Examkin

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

35 soru

Soru 1Soru →

Rakamlar kümesi EE evrensel kümesi olarak kabul edilmektedir. Bu evrensel kümenin alt kümelerinden AA kümesi çift rakamları, BB kümesi ise asal rakamları içermektedir. Aşağıdaki Venn şemasında E,AE, A ve BB kümeleri arasındaki ilişki verilmiş ve (A∪B)′(A \cup B)' bölgesi boyanarak gösterilmiştir. Buna göre, boyalı bölgenin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Boyalı bölgeye karşılık gelen eleman sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 değeri, EE evrensel kümesindeki rakamlardan (0-9) hem çift olmayan (A dışı) hem de asal olmayan (B dışı) elemanların sayısını temsil eder. Bu elemanlar 1 ve 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Evrensel kümeyi ve alt kümeleri liste yöntemiyle belirle.
E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
A={0,2,4,6,8}A = \{0, 2, 4, 6, 8\} (Çift rakamlar)
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} (Asal rakamlar)
Soruda verilen sözel tanımları küme elemanlarına dönüştürmek işlem yapmayı kolaylaştırır.
2
A∪BA \cup B (A birleşim B) kümesini hesapla.
A∪B={0,2,3,4,5,6,7,8}A \cup B = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
Tümleme işlemini yapabilmek için önce birleşim kümesindeki elemanları belirlememiz gerekir.
3
(A∪B)′(A \cup B)' (A birleşim B'nin tümleyeni) kümesini bul.
(A∪B)′=E∖(A∪B)={1,9}(A \cup B)' = E \setminus (A \cup B) = \{1, 9\}
Bir kümenin tümleyeni, evrensel kümede olup o kümede olmayan elemanlardan oluşur.
4
Kümenin eleman sayısını belirle.
s((A∪B)′)=2s((A \cup B)') = 2
Elde edilen {1,9}\{1, 9\} kümesi 2 tane eleman içermektedir.

Anahtar Kavram

Birleşim Kümesinin Tümleyeni

İpuçları

1
Önce rakamlar kümesini (0,1,2,...,90, 1, 2, ..., 9) ve soruda tanımlanan AA ile BB kümelerinin elemanlarını listeleyin.
2
Şemada boyalı olan bölge, AA veya BB kümelerinin hiçbirine ait olmayan elemanları göstermektedir. Yani A∪BA \cup B kümesinin dışındaki bölgedir.
3
Çift rakamları (0,2,4,6,80, 2, 4, 6, 8) ve asal rakamları (2,3,5,72, 3, 5, 7) birleştirin. Bu birleşimde olmayan rakamları sayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru türü olarak A∖BA \setminus B veya B′∩AB' \cap A gibi bölgelerin eleman sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerine elemanları tek tek yerleştirerek de çözebilirsiniz. Kesişim bölgesine 2'yi, AA fark BB bölgesine {0,4,6,8}\{0, 4, 6, 8\} elemanlarını, BB fark AA bölgesine {3,5,7}\{3, 5, 7\} elemanlarını yerleştirdiğinizde dışarıda kalanları kolayca görebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

EE evrensel kümesinin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- s(E)=45s(E) = 45
- s(A′∩B′)=10s(A' \cap B') = 10
- s(A∖B)=s(A)−6s(A \setminus B) = s(A) - 6
- s(B∖A)=s(A∖B)+5s(B \setminus A) = s(A \setminus B) + 5

Buna göre, s(A′∪B′)s(A' \cup B') ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

İstenen ifade olan s(A' ∪ B') değeri 39'dur.
Verilen bilgilerden hareketle önce kesişim kümesinin eleman sayısı (6), ardından birleşim kümesinin eleman sayısı (35) tespit edilmiştir. İstenen ifade olan s(A′∪B′)s(A' \cup B') ifadesi De Morgan kuralına göre s((A∩B)′)s((A \cap B)') değerine eşittir. Bu değer evrensel kümeden kesişimin çıkarılmasıyla (45 - 6 = 39) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan kurallarını uygulayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulma
s(A′∩B′)=s((A∪B)′)=10s(A' \cap B') = s((A \cup B)') = 10 olduğundan, s(A∪B)=s(E)−10=45−10=35s(A \cup B) = s(E) - 10 = 45 - 10 = 35 bulunur.
De Morgan kuralına göre A′∩B′=(A∪B)′A' \cap B' = (A \cup B)' eşitliği geçerlidir.
2
Küme farkı formülünü kullanarak kesişim kümesinin eleman sayısını belirleme
s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) olduğu bilinmektedir. Verilen s(A∖B)=s(A)−6s(A \setminus B) = s(A) - 6 eşitliğinden s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6 olduğu sonucuna varılır.
Fark kümesinin eleman sayısı, kümenin kendi eleman sayısından kesişimdeki eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
3
Birleşim formülü ile fark kümelerinin eleman sayılarını hesaplama
s(A∪B)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) formülünde değerleri yerine koyarsak: 35=s(A∖B)+6+(s(A∖B)+5)⇒35=2⋅s(A∖B)+11⇒24=2⋅s(A∖B)⇒s(A∖B)=1235 = s(A \setminus B) + 6 + (s(A \setminus B) + 5) \Rightarrow 35 = 2 \cdot s(A \setminus B) + 11 \Rightarrow 24 = 2 \cdot s(A \setminus B) \Rightarrow s(A \setminus B) = 12 bulunur. Buradan s(B∖A)=12+5=17s(B \setminus A) = 12 + 5 = 17 olur.
Birleşim kümesi, ayrık üç bölgenin (A fark B, kesişim ve B fark A) toplamından oluşur.
4
İstenen tümleme işlemini De Morgan kuralı ile hesaplama
s(A′∪B′)=s((A∩B)′)=s(E)−s(A∩B)=45−6=39s(A' \cup B') = s((A \cap B)') = s(E) - s(A \cap B) = 45 - 6 = 39 olarak hesaplanır.
De Morgan kuralına göre A′∪B′=(A∩B)′A' \cup B' = (A \cap B)' eşitliği geçerlidir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Küme İşlemleri Arasındaki İlişkiler
Soru 3Soru →

EE evrensel kümesinde tanımlı AA ve BB kümeleri için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

2⋅s(A∖B)=3⋅s(A∩B)=6⋅s(B∖A) 2 \cdot s(A \setminus B) = 3 \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot s(B \setminus A)

Ayrıca s(A′)+s(B′)=52s(A') + s(B') = 52 ve s(E)=42s(E) = 42 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

A fark B kümesinin eleman sayısı 12'dir.
Verilen orantılardan kümelerin eleman sayıları sırasıyla 3k3k, 2k2k ve kk olarak bulunur. Tümleyen formülleri s(A′)=s(E)−s(A)s(A') = s(E) - s(A) kullanılarak kurulan denklemden orantı sabiti k=4k=4 elde edilir. İstenen s(A∖B)s(A \setminus B) değeri 3k3k olduğundan cevap 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen orantı eşitliğini tek bir değişken (k) cinsinden ifade et.
OKEK(2,3,6)=6 oldug˘undan; \text{OKEK}(2, 3, 6) = 6 \text{ olduğundan;}
2⋅s(A∖B)=6k  ⟹  s(A∖B)=3k 2 \cdot s(A \setminus B) = 6k \implies s(A \setminus B) = 3k
3⋅s(A∩B)=6k  ⟹  s(A∩B)=2k 3 \cdot s(A \cap B) = 6k \implies s(A \cap B) = 2k
6⋅s(B∖A)=6k  ⟹  s(B∖A)=k 6 \cdot s(B \setminus A) = 6k \implies s(B \setminus A) = k
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve kümeler arasındaki sayısal ilişkiyi kurmak için gereklidir.
2
Kümelerin eleman sayılarını k cinsinden hesapla.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3k+2k=5k s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k
s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=k+2k=3k s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = k + 2k = 3k
Tümleyenleri hesaplamak için A ve B kümelerinin toplam eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
3
Tümleyen kümelerinin eleman sayılarını Evrensel Küme (E) formülüyle yaz.
s(A′)=s(E)−s(A)=42−5k s(A') = s(E) - s(A) = 42 - 5k
s(B′)=s(E)−s(B)=42−3k s(B') = s(E) - s(B) = 42 - 3k
Soruda verilen s(A') + s(B') toplamını kullanabilmek için.
4
Verilen toplam eşitliğinde yerine koyarak k değerini bul.
(42−5k)+(42−3k)=52 (42 - 5k) + (42 - 3k) = 52
84−8k=52 84 - 8k = 52
32=8k  ⟹  k=4 32 = 8k \implies k = 4
Denklemi çözerek temel değişkenin değerini bulmak için.
5
İstenen s(A \setminus B) değerini hesapla.
s(A∖B)=3k=3⋅4=12 s(A \setminus B) = 3k = 3 \cdot 4 = 12
Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Tümleyen ve Fark İşlemi

İpuçları

1
Eşitlikteki katsayıların (2, 3, 6) en küçük ortak katını (OKEK) bularak her bir bölgeye k cinsinden değer verin.
2
s(A′)=s(E)−s(A)s(A') = s(E) - s(A) olduğunu hatırlayın. A kümesinin eleman sayısını k cinsinden ifade edip bu formülde yerine koyun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA, BB ve CC kümeleri arasında A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre,
[(B∖A)′∩(B∪C)]∖C [ (B \setminus A)' \cap (B \cup C) ] \setminus C
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A

Cevap

İfadenin en sade hali AA kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım B′∪AB' \cup A olur. Bu ifadenin (B∪C)(B \cup C) ile kesişimi, AA ve CC kümelerinin birleşimini (A∪CA \cup C) verir. Son olarak bu birleşimden CC kümesi çıkarıldığında geriye sadece AA kümesi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
(B∖A)′(B \setminus A)' ifadesini düzenle.
B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A' olduğu için, (B∩A′)′=B′∪A(B \cap A')' = B' \cup A elde edilir.
De Morgan kuralı ve fark işleminin tanımı uygulanır.
2
Bu ifadeyi (B∪C)(B \cup C) ile kesiştir: (B′∪A)∩(B∪C)(B' \cup A) \cap (B \cup C).
Dağılma özelliği uygulanırsa: (B′∩B)∪(B′∩C)∪(A∩B)∪(A∩C)(B' \cap B) \cup (B' \cap C) \cup (A \cap B) \cup (A \cap C).
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılır.
3
Elde edilen terimleri verilen bağıntılara (A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset) göre sadeleştir.
B′∩B=∅B' \cap B = \emptyset. B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için C⊂B′C \subset B' olur, yani B′∩C=CB' \cap C = C. A⊂BA \subset B olduğu için A∩B=AA \cap B = A. A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için A∩C=∅A \cap C = \emptyset. Sonuç: ∅∪C∪A∪∅=A∪C\emptyset \cup C \cup A \cup \emptyset = A \cup C.
Alt küme ve ayrık küme tanımları kullanılarak terimler basitleştirilir.
4
Son olarak CC kümesini fark işlemiyle çıkar: (A∪C)∖C(A \cup C) \setminus C.
(A∪C)∖C=A∖C(A \cup C) \setminus C = A \setminus C olur. AA ve CC ayrık olduğu için (A∩C=∅A \cap C = \emptyset) sonuç AA kümesidir.
Birleşimden bir bileşenin çıkarılması, diğer bileşenin (eğer ayrıklarsa) kalmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

İpuçları

1
Önce (B∖A)′(B \setminus A)' ifadesini De Morgan kurallarını kullanarak açın ve B′∪AB' \cup A olduğunu görün.
2
B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için CC'nin BB'nin tümleyeninin (B′B') alt kümesi olduğunu hatırlayın (C⊂B′C \subset B').
3
A kümesinin B'nin içinde olduğunu (A⊂BA \subset B) ve C ile ayrık olduğunu kullanarak dağılma işlemini yapın. Sonuçta (A∪C)∖C(A \cup C) \setminus C kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A∖B)′∖(A∩B′)(A \setminus B)' \setminus (A \cap B') ifadesini sadeleştiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek çözmek: AA kümesini BB'nin içine çizin. CC kümesini ise BB'den tamamen ayrı (ayrık) çizin. (B∖A)(B \setminus A) bölgesi BB'nin içinde ama AA'nın dışında kalan halkadır. Bunun tümleyeni (B∖A)′(B \setminus A)', bu halkanın dışındaki her yerdir (yani AA ve tüm BB dışı). Bu alan ile (B∪C)(B \cup C)'yi kesiştirirseniz elinizde AA ve CC kalır. Sonra CC'yi çıkarırsanız geriye sadece AA kalır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Bir kamu kurumundaki 3636 personelin bir kısmı AA projesinde, bir kısmı BB projesinde görev almaktadır. Bu personellerle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her iki projede de görev almayan personel sayısı 1010'dur.
* Yalnızca AA projesinde görev alanların sayısı, yalnızca BB projesinde görev alanların sayısından 22 fazladır.
* Her iki projede de görev alan personel sayısı 66'dır.

Buna göre, AA projesinde görev alan toplam personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

A projesinde görev alan toplam personel sayısı 17'dir.
Kurumdaki toplam personel sayısından hiçbir projede yer almayanlar çıkarıldığında, AA veya BB projesinde yer alan 2626 kişi kalır. Yalnızca BB projesinde yer alanlara xx dersek, yalnızca AA projesinde yer alanlar x+2x+2 olur. Ortak olan 66 kişiyle birlikte bu üç grubun toplamı x+(x+2)+6=26x + (x+2) + 6 = 26 eşitliğini verir. Buradan x=9x=9 bulunur. AA projesinde görev alanlar, yalnızca AA projesinde olanlar (1111 kişi) ve her iki projede olanların (66 kişi) toplamı olan 1717 kişidir.

Adım Adım Çözüm

1
Projelerden en az birinde yer alan personel sayısını (s(A∪B)s(A \cup B)) hesaplayın.
s(A∪B)=36−10=26s(A \cup B) = 36 - 10 = 26
Evrensel kümeden (toplam personel), hiçbir kümede yer almayanlar çıkarıldığında birleşim kümesi elde edilir.
2
Kümeler arasındaki ilişkiyi bir bilinmeyen kullanarak ifade edin.
Yalnızca BB projesinde olanlar xx ise, yalnızca AA projesinde olanlar x+2x + 2 olur. Kesişim kümesi ise 66 olarak verilmiştir.
Soruda verilen fark ve kesişim bilgilerini matematiksel dile dökmek gerekir.
3
Birleşim kümesi formülünü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanarak denklemi çözün.
(x+2)+x+6=26  ⟹  2x+8=26  ⟹  2x=18  ⟹  x=9(x + 2) + x + 6 = 26 \implies 2x + 8 = 26 \implies 2x = 18 \implies x = 9
Birleşim kümesini oluşturan üç ayrık bölgenin toplamı, birleşim eleman sayısına eşittir.
4
AA projesindeki toplam personel sayısını (s(A)s(A)) bulun.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=(9+2)+6=11+6=17s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = (9 + 2) + 6 = 11 + 6 = 17
Bir kümenin toplam eleman sayısı, o kümeye ait fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve birleşim işlemleri arasındaki ilişkiler.

İpuçları

1
Önce AA veya BB projesinde yer alan toplam kişi sayısını bulmak için evrensel kümeden dışarıdaki kişileri çıkarın.
2
Venn şemasındaki her bir bölgeyi (Yalnızca A, Yalnızca B, Kesişim) temsil eden değerleri toplayıp bulduğunuz birleşim sayısına eşitleyin.
3
Bulduğunuz bilinmeyen değerine kesişim kümesindeki 66 kişiyi eklemeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda 'en az biri' ve 'en çok biri' ifadelerine dikkat ederek tümleme işlemini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 6Soru →
EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri için,
K=(A∖B)′∩(B∖A)′ K = (A \setminus B)' \cap (B \setminus A)'
eşitliği tanımlanıyor.

Buna göre, K′K' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (A∪B)∖(A∩B)(A \cup B) \setminus (A \cap B)

Cevap

(A∪B)∖(A∩B)(A \cup B) \setminus (A \cap B)
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde, KK kümesinin 'Kesişim Kümesi' ile 'Evrensel Kümenin Dış Bölgesi'nin birleşimi olduğu görülür. Bu kümenin tümleyeni (K′K'), evrensel kümede geriye kalan parçalardır. Geriye kalan parçalar A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A kümeleridir. Bu iki kümenin birleşimi (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesidir ve bu da (A∪B)∖(A∩B)(A \cup B) \setminus (A \cap B) ifadesine denktir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerde fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden ifade edelim.
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' ve B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A' olduğunu hatırlayalım.
İşlemleri daha kolay sadeleştirmek için standart küme operatörlerine dönüştürmek gerekir.
2
Verilen KK ifadesindeki parantez içlerinin tümleyenlerini alalım (De Morgan Kuralları).
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B ve (B∖A)′=(B∩A′)′=B′∪A(B \setminus A)' = (B \cap A')' = B' \cup A olur.
Parantez dışındaki tümleyen işaretini içeri dağıtarak ifadeyi açıyoruz.
3
KK ifadesini oluşturup dağılma özelliğini kullanalım.
K=(A′∪B)∩(A∪B′)=(A∩B)∪(A′∩B′)K = (A' \cup B) \cap (A \cup B') = (A \cap B) \cup (A' \cap B')
Bu ifade, 'ya her ikisinde olanlar (A∩BA \cap B)' ya da 'hiçbirinde olmayanlar (A′∩B′A' \cap B')' kümesini belirtir.
4
KK kümesinin tümleyenini (K′K') bulalım.
K′=[(A∩B)∪(A∪B)′]′K' = [(A \cap B) \cup (A \cup B)']'. De Morgan ile: (A∩B)′∩(A∪B)=(A∪B)∖(A∩B)(A \cap B)' \cap (A \cup B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
K kümesi 'kesişim' ve 'dış bölge'nin birleşimidir. Tümleyeni ise geriye kalan 'sadece A' ve 'sadece B' bölgeleridir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Küme İşlemleri

İpuçları

1
Önce A∖BA \setminus B ifadesini A∩B′A \cap B' şeklinde yazarak parantez içlerini düzenleyin.
2
De Morgan kuralını kullanarak tümleyenleri parantez içine dağıtın: (A∩B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup B.
3
Bulduğunuz KK kümesi, Venn şemasında 'ortadaki kesişim' ve 'en dıştaki boşluk'tur. Bunun tümleyeni ise geriye kalan iki 'hilal' şeklindeki parçadır.

Daha Fazla Pratik

Sadece Venn şeması verilip taralı alanın sorulduğu görsel soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: A={1,2}A=\{1,2\}, B={2,3}B=\{2,3\}, E={1,2,3,4}E=\{1,2,3,4\} seçerek elemanlar üzerinden işlem yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

EE evrensel kümesinin iki alt kümesi AA ve BB olmak üzere,

s(E)=42s(E) = 42
s(A′∩B′)=6s(A' \cap B') = 6
3⋅s(A−B)=4⋅s(B−A)=6⋅s(A∩B)3 \cdot s(A - B) = 4 \cdot s(B - A) = 6 \cdot s(A \cap B)

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, BB kümesinin tümleyeni olan B′B' kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

B kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 22'dir.
De Morgan kuralı gereği s((A∪B)′)=6s((A \cup B)') = 6'dır. Evrensel küme 42 elemanlı olduğundan A∪BA \cup B kümesi 36 elemanlıdır. Verilen orantıya göre bölgeler 4k4k, 3k3k ve 2k2k olarak belirlenir; toplamları 9k=369k=36 ise k=4k=4 bulunur. BB kümesi 3k+2k=5k=203k+2k=5k=20 elemanlıdır. B′B' (B'nin tümleyeni) ise 42−20=2242 - 20 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan kuralını uygula ve birleşim kümesinin dışındaki eleman sayısını belirle.
A′∩B′A' \cap B' ifadesi (A∪B)′(A \cup B)' demektir. Verilen bilgiye göre s((A∪B)′)=6s((A \cup B)') = 6 olur.
Tümleyenlerin kesişimi, birleşimin tümleyenine eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A∪B)=s(E)−s((A∪B)′)=42−6=36s(A \cup B) = s(E) - s((A \cup B)') = 42 - 6 = 36 bulunur.
Evrensel küme, kümenin kendisi ile tümleyeninin toplamına eşittir.
3
Orantı katsayılarını kullanarak bölgelerin eleman sayılarını kk cinsinden yaz.
3, 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı (OKEK) 12'dir. Eşitliği 12k12k kabul edersek: s(A−B)=4ks(A - B) = 4k, s(B−A)=3ks(B - A) = 3k ve s(A∩B)=2ks(A \cap B) = 2k olur.
Bilinmeyen sayısını azaltmak için orantı sabiti kullanılır.
4
kk değerini bul ve s(B)s(B)'yi hesapla.
s(A∪B)=4k+3k+2k=9ks(A \cup B) = 4k + 3k + 2k = 9k dir. 9k=369k = 36 olduğundan k=4k=4 bulunur. Buradan s(B)=s(B−A)+s(A∩B)=3k+2k=5k=20s(B) = s(B-A) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k = 20 olur.
B kümesi, B fark A ile kesişim kümesinin birleşimidir.
5
B′B' kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B′)=s(E)−s(B)=42−20=22s(B') = s(E) - s(B) = 42 - 20 = 22 sonucuna ulaşılır.
İstenen cevap B kümesinin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Tümleme

İpuçları

1
s(A′∩B′)s(A' \cap B') ifadesi, A ve B kümelerinin birleşiminin dışında kalan bölgeyi ifade eder (De Morgan Kuralı).
2
Verilen eşitlikteki 3, 4 ve 6 sayılarının ortak katını alarak her bölgeye kk cinsinden değer verin. s(A∪B)s(A \cup B) bu bölgelerin toplamıdır.

Alternatif Yöntem

Tümleyen özelliklerinden gidilerek: s(B′)=s(A−B)+s((A∪B)′)=16+6=22s(B') = s(A-B) + s((A \cup B)') = 16 + 6 = 22 şeklinde de hesaplanabilir (Sadece A'da olanlar ve hiçbi rinde olmayanların toplamı B'nin dışındakileri verir).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor. Buna göre,

[(A∖B)′∖B′]∪(A∖B) \left[ (A \setminus B)' \setminus B' \right] \cup (A \setminus B)

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A \cup B

Cevap

A \cup B
İfade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım [(A∖B)′∖B′][(A \setminus B)' \setminus B'] işlemi BB kümesine eşit çıkar. İkinci kısım ise (A∖B)(A \setminus B)'dir. BB kümesi ile (A∖B)(A \setminus B) kümesinin birleşimi, mantıksal olarak A ve B kümelerinin tamamını (A∪BA \cup B) kapsar.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantez içindeki fark işlemini kesişim cinsinden yaz.
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olduğundan ifade (A∩B′)′(A \cap B')' olur.
Kümelerde fark işlemi, ikinci kümenin tümleyeni ile kesişime eşittir.
2
De Morgan kuralını uygula.
(A∩B′)′=A′∪(B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B
Tümleme işlemi parantez içine dağıtılırken kesişim birleşime dönüşür.
3
Köşeli parantez içindeki ikinci fark işlemini uygula.
Expr =(A′∪B)∖B′=(A′∪B)∩(B′)′=(A′∪B)∩B= (A' \cup B) \setminus B' = (A' \cup B) \cap (B')' = (A' \cup B) \cap B
Fark işlemi tekrar kesişim ve tümleyen cinsinden yazılır.
4
Dağılma veya soğurma (absorption) özelliğini kullan.
(A′∪B)∩B=B(A' \cup B) \cap B = B
BB kümesi, A′∪BA' \cup B kümesinin bir alt kümesi olduğu için kesişim BB olur.
5
Bulunan sonucu ifadenin geri kalanıyla birleştir.
B∪(A∖B)B \cup (A \setminus B)
İlk kısım BB olarak bulundu.
6
Son ifadeyi sadeleştir.
B∪(A∖B)=B∪(A∩B′)=(B∪A)∩(B∪B′)=(B∪A)∩E=A∪BB \cup (A \setminus B) = B \cup (A \cap B') = (B \cup A) \cap (B \cup B') = (B \cup A) \cap E = A \cup B
B kümesi ile 'A'nın B'de olmayan kısmı'nın birleşimi, A ve B'nin tamamını kapsar.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (A∖BA \setminus B) ile kesişim (A∩B′A \cap B') arasındaki ilişki ve De Morgan kuralları.

İpuçları

1
Fark işlemini kesişim cinsinden yazmayı deneyin: X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y'.
2
De Morgan kuralını hatırlayın: (X∩Y)′=X′∪Y′(X \cap Y)' = X' \cup Y'. İlk parantezi bu kurala göre açın.
3
BB kümesi ile A∖BA \setminus B (A'nın B'de olmayan kısmı) birleştirilirse ne elde edilir? Bir Venn şeması çizerek bu alanları boyamayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Buna benzer olarak, (A∪B)∩(A∪B′)(A \cup B) \cap (A \cup B') ifadesinin sadeleştirildiği soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

AA ve BB kümeleri, 4040 elemanlı bir EE evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelere ilişkin aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=30s(A \cup B) = 30
* s(A∩B)=s((A∪B)′)s(A \cap B) = s((A \cup B)')
* s(A∖B)=3⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A)

Buna göre, AA kümesinin tümleyeni olan s(A′)s(A') değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

A kümesinin tümleyeni olan A′A' kümesinin eleman sayısı 15'tir.
Evrensel kümenin eleman sayısından birleşim kümesi çıkarıldığında dış bölgenin (10) eleman sayısı bulunur. Kesişim de buna eşit olduğundan 10'dur. Birleşim formülü (30=3k+k+1030 = 3k + k + 10) kullanıldığında k=5k=5 bulunur ki bu s(B∖A)s(B \setminus A) değeridir. AA kümesinin tümleyeni, AA dışındaki alanların toplamı olan s(B∖A)+s((A∪B)′)=5+10=15s(B \setminus A) + s((A \cup B)') = 5 + 10 = 15 işleminden elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşimin dışındaki bölgeyi (A∪BA \cup B)' hesaplayın.
s((A∪B)′)=s(E)−s(A∪B)=40−30=10s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 40 - 30 = 10
Evrensel kümedeki elemanlar ya birleşimdedir ya da birleşimin dışındadır.
2
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyin.
s(A∩B)=s((A∪B)′)=10s(A \cap B) = s((A \cup B)') = 10
Soruda kesişim kümesinin eleman sayısının, birleşimin dışındaki bölgeye eşit olduğu verilmiştir.
3
Fark kümelerinin eleman sayılarını oranlayarak bulun.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) denkleminden 30=3k+k+10⇒4k=20⇒k=530 = 3k + k + 10 \Rightarrow 4k = 20 \Rightarrow k = 5 bulunur. Buradan s(B∖A)=5s(B \setminus A) = 5 ve s(A∖B)=15s(A \setminus B) = 15 olur.
Birleşim kümesi; iki fark kümesi ve kesişim kümesinin ayrık toplamına eşittir.
4
s(A′)s(A') değerini hesaplayın.
s(A′)=s(B∖A)+s((A∪B)′)=5+10=15s(A') = s(B \setminus A) + s((A \cup B)') = 5 + 10 = 15
A kümesinin tümleyeni, evrensel kümede olup A'nın içinde olmayan tüm bölgelerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Tümleme ve Fark İşlemleri

İpuçları

1
Öncelikle evrensel kümenin eleman sayısını kullanarak A∪BA \cup B kümesinin dışında kaç eleman olduğunu bulun.
2
s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulduktan sonra birleşim kümesinin eleman sayısını veren formülü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda Venn şeması çizerek her bölgeye birer değişken atamak çözümü kolaylaştırabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

AA ve BB, EE evrensel kümesinin alt kümeleridir.

K=(A∪B)∖(A∩B) K = (A \cup B) \setminus (A \cap B)

eşitliği ile KK kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, K∖AK \setminus A ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B \setminus A

Cevap

İstenen ifade, BB kümesinde olup AA kümesinde olmayan elemanlar kümesine, yani B∖AB \setminus A'ya eşittir.
Verilen KK kümesi, AA ve BB kümelerinin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla elde edilmiştir; bu da 'Sadece A'da olanlar' ile 'Sadece B'de olanlar'ın toplamıdır ((A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A)). Bu kümeden AA kümesini çıkardığımızda, 'Sadece A'da olanlar' kısmı silinir. Geriye yalnızca 'Sadece B'de olanlar', yani B∖AB \setminus A kalır.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesini, fark ve birleşim işlemleri cinsinden daha açık bir şekilde ifade edelim.
K=(A∪B)∖(A∩B)K = (A \cup B) \setminus (A \cap B) ifadesi, AA ve BB kümelerinin simetrik farkını belirtir. Bu, (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesine eşittir.
Birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılması, sadece AA'da olanlar ile sadece BB'de olanların birleşimini verir.
2
Elde edilen KK ifadesinden AA kümesini çıkarma işlemini (K∖AK \setminus A) uygulayalım.
[(A∖B)∪(B∖A)]∖A[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)] \setminus A
Soruda istenen işlem KK kümesinden AA kümesinin elemanlarının atılmasıdır.
3
Kümelerin birleşimi üzerinden fark işlemini dağıtarak veya bölge mantığıyla sonucu bulalım.
(A∖B)(A \setminus B) kümesi tamamen AA'nın içindedir, bu yüzden AA çıkarılınca bu kısım yok olur (∅\emptyset). (B∖A)(B \setminus A) kümesi ise AA'dan tamamen ayrıdır, bu yüzden AA çıkarılınca etkilenmez. Sonuç: ∅∪(B∖A)=B∖A\emptyset \cup (B \setminus A) = B \setminus A.
Bir kümeden kendisini kapsayan veya ortak elemanı olmayan kümelerin çıkarılması mantığına dayanır.

Anahtar Kavram

Simetrik Fark ve Fark İşlemi Özellikleri

İpuçları

1
(A∪B)∖(A∩B)(A \cup B) \setminus (A \cap B) ifadesini Venn şeması üzerinde düşünün: İki kümenin birleşiminden ortadaki kesişim bölgesini atarsanız geriye hangi bölgeler kalır?
2
Bu ifade (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesine eşittir. Yani sadece A'da veya sadece B'de olan elemanlardır.
3
Elinizdeki bu kümeden, AA kümesinin içinde olan her şeyi atmanız isteniyor. (A∖B)(A \setminus B) bölgesi AA'nın içinde midir? Peki (B∖A)(B \setminus A) bölgesi AA'nın içinde midir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, [(A∖B)∪(B∖A)]∩B[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)] \cap B ifadesinin sonucunu inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 11Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında EE evrensel kümesi ile bu kümenin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri gösterilmiştir.

Buna göre, şemada taralı olarak gösterilen bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∖BA \setminus B

Cevap

Şemada taralı olarak gösterilen bölge, AA kümesine ait olup BB kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu A∖BA \setminus B kümesidir.
Venn şemasında bir kümenin diğer küme ile kesişmeyen ve sadece kendisine ait olan bölgesi 'fark' kümesi olarak adlandırılır. Şemada AA dairesinin içindeki ancak BB dairesinin dışında kalan kısım tarandığı için bu bölge AA'nın BB'den farkını (A∖BA \setminus B) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
Taralı bölgenin hangi kümenin sınırları içerisinde olduğunu belirleyin.
Taralı bölge tamamen AA kümesinin sınırları içerisindedir.
Bölgenin ana kaynağını belirlemek ilk adımdır.
2
Taralı bölgenin diğer küme (BB) ile olan ilişkisini inceleyin.
Taralı bölgenin BB kümesiyle hiçbir ortak noktası yoktur; BB kümesine ait olan (kesişim dahil) kısımlar boş bırakılmıştır.
Hangi elemanların dışlandığını anlamak fark işlemini tanımlar.
3
Elde edilen tanımı küme sembolüyle ifade edin.
"AA'da olup BB'de olmayanlar" tanımı matematiksel olarak A∖BA \setminus B veya A−BA - B ile gösterilir.
Sözel tanımı standart matematiksel notasyona dönüştürmek gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark İşlemi

İpuçları

1
Taralı bölgenin hangi dairenin (AA mı yoksa BB mi) içerisinde olduğuna bakın.
2
Taralı bölge BB kümesinin elemanlarını içeriyor mu? Eğer içermiyorsa, AA kümesinden BB kümesine ait parçaların atıldığını düşünebilirsiniz.
3
"AA kümesinde olup BB kümesinde olmayan elemanlar" tanımını hangi sembolün karşıladığını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Şemadaki taralı alan A∩B′A \cap B' (A kesişim B'nin tümleyeni) şeklinde de ifade edilebilir. Bu eşitliği kontrol edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şemadaki bölgelere numara vererek de düşünebilirsiniz. Sadece AA'ya ait bölge 1, kesişim 2, sadece BB'ye ait bölge 3 olsun. Taralı alan 1 nolu bölgedir. AA kümesi {1, 2} ve BB kümesi {2, 3} ise; A∖BA \setminus B işlemi {1, 2} kümesinden {2} elemanını çıkarmak demektir, sonuç {1} olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(A∖B)2=s(B∖A)3=s(A∩B)4 \frac{s(A \setminus B)}{2} = \frac{s(B \setminus A)}{3} = \frac{s(A \cap B)}{4}
s(A′)=26 s(A') = 26
s(B′)=22 s(B') = 22

Buna göre, evrensel kümenin eleman sayısı (s(E)s(E)) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Evrensel kümenin eleman sayısı 50'dir.
Soruda verilen oranlar kullanılarak küme bölgeleri 2k,3k,4k2k, 3k, 4k olarak belirlenir. A′A' ve B′B' verileri kullanılarak hem orantı sabiti (k=4k=4) hem de küme dışındaki eleman sayısı (t=14t=14) bulunur. Tüm bölgelerin toplamı olan s(E)=9k+ts(E) = 9k + t işlemi sonucunda 50 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Orantı sabitini kullanarak küme bölgelerini kk cinsinden ifade etme
s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k, s(A∩B)=4ks(A \cap B) = 4k
Verilen oranlar tek bir değişken üzerinden ifade edilerek işlem kolaylığı sağlanır.
2
Evrensel kümenin dışındaki bölgeyi tanımlama ve tümleyen denklemlerini kurma
Dış bölgeye tt dersek; s(A′)=s(B∖A)+t=3k+t=26s(A') = s(B \setminus A) + t = 3k + t = 26 ve s(B′)=s(A∖B)+t=2k+t=22s(B') = s(A \setminus B) + t = 2k + t = 22.
Bir kümenin tümleyeni (A′A'), o kümenin dışındaki tüm elemanları (hem sadece B'deki hem de hiçbirindeki) kapsar.
3
Denklem sistemini çözerek kk ve tt değerlerini bulma
Taraf tarafa çıkarma ile: (3k+t)−(2k+t)=26−22⇒k=4(3k+t) - (2k+t) = 26 - 22 \Rightarrow k=4. Yerine koyma ile: 2(4)+t=22⇒8+t=22⇒t=142(4) + t = 22 \Rightarrow 8 + t = 22 \Rightarrow t = 14.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yok etme metodu kullanılır.
4
Evrensel kümenin toplam eleman sayısını hesaplama
s(E)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)+t=2k+4k+3k+t=9k+t=9(4)+14=36+14=50s(E) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) + t = 2k + 4k + 3k + t = 9k + t = 9(4) + 14 = 36 + 14 = 50.
Evrensel küme, tüm ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Tümleme ve Denklem Sistemleri

İpuçları

1
Orantılı ifadeler için ortak bir kk çarpanı belirleyerek başlayın (örneğin s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k).
2
Bir kümenin tümleyeni (A′A'), evrensel kümede olup o kümede olmayan elemanlardır. Bu, hem diğer kümenin sadece kendine ait kısmını (B∖AB \setminus A) hem de her iki kümenin dışındaki bölgeyi kapsar.
3
Her iki kümenin de dışında kalan bölgeye tt diyerek, verilen s(A′)s(A') ve s(B′)s(B') eşitliklerinden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurun: 3k+t=263k + t = 26 ve 2k+t=222k + t = 22.

Daha Fazla Pratik

De Morgan kurallarını içeren ve kesişim kümesinin boş olduğu ayrık kümelerle ilgili sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

Bir kamu kurumuna yapılan 42 kişilik personel alım başvurusu değerlendirilmiştir. Başvurularda adayların 'KPSS' ve 'YDS' şartlarını sağlayıp sağlamadıkları incelenmiştir. İnceleme sonucunda aşağıdaki bilgiler elde edilmiştir:

* Her iki şartı da sağlayan 4 aday vardır.
* Her iki şartı da sağlayamayan 6 aday vardır.
* Sadece KPSS şartını sağlayan aday sayısı, sadece YDS şartını sağlayan aday sayısının 3 katıdır.

Buna göre, KPSS şartını sağlayan toplam aday sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

KPSS şartını sağlayan toplam 28 aday vardır.
Soruda verilen bilgilere göre adaylar dört ayrık gruba ayrılır: Sadece KPSS sağlayanlar (3x3x), Sadece YDS sağlayanlar (xx), Her ikisini sağlayanlar (44) ve Hiçbirini sağlamayanlar (66). Toplam aday sayısı 4242 olduğuna göre; 3x+x+4+6=423x + x + 4 + 6 = 42 denklemi kurulur. Buradan 4x=324x = 32 ve x=8x = 8 bulunur. KPSS şartını sağlayan adaylar, sadece KPSS sağlayanlar (3x3x) ile her ikisini sağlayanların (44) toplamıdır. Yani 3(8)+4=24+4=283(8) + 4 = 24 + 4 = 28 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve verilenleri tanımla.
Evrensel Küme (E) = 42, s(K ∩ Y) = 4, s((K ∪ Y)') = 6. Sadece YDS = x dersek, Sadece KPSS = 3x olur.
Sözel ifadeyi matematiksel küme notasyonuna ve denkleme dökmek gerekir.
2
Evrensel küme denklemini kurarak x değerini bul.
3x (Sadece KPSS) + x (Sadece YDS) + 4 (Her ikisi) + 6 (Hiçbiri) = 42
4x + 10 = 42
4x = 32
x = 8
Tüm alt grupların toplamı başvuran toplam aday sayısına (Evrensel Küme) eşit olmalıdır.
3
KPSS kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.
s(K) = (Sadece KPSS) + (Her İkisi) = 3x + 4
s(K) = 3(8) + 4 = 24 + 4 = 28
Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin fark kümesi ile kesişim kümesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin diğer kümeden farkı ile kesişimlerinin toplamına eşittir (s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)). Evrensel küme ise tüm ayrık bölgelerin toplamıdır.

İpuçları

1
Kümeleri Venn şeması ile çizmeyi deneyin. Evrensel küme (Tüm başvuranlar) içinde kesişen iki küme (KPSS ve YDS) ve bunların dışında kalan bir bölge (Hiçbiri) olacaktır.
2
Sadece YDS sağlayanlara 'xx' derseniz, sadece KPSS sağlayanlar '3x3x' olur. Tüm bu bölgelerin (Sadece KPSS, Sadece YDS, Her ikisi, Hiçbiri) toplamı 42 olmalıdır.
3
3x+x+4+6=423x + x + 4 + 6 = 42 denklemini çözerek xx'i bulun. Ancak dikkat edin, soru sadece xx'i veya 3x3x'i değil, KPSS kümesinin tamamını (3x+43x + 4) sormaktadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'en az birini sağlayanlar' veya 'en çok birini sağlayanlar' ifadeleriyle çözerek fark kavramını pekiştirin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Bir kamu kurumunun arşivindeki dosyalar incelendiğinde; mavi etiketli dosyaların kümesi MM, kırmızı etiketli dosyaların kümesi KK ile gösterilmektedir.

Bu arşivde toplam 32 adet mavi etiketli dosya bulunmaktadır (s(M)=32s(M) = 32). Hem mavi hem de kırmızı etikete sahip dosya sayısı ise 9'dur (s(M∩K)=9s(M \cap K) = 9).

Buna göre, arşivde sadece mavi etiketli olan (kırmızı etiketi bulunmayan) dosya sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Sadece mavi etiketli dosya sayısı 23'tür.
Sadece mavi etiketli dosyalar, MM kümesinin KK kümesinden farkını ifade eder (M∖KM \setminus K). Bu sayıyı bulmak için, toplam mavi dosya sayısından (s(M)s(M)) her iki etikete de sahip olan dosyaların sayısı (s(M∩K)s(M \cap K)) çıkarılır. 32−9=2332 - 9 = 23 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilenleri belirle.
s(M)=32s(M) = 32 (Toplam mavi dosya) ve s(M∩K)=9s(M \cap K) = 9 (Hem mavi hem kırmızı dosya).
Kümelerdeki fark işlemini yapabilmek için mevcut verileri ayrıştırmak gerekir.
2
İstenilen kümenin formülünü yaz.
İstenen: s(M∖K)=s(M)−s(M∩K)s(M \setminus K) = s(M) - s(M \cap K)
Bir kümenin farkını bulmak için (sadece M'de olanlar), o kümenin tamamından kesişim kümesi çıkarılır.
3
Değerleri yerine koyarak hesapla.
32−9=2332 - 9 = 23
Mavi dosyaların tamamından, ortak olan dosyalar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılması (s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)).

İpuçları

1
'Sadece mavi etiketli' ifadesi, mavi olup kırmızı olmayanlar anlamına gelir.
2
Mavi dosyaların tamamı (MM) içinde, kırmızı etikete de sahip olanlar (M∩KM \cap K) vardır.
3
Toplam mavi dosya sayısından (32), ortak olan dosya sayısını (9) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu birleşim kümesi formülü üzerinden (s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)) çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında EE evrensel kümesi ile bu kümenin alt kümeleri olan AA ve BB kümelerinin elemanları gösterilmiştir.

Buna göre, B∖AB \setminus A (B fark A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {6, 7}

Cevap

B fark A kümesi {6, 7} elemanlarından oluşur.
B fark A kümesi (B∖AB \setminus A), B kümesinin elemanı olup A kümesinin elemanı olmayan nesnelerin kümesidir. Venn şemasında bu bölge, B dairesinin A dairesiyle örtüşmeyen sağ tarafındaki kısmıdır ve burada 6 ile 7 elemanları bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasında B fark A bölgesini tespit etme
B kümesinin sınırları içinde kalan ancak A kümesinin sınırları dışında olan bölge belirlenir.
Bir kümenin diğerinden farkı, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları temsil eder.
2
Belirlenen bölgedeki elemanları listeleme
{6, 7}
Şemada B kümesinin A ile kesişmeyen kısmında 6 ve 7 elemanları yer almaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark İşlemi

İpuçları

1
Fark işlemi (B∖AB \setminus A), 'B'de olsun ama A'da olmasın' demektir.
2
Şemada B dairesinin içine bakın ve A dairesiyle ortak olan kısmı (ortadaki bölgeyi) kapatın.
3
B dairesinin içinde 4, 5, 6, 7 elemanları var. Bunlardan hangileri A dairesinin de içindedir? Onları listeden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Aynı şema üzerinden A'nın tümleyeni (A') kümesinin elemanlarını bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri için aşağıdaki eşitlikler ve bilgiler verilmiştir:

* s(E)=44s(E) = 44
* s((A∪B)′)=4s((A \cup B)') = 4
* 3⋅s(A∖B)=4⋅s(B∖A)3 \cdot s(A \setminus B) = 4 \cdot s(B \setminus A)
* s(A∩B)s(A \cap B) değeri bir asal sayıdır.

Buna göre, s(A)s(A) değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

A kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.
Verilen oranlardan fark kümelerine 4k ve 3k dedikten sonra evrensel küme denklemi 7k + p = 40 halini alır. p'nin asal sayı olma şartını sağlayan k değerleri 3 ve 5'tir. Bu değerler yerine konduğunda s(A) sırasıyla 31 ve 25 bulunur. En büyük değer istendiği için doğru cevap 31'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri Venn şeması mantığıyla değişkenlere dök
s(A∖B)=4ks(A \setminus B) = 4k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k ve s(A∩B)=ps(A \cap B) = p (asal sayı) olsun.
Oran orantı verildiğinde katsayıları çapraz eşleyerek tek değişken (k) kullanmak işlemi kolaylaştırır.
2
Evrensel küme denklemini kur
s(A∪B)+s((A∪B)′)=s(E)s(A \cup B) + s((A \cup B)') = s(E) olduğundan, (4k+p+3k)+4=44(4k + p + 3k) + 4 = 44 elde edilir.
Birleşim kümesi, farklar ve kesişimin toplamıdır. Tümleyen ile toplanınca evrensel kümeyi verir.
3
Denklemi sadeleştir ve p'yi k cinsinden ifade et
7k+p+4=44⇒7k+p=40⇒p=40−7k7k + p + 4 = 44 \Rightarrow 7k + p = 40 \Rightarrow p = 40 - 7k
Asal sayı analizi yapabilmek için p'yi yalnız bırakmak gerekir.
4
k değerlerini deneyerek p'nin asal olup olmadığını kontrol et
k=1 için p=33 (asal değil); k=2 için p=26 (asal değil); k=3 için p=19 (ASAL); k=4 için p=12 (asal değil); k=5 için p=5 (ASAL); k=6 ve sonrası için p negatif olur.
p sayısının asal sayı olma şartı (2, 3, 5, 7, 11...) problemin kısıtlayıcı faktörüdür.
5
Geçerli durumlarda s(A) değerini hesapla ve en büyüğünü bul
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=4k+ps(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 4k + p. Durum 1 (k=3, p=19): 4(3)+19=314(3)+19 = 31. Durum 2 (k=5, p=5): 4(5)+5=254(5)+5 = 25. En büyük değer 31'dir.
A kümesi, sadece A'da olanlar (4k) ile kesişimin (p) toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri ve Asal Sayı Analizi
Soru 17Soru →
EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için,
[(A∖B)∪(B∖A)]′∩A [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A \cap B

Cevap

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifade adım adım incelendiğinde; parantez içi (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) simetrik farkı belirtir. Bu bölge, sadece A'da ve sadece B'de olan elemanları kapsar. Bu ifadenin tümleyeni (′'), kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ve kümelerin dışındaki bölgeyi ((A∪B)′(A \cup B)') verir. Son adımda bu bölgenin AA ile kesişimi alındığında, evrensel kümenin dışı elenir ve geriye sadece AA ile ortak olan kısım, yani A∩BA \cap B kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ifadeyi (X=(A∖B)∪(B∖A)X = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)) analiz et.
Bu ifade, AA veya BB'de olup her ikisinde birden olmayan elemanları (Simetrik Fark) temsil eder.
Kümeler teorisinde fark işleminin tanımı gereği A∖BA \setminus B sadece A'da olanları, B∖AB \setminus A sadece B'de olanları verir.
2
Bu ifadenin tümleyenini (X′X') düşün.
X′X', simetrik farkın dışındaki bölgedir. Yani hem AA ve BB'nin kesişimi (A∩BA \cap B) hem de her iki kümenin dışı ((A∪B)′(A \cup B)') bu bölgededir.
Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan tüm elemanları kapsar.
3
Bulunan bölgeyi AA kümesi ile kesiştir (∩A\cap A).
Simetrik farkın dışında kalan elemanlardan sadece AA kümesinin içinde olanlar seçilmelidir. (A∪B)′(A \cup B)' bölgesi AA'nın dışındadır. Geriye sadece A∩BA \cap B kalır.
Kesişim işlemi, her iki kümede ortak olan elemanları verir. AA'nın içinde olup simetrik farkta olmayan tek bölge kesişim bölgesidir.

Anahtar Kavram

Simetrik farkın tümleyeni, iki kümenin kesişimi ile iki kümenin birleşiminin tümleyeninin birleşimidir.

İpuçları

1
İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeleri tarayarak düşünmeyi deneyin.
2
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesi, 'Simetrik Fark' olarak bilinir ve kesişim hariç birleşimdeki tüm elemanları ifade eder.
3
Simetrik farkın tümleyeni, kesişim bölgesi (A∩BA \cap B) ile dış bölgenin birleşimidir. Bunu AA ile kesiştirirseniz geriye ne kalır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla [(A∪B)∖(A∩B)]′∩B[(A \cup B) \setminus (A \cap B)]' \cap B ifadesini sadeleştirmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

De Morgan Kuralları ile cebirsel çözüm: Fark işlemini kesişime çevirin (A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B'). İfade [(A∩B′)∪(B∩A′)]′∩A[(A \cap B') \cup (B \cap A')]' \cap A olur. De Morgan uygulandığında (A′∪B)∩(B′∪A)∩A(A' \cup B) \cap (B' \cup A) \cap A elde edilir. (B′∪A)∩A=A(B' \cup A) \cap A = A olduğundan (yutma özelliği), geriye (A′∪B)∩A(A' \cup B) \cap A kalır. Dağılma özelliği ile (A′∩A)∪(B∩A)=∅∪(A∩B)=A∩B(A' \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →
EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için,
[(A∖B)′∩(A∩B)]∪(B∖A) \left[ (A \setminus B)' \cap (A \cap B) \right] \cup (B \setminus A)
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: BB

Cevap

İfadenin en sade hali BB kümesidir.
Verilen ifadede öncelikle fark işleminin tümleyeni alınır: (A∖B)′=A′∪B(A \setminus B)' = A' \cup B. Bu ifade ile (A∩B)(A \cap B) kesiştirildiğinde, (A∩B)(A \cap B) kümesi A′∪BA' \cup B kümesinin bir alt kümesi olduğu için sonuç yine (A∩B)(A \cap B) olur. Son adımda, BB kümesinin AA ile olan kesişimi (A∩B)(A \cap B) ile BB kümesinin AA farkı (B∖A)(B \setminus A) birleştirilir. Bir kümenin kesişim bölgesi ile fark bölgesinin birleşimi, o kümenin kendisine (BB) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini De Morgan kuralı ile açalım.
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B
Fark işlemi A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olarak yazılabilir ve ardından tümleyeni alınır.
2
Köşeli parantez içindeki kesişim işlemini dağılma özelliği veya alt küme ilişkisi ile sadeleştirelim: (A′∪B)∩(A∩B)(A' \cup B) \cap (A \cap B).
A∩BA \cap B
(A∩B)(A \cap B) kümesi hem BB'nin hem de AA'nın alt kümesidir. Dolayısıyla (A′∪B)(A' \cup B) kümesinin de alt kümesidir. Bir kümenin, kendisini kapsayan bir küme ile kesişimi kendisine eşittir.
3
Elde edilen sonucu dışarıdaki ifade ile birleştirelim: (A∩B)∪(B∖A)(A \cap B) \cup (B \setminus A).
BB
(A∩B)(A \cap B), BB kümesinin AA ile ortak olan kısmıdır. (B∖A)(B \setminus A) ise BB kümesinin AA ile ortak olmayan kısmıdır. Bu iki ayrık parçanın birleşimi BB kümesinin kendisini verir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işleminin tümleyeni ve dağılma özellikleri kullanılarak yapılan cebirsel sadeleştirme.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki (A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini, fark işlemini kesişime çevirerek (A∩B′)′(A \cap B')' şeklinde düşünün ve De Morgan kuralını uygulayın.
2
Bulduğunuz (A′∪B)(A' \cup B) ifadesi ile (A∩B)(A \cap B) ifadesinin kesişimini düşünün. (A∩B)(A \cap B) kümesi, (A′∪B)(A' \cup B) kümesinin içinde midir?
3
Elde ettiğiniz (A∩B)(A \cap B) kümesi ile (B∖A)(B \setminus A) kümesini birleştirin. BB kümesinin AA ile ortak olan kısmı ve AA ile ortak olmayan kısmının birleşimi neyi verir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A∪B)′∩(A′∖B)(A \cup B)' \cap (A' \setminus B) ifadesinin sadeleştirilmesini içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgeyi numaralandırabilirsiniz. (A∖B)′(A \setminus B)' bölgesi, AA fark BB dışındaki her yerdir. Bu bölge ile A∩BA \cap B kesiştiğinde sadece kesişim bölgesi kalır. Son olarak bu bölgeye B∖AB \setminus A eklenirse BB kümesinin tamamı elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri veriliyor.

K=[(A∖B)′∖(A′∩B)′]′ K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]'

eşitliği tanımlanıyor. Buna göre, KK kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∪B′A \cup B'

Cevap

İfadenin en sade hali A∪B′A \cup B' kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; önce fark işlemleri kesişim ve tümlemeye çevrilir, ardından De Morgan kuralları uygulanır. İç kısımdaki işlem (B∖A)(B \setminus A) sonucunu verir. En dıştaki tümleme işareti ile bu sonuç (B∖A)′(B \setminus A)' olur, bu da A∪B′A \cup B' ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ilk ifadeyi (A∖BA \setminus B) düzenle.
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B (De Morgan kuralı uygulanır).
Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Parantez içindeki ikinci ifadeyi ((A′∩B)′(A' \cap B)') düzenle.
(A′∩B)′=(A′)′∪B′=A∪B′(A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B' (De Morgan kuralı uygulanır).
Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.
3
Köşeli parantez içindeki fark işlemini uygula: (A′∪B)∖(A∪B′)(A' \cup B) \setminus (A \cup B').
(A′∪B)∩(A∪B′)′=(A′∪B)∩(A′∩B)(A' \cup B) \cap (A \cup B')' = (A' \cup B) \cap (A' \cap B).
X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' kuralı uygulanır. İkinci ifadenin tümleyeni alındığında (A∪B′)′=A′∩B(A \cup B')' = A' \cap B elde edilir.
4
Elde edilen kesişim işlemini sadeleştir.
(A′∪B)∩(A′∩B)=A′∩B(A' \cup B) \cap (A' \cap B) = A' \cap B.
A′∩BA' \cap B kümesi, A′∪BA' \cup B kümesinin bir alt kümesidir (X⊂Y⇒X∩Y=XX \subset Y \Rightarrow X \cap Y = X). Sonuç B∖AB \setminus A kümesidir.
5
En dıştaki tümleme işlemini uygula.
K=(A′∩B)′=(A′)′∪B′=A∪B′K = (A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'.
Sonuç, B∖AB \setminus A kümesinin tümleyenidir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Fark İşlemi Özellikleri
Soru 20Soru →
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri için;
s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6
s(A′)=10s(A') = 10
s(B′)=14s(B') = 14
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, EE evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

E evrensel kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Soruda verilen fark ve kesişim bilgileri kullanılarak kümelerin eleman sayıları xx değişkeni cinsinden ifade edilir. s(A)+s(A′)=s(E)s(A) + s(A') = s(E) ve s(B)+s(B′)=s(E)s(B) + s(B') = s(E) bağıntıları kullanılarak iki denklem kurulur. Bu denklemlerin çözümünden x=4x=4 bulunur ve s(E)=24s(E)=24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımla
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda verilen eşitliğe göre s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x olur.
Kümelerdeki eleman sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
2
A ve B kümelerinin eleman sayılarını yaz
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=2x+6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 2x + 6 ve s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=x+6s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = x + 6.
Tümleme işlemi evrensel küme ile kümenin kendisi arasındaki ilişkiye dayandığı için küme eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
3
Evrensel küme denklemlerini kur
s(E)=s(A)+s(A′)⇒s(E)=(2x+6)+10=2x+16s(E) = s(A) + s(A') \Rightarrow s(E) = (2x + 6) + 10 = 2x + 16 ve s(E)=s(B)+s(B′)⇒s(E)=(x+6)+14=x+20s(E) = s(B) + s(B') \Rightarrow s(E) = (x + 6) + 14 = x + 20.
Her iki tümleme bilgisini de kullanarak E kümesi için iki farklı ifade elde etmek ve bunları eşitlemek.
4
Denklemleri eşitle ve x'i bul
2x+16=x+20⇒x=42x + 16 = x + 20 \Rightarrow x = 4.
Bilinmeyen değişkenin değerini bulmak.
5
s(E) değerini hesapla
s(E)=x+20=4+20=24s(E) = x + 20 = 4 + 20 = 24.
Bulunan değişkeni yerine koyarak istenen sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir küme ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı, evrensel kümenin eleman sayısını verir: s(A)+s(A′)=s(E)s(A) + s(A') = s(E).

İpuçları

1
Bir kümenin kendisi ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı neye eşittir? s(A)+s(A′)=?s(A) + s(A') = ?
2
s(B∖A)s(B \setminus A) değerine xx diyerek başlayın. Bu durumda s(A∖B)s(A \setminus B) ne olur? s(A)s(A) ve s(B)s(B)'yi xx cinsinden yazmayı deneyin.
3
s(E)=s(A)+10s(E) = s(A) + 10 ve s(E)=s(B)+14s(E) = s(B) + 14 eşitliklerini kullanarak s(A)s(A) ve s(B)s(B) arasındaki farkı bulun, ardından xx değerini çözün.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine farkları kullanalım: s(E)=s(A)+10=s(B)+14s(E) = s(A) + 10 = s(B) + 14 olduğundan s(A)−s(B)=4s(A) - s(B) = 4 olmalıdır. Kümeleri bölgelere ayırırsak s(A)−s(B)=s(A∖B)−s(B∖A)s(A) - s(B) = s(A \setminus B) - s(B \setminus A) olur. 2x−x=4⇒x=42x - x = 4 \Rightarrow x=4. Buradan s(E)s(E) hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin