Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir kamu kurumundaki 3636 personelin bir kısmı AA projesinde, bir kısmı BB projesinde görev almaktadır. Bu personellerle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her iki projede de görev almayan personel sayısı 1010'dur.
* Yalnızca AA projesinde görev alanların sayısı, yalnızca BB projesinde görev alanların sayısından 22 fazladır.
* Her iki projede de görev alan personel sayısı 66'dır.

Buna göre, AA projesinde görev alan toplam personel sayısı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    15
  3. 17Cevap
  4. D
    20
  5. E
    26

Cevap

A projesinde görev alan toplam personel sayısı 17'dir.
Kurumdaki toplam personel sayısından hiçbir projede yer almayanlar çıkarıldığında, AA veya BB projesinde yer alan 2626 kişi kalır. Yalnızca BB projesinde yer alanlara xx dersek, yalnızca AA projesinde yer alanlar x+2x+2 olur. Ortak olan 66 kişiyle birlikte bu üç grubun toplamı x+(x+2)+6=26x + (x+2) + 6 = 26 eşitliğini verir. Buradan x=9x=9 bulunur. AA projesinde görev alanlar, yalnızca AA projesinde olanlar (1111 kişi) ve her iki projede olanların (66 kişi) toplamı olan 1717 kişidir.

Adım Adım Çözüm

1
Projelerden en az birinde yer alan personel sayısını (s(A∪B)s(A \cup B)) hesaplayın.
s(A∪B)=36−10=26s(A \cup B) = 36 - 10 = 26
Evrensel kümeden (toplam personel), hiçbir kümede yer almayanlar çıkarıldığında birleşim kümesi elde edilir.
2
Kümeler arasındaki ilişkiyi bir bilinmeyen kullanarak ifade edin.
Yalnızca BB projesinde olanlar xx ise, yalnızca AA projesinde olanlar x+2x + 2 olur. Kesişim kümesi ise 66 olarak verilmiştir.
Soruda verilen fark ve kesişim bilgilerini matematiksel dile dökmek gerekir.
3
Birleşim kümesi formülünü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanarak denklemi çözün.
(x+2)+x+6=26  ⟹  2x+8=26  ⟹  2x=18  ⟹  x=9(x + 2) + x + 6 = 26 \implies 2x + 8 = 26 \implies 2x = 18 \implies x = 9
Birleşim kümesini oluşturan üç ayrık bölgenin toplamı, birleşim eleman sayısına eşittir.
4
AA projesindeki toplam personel sayısını (s(A)s(A)) bulun.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=(9+2)+6=11+6=17s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = (9 + 2) + 6 = 11 + 6 = 17
Bir kümenin toplam eleman sayısı, o kümeye ait fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve birleşim işlemleri arasındaki ilişkiler.

İpuçları

1
Önce AA veya BB projesinde yer alan toplam kişi sayısını bulmak için evrensel kümeden dışarıdaki kişileri çıkarın.
2
Venn şemasındaki her bir bölgeyi (Yalnızca A, Yalnızca B, Kesişim) temsil eden değerleri toplayıp bulduğunuz birleşim sayısına eşitleyin.
3
Bulduğunuz bilinmeyen değerine kesişim kümesindeki 66 kişiyi eklemeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda 'en az biri' ve 'en çok biri' ifadelerine dikkat ederek tümleme işlemini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru