Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Kısa kenarı 4 cm ve uzun kenarı 16 cm olan bir ABCD dikdörtgeni veriliyor. Bir çember, dikdörtgenin A ve B köşelerinden geçmekte ve [DC] kenarına teğet olmaktadır.

Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç santimetredir?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    13

Cevap

Çemberin yarıçapı 10 cm'dir.
Çemberin merkezi, kirişin orta dikmesi üzerindedir. Merkezden teğet noktasına olan uzaklık yarıçapa (r) eşittir. Dikdörtgenin yüksekliği 4 cm olduğundan, merkezin AB kirişine uzaklığı |r-4| cm olur. AB kirişinin yarısı 8 cm'dir. Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (r² = 8² + (r-4)²) uygulandığında r = 10 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin merkezini (O) ve yarıçapını (r) tanımla. Merkezi, [DC] kenarına teğet olduğu noktaya (T) ve [AB] kirişinin orta noktasına (H) dik inen doğru üzerinde al.
Merkez O, [DC] kenarına r uzaklıkta, [AB] kenarına ise |r - 4| uzaklıktadır.
Çember [DC]'ye teğet olduğu için merkezden teğet noktasına uzaklık yarıçaptır. [AB] kirişi [DC]'ye paralel ve aralarındaki mesafe 4 cm'dir.
2
Merkez O ile A noktası (çember üzerinde) arasında bir yarıçap çiz ve OHA dik üçgenini oluştur.
Oluşan dik üçgende hipotenüs OA = r, dik kenarlardan biri AH = 8 (16/2), diğer dik kenar OH = r - 4 olur.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar (|AB|=16 ise |AH|=8). Dikdörtgenin yüksekliği 4 cm olduğundan merkezden kirişe mesafe r - 4 olur.
3
OHA üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
r² = 8² + (r - 4)²
Dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
4
Denklemi çöz.
r² = 64 + (r² - 8r + 16) → r² = r² - 8r + 80 → 8r = 80 → r = 10.
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen r değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde Kiriş ve Teğet Özellikleri

İpuçları

1
Çemberin merkezini belirleyin ve teğet noktası ile A köşesine yarıçaplar çizin.
2
Merkezden AB kirişine dikme indirin. Oluşan dik üçgenin kenarlarını yarıçap (r) cinsinden ifade edin.
3
Oluşan dik üçgenin kenarları: 8, |r-4| ve hipotenüs r'dir. Pisagor bağıntısını kullanın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru