Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA, BB ve CC kümeleri arasında A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre,
[(B∖A)′∩(B∪C)]∖C [ (B \setminus A)' \cap (B \cup C) ] \setminus C
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
  1. ACevap
  2. B
    B \setminus A
  3. C
    C
  4. D
    \emptyset
  5. E
    E

Cevap

İfadenin en sade hali AA kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım B′∪AB' \cup A olur. Bu ifadenin (B∪C)(B \cup C) ile kesişimi, AA ve CC kümelerinin birleşimini (A∪CA \cup C) verir. Son olarak bu birleşimden CC kümesi çıkarıldığında geriye sadece AA kümesi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
(B∖A)′(B \setminus A)' ifadesini düzenle.
B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A' olduğu için, (B∩A′)′=B′∪A(B \cap A')' = B' \cup A elde edilir.
De Morgan kuralı ve fark işleminin tanımı uygulanır.
2
Bu ifadeyi (B∪C)(B \cup C) ile kesiştir: (B′∪A)∩(B∪C)(B' \cup A) \cap (B \cup C).
Dağılma özelliği uygulanırsa: (B′∩B)∪(B′∩C)∪(A∩B)∪(A∩C)(B' \cap B) \cup (B' \cap C) \cup (A \cap B) \cup (A \cap C).
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılır.
3
Elde edilen terimleri verilen bağıntılara (A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset) göre sadeleştir.
B′∩B=∅B' \cap B = \emptyset. B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için C⊂B′C \subset B' olur, yani B′∩C=CB' \cap C = C. A⊂BA \subset B olduğu için A∩B=AA \cap B = A. A⊂BA \subset B ve B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için A∩C=∅A \cap C = \emptyset. Sonuç: ∅∪C∪A∪∅=A∪C\emptyset \cup C \cup A \cup \emptyset = A \cup C.
Alt küme ve ayrık küme tanımları kullanılarak terimler basitleştirilir.
4
Son olarak CC kümesini fark işlemiyle çıkar: (A∪C)∖C(A \cup C) \setminus C.
(A∪C)∖C=A∖C(A \cup C) \setminus C = A \setminus C olur. AA ve CC ayrık olduğu için (A∩C=∅A \cap C = \emptyset) sonuç AA kümesidir.
Birleşimden bir bileşenin çıkarılması, diğer bileşenin (eğer ayrıklarsa) kalmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

İpuçları

1
Önce (B∖A)′(B \setminus A)' ifadesini De Morgan kurallarını kullanarak açın ve B′∪AB' \cup A olduğunu görün.
2
B∩C=∅B \cap C = \emptyset olduğu için CC'nin BB'nin tümleyeninin (B′B') alt kümesi olduğunu hatırlayın (C⊂B′C \subset B').
3
A kümesinin B'nin içinde olduğunu (A⊂BA \subset B) ve C ile ayrık olduğunu kullanarak dağılma işlemini yapın. Sonuçta (A∪C)∖C(A \cup C) \setminus C kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A∖B)′∖(A∩B′)(A \setminus B)' \setminus (A \cap B') ifadesini sadeleştiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek çözmek: AA kümesini BB'nin içine çizin. CC kümesini ise BB'den tamamen ayrı (ayrık) çizin. (B∖A)(B \setminus A) bölgesi BB'nin içinde ama AA'nın dışında kalan halkadır. Bunun tümleyeni (B∖A)′(B \setminus A)', bu halkanın dışındaki her yerdir (yani AA ve tüm BB dışı). Bu alan ile (B∪C)(B \cup C)'yi kesiştirirseniz elinizde AA ve CC kalır. Sonra CC'yi çıkarırsanız geriye sadece AA kalır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru