E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri veriliyor. K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]' \neşitliği tanımlanıyor. Buna göre, K kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri veriliyor. K = \left[ (A \setminus … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ evrensel kümesinin boştan farklı $A$ ve $B$ alt kümeleri veriliyor.

K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]'

eşitliği tanımlanıyor. Buna göre,

K

kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

$A \cup B'$ Cevap
B
$B \setminus A$
C
$A' \cup B$
D
$A \cap B'
E
$E$

Cevap

İfadenin en sade hali

A \cup B'

kümesidir.

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; önce fark işlemleri kesişim ve tümlemeye çevrilir, ardından De Morgan kuralları uygulanır. İç kısımdaki işlem

(B \setminus A)

sonucunu verir. En dıştaki tümleme işareti ile bu sonuç

(B \setminus A)'

olur, bu da

A \cup B'

ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

Parantez içindeki ilk ifadeyi (

A \setminus B

) düzenle.

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

(De Morgan kuralı uygulanır).

Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

Parantez içindeki ikinci ifadeyi (

(A' \cap B)'

) düzenle.

(A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

(De Morgan kuralı uygulanır).

Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.

Köşeli parantez içindeki fark işlemini uygula:

(A' \cup B) \setminus (A \cup B')

(A' \cup B) \cap (A \cup B')' = (A' \cup B) \cap (A' \cap B)

X \setminus Y = X \cap Y'

kuralı uygulanır. İkinci ifadenin tümleyeni alındığında

(A \cup B')' = A' \cap B

elde edilir.

Elde edilen kesişim işlemini sadeleştir.

(A' \cup B) \cap (A' \cap B) = A' \cap B

A' \cap B

kümesi,

A' \cup B

kümesinin bir alt kümesidir (

X \subset Y \Rightarrow X \cap Y = X

). Sonuç

B \setminus A

kümesidir.

En dıştaki tümleme işlemini uygula.

K = (A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

Sonuç,

B \setminus A

kümesinin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Fark İşlemi Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru