir kişinin A biriminden olma olasılığı sorulmaktadır. Bu bir koşullu olasılık problemidir (Bayes). Öncelikle her birim için 'toplam elenme' oranlarını bulmalıyız. Bir personel ya yazılı sınavda elenir ya da yazılıyı geçip mülakatta elenir. A birimi için bu oran %70, B için %80 ve C için %80 olarak hesaplanır. Ağırlıklı genel elenme oranı (payda) %77 bulunur. A biriminin bu elenme içindeki payı %21'dir. Sonuç

\frac{21}{77}

yani

\frac{3}{11}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Her birim için 'Elenme' (Başarısız Olma) olasılıklarını hesapla.

Elenme = (Yazılıdan Kalma) VEYA (Yazılıyı Geçip Mülakattan Kalma)

Bir personel iki farklı aşamada elenebilir, bu iki durum ayrık olaylardır.

2

A birimi için elenme olasılığını (

P(E|A)

) bul.

P(E|A) = 0,40 + (0,60 \times 0,50) = 0,40 + 0,30 = 0,70

A'nın yazılıdan kalma oranı %40, yazılıyı geçip (%60) mülakattan kalma oranı %50'dir.

3

B birimi için elenme olasılığını (

P(E|B)

) bul.

P(E|B) = 0,60 + (0,40 \times 0,50) = 0,60 + 0,20 = 0,80

B'nin yazılıdan kalma oranı %60, yazılıyı geçip (%40) mülakattan kalma oranı %50'dir.

4

C birimi için elenme olasılığını (

P(E|C)

) bul.

P(E|C) = 0,50 + (0,50 \times 0,60) = 0,50 + 0,30 = 0,80

C'nin yazılıdan kalma oranı %50, yazılıyı geçip (%50) mülakattan kalma oranı %60'tır.

5

Toplam elenme olasılığını (

P(E)

) hesapla (Bayes Paydası).

P(E) = (0,30 \times 0,70) + (0,30 \times 0,80) + (0,40 \times 0,80) = 0,21 + 0,24 + 0.32 = 0,77

Her birimin katılım oranı ile o birimin elenme olasılığı çarpılıp toplanır.

6

Koşullu olasılığı (

P(A|E)

) hesapla.

\frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{0,21}{0,77} = \frac{21}{77} = \frac{3}{11}

İstenen durum (A'dan katılıp elenenler) toplam duruma (tüm elenenler) oranlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Ağaç Diyagramı Yöntemi

İpuçları

1

Öncelikle her bir birim (A, B, C) için personelin sınavı 'geçememe' (elenme) olasılığını ayrı ayrı hesaplayın. Unutmayın, elenmek için iki yol vardır: Yazılıdan kalmak VEYA Yazılıyı geçip mülakattan kalmak.

2

A birimi için elenme olasılığı: (Yazılıdan Kalma %40) + (Yazılıyı Geçme %60 × Mülakattan Kalma %50) şeklinde hesaplanır. Bunu B ve C için de yapın.

3

Bayes formülünü uygulayın: Pay kısmına 'A biriminden olup elenenlerin oranı' (

0,30 \times 0,70

), payda kısmına ise 'Tüm elenenlerin oranı' gelmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'sınavı kazandığı bilinen birinin B biriminden olma olasılığı' şeklinde çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı çizerek 1000 kişilik hayali bir örneklem grubu üzerinden gidebilirsiniz. A(300 kişi) -> Yazılıyı geçen(180), Kalan(120). Geçenlerden Mülakatı geçen(90), Kalan(90). A'dan toplam elenen = 120+90=210. Tüm birimler için bunu yapıp oranlayın.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 20Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemleri A, B ve C olmak üzere üç farklı birim tarafından yürütülmektedir. Kuruma gelen tüm evrakların %30'u A biriminde, %45'i B biriminde ve kalanı C biriminde işleme alınmaktadır. Yapılan denetimlerde; A birimindeki evrakların %5'inin, B birimindeki evrakların %4'ünün ve C birimindeki evrakların %8'inin usul yönünden hatalı olduğu belirlenmiştir.

Kurum arşivinden rastgele seçilen bir evrağın usul yönünden hatalı olduğu bilindiğine göre, bu evrağın C biriminde düzenlenmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{15}{53}

\frac{18}{53}

\frac{20}{53}

\frac{8}{17}

\frac{2}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{20}{53}$

Cevap

Seçilen hatalı evrağın C biriminden gelme olasılığı

\frac{20}{53}

'tür.

Soruda 'hatalı olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzayımız tüm evraklar değil, sadece hatalı evraklardır. C biriminden gelen hatalı evrakların, toplam hatalı evraklara oranı hesaplanmalıdır. Toplam hatalı olasılığı

0,053

, C'den gelen hatalı olasılığı

0,020

olduğundan sonuç

\frac{20}{53}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkları tanımla

P(A)=0,30; P(B)=0,45; P(C)=0,25 (Toplam %100). Hata oranları: P(H|A)=0,05; P(H|B)=0,04; P(H|C)=0,08.

Verilen yüzdeleri işlem yapılabilir ondalık veya kesirli olasılık değerlerine çevirmek gerekir.

2

Her birimden gelen hatalı evrak olasılığını (kesişim) hesapla

A ve Hatalı:

0,30 \times 0,05 = 0,015

. B ve Hatalı:

0,45 \times 0,04 = 0,018

. C ve Hatalı:

0,25 \times 0,08 = 0,020

.

Bir evrağın hem ilgili birimden gelip hem de hatalı olma olasılığı çarpma kuralı ile bulunur.

3

Toplam hatalı evrak olasılığını (örnek uzayı) hesapla

P(H) =

0,015 + 0,018 + 0,020 = 0,053

.

Koşullu olasılığın paydası, koşulun gerçekleşme durumlarının toplamıdır (Toplam Olasılık Teoremi).

4

Koşullu olasılığı hesapla P(C|H)

P(C|H) = \frac{P(C \cap H)}{P(H)} = \frac{0,020}{0,053} = \frac{20}{53}

.

İstenen durum (C'den gelen hatalı) toplam duruma (tüm hatalılar) oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Toplam Olasılık Teoremi (Bayes Teoremi Mantığı)

Koşullu Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik