Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- s(E)=45s(E) = 45
- s(A′∩B′)=10s(A' \cap B') = 10
- s(A∖B)=s(A)−6s(A \setminus B) = s(A) - 6
- s(B∖A)=s(A∖B)+5s(B \setminus A) = s(A \setminus B) + 5

Buna göre, s(A′∪B′)s(A' \cup B') ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 39Cevap
  2. B
    35
  3. C
    23
  4. D
    12
  5. E
    6

Cevap

İstenen ifade olan s(A' ∪ B') değeri 39'dur.
Verilen bilgilerden hareketle önce kesişim kümesinin eleman sayısı (6), ardından birleşim kümesinin eleman sayısı (35) tespit edilmiştir. İstenen ifade olan s(A′∪B′)s(A' \cup B') ifadesi De Morgan kuralına göre s((A∩B)′)s((A \cap B)') değerine eşittir. Bu değer evrensel kümeden kesişimin çıkarılmasıyla (45 - 6 = 39) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan kurallarını uygulayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulma
s(A′∩B′)=s((A∪B)′)=10s(A' \cap B') = s((A \cup B)') = 10 olduğundan, s(A∪B)=s(E)−10=45−10=35s(A \cup B) = s(E) - 10 = 45 - 10 = 35 bulunur.
De Morgan kuralına göre A′∩B′=(A∪B)′A' \cap B' = (A \cup B)' eşitliği geçerlidir.
2
Küme farkı formülünü kullanarak kesişim kümesinin eleman sayısını belirleme
s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) olduğu bilinmektedir. Verilen s(A∖B)=s(A)−6s(A \setminus B) = s(A) - 6 eşitliğinden s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6 olduğu sonucuna varılır.
Fark kümesinin eleman sayısı, kümenin kendi eleman sayısından kesişimdeki eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
3
Birleşim formülü ile fark kümelerinin eleman sayılarını hesaplama
s(A∪B)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) formülünde değerleri yerine koyarsak: 35=s(A∖B)+6+(s(A∖B)+5)⇒35=2⋅s(A∖B)+11⇒24=2⋅s(A∖B)⇒s(A∖B)=1235 = s(A \setminus B) + 6 + (s(A \setminus B) + 5) \Rightarrow 35 = 2 \cdot s(A \setminus B) + 11 \Rightarrow 24 = 2 \cdot s(A \setminus B) \Rightarrow s(A \setminus B) = 12 bulunur. Buradan s(B∖A)=12+5=17s(B \setminus A) = 12 + 5 = 17 olur.
Birleşim kümesi, ayrık üç bölgenin (A fark B, kesişim ve B fark A) toplamından oluşur.
4
İstenen tümleme işlemini De Morgan kuralı ile hesaplama
s(A′∪B′)=s((A∩B)′)=s(E)−s(A∩B)=45−6=39s(A' \cup B') = s((A \cap B)') = s(E) - s(A \cap B) = 45 - 6 = 39 olarak hesaplanır.
De Morgan kuralına göre A′∪B′=(A∩B)′A' \cup B' = (A \cap B)' eşitliği geçerlidir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Küme İşlemleri Arasındaki İlişkiler
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru