Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Kenar uzunlukları 44 metre ve 66 metre olan dikdörtgen biçimindeki bir yapının AA köşesine, uzunluğu 1212 metre olan bir ip ile bir cisim bağlanmıştır. Cisim, yapının içine girmeden ve ip gergin olacak şekilde yapının etrafında hareket ettirilmektedir.

Buna göre, bu cismin tarayabileceği bölgenin alanı en çok kaç π\pi metrekaredir?

  1. A
    133
  2. 134Cevap
  3. C
    144
  4. D
    125
  5. E
    108

Cevap

Cismin taradığı toplam alan 134π134\pi metrekaredir.
İp AA köşesine bağlıdır ve dikdörtgenin çevresine sarıldıkça hareket yarıçapı azalır. Toplam alan 4 parçadan oluşur:
1. AA merkezli, 1212 br yarıçaplı, 270∘270^\circ lik dilim: 34π(122)=108π\frac{3}{4}\pi(12^2) = 108\pi
2. BB merkezli, (12−6)=6(12-6)=6 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(62)=9π\frac{1}{4}\pi(6^2) = 9\pi
3. DD merkezli, (12−4)=8(12-4)=8 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(82)=16π\frac{1}{4}\pi(8^2) = 16\pi
4. CC merkezli, (12−10)=2(12-10)=2 br yarıçaplı, 90∘90^\circ lik dilim: 14π(22)=1π\frac{1}{4}\pi(2^2) = 1\pi
Toplam: 134π134\pi.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi parçalara ayır
İpin hareketi, engellere takıldıkça yarıçapı değişen daire dilimleri oluşturur. Alan 4 ana bölgeye ayrılır.
İp her köşeyi döndüğünde dönme merkezi değişir ve yarıçap o kenar uzunluğu kadar kısalır.
2
Ana daire diliminin alanını hesapla (Merkez A)
Alan = 270360⋅π⋅122=34⋅144π=108π\frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{3}{4} \cdot 144\pi = 108\pi
Dikdörtgenin iç açısı 90∘90^\circ olduğundan, ipin dışarıda taradığı açı 360∘−90∘=270∘360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur.
3
İkinci daire diliminin alanını hesapla (Merkez B, Kenar 6m tarafı)
Yarıçap r2=12−6=6r_2 = 12 - 6 = 6 m. Alan = 90360⋅π⋅62=14⋅36π=9π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi
İp B köşesini döndüğünde yarıçap 6 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
4
Üçüncü daire diliminin alanını hesapla (Merkez D, Kenar 4m tarafı)
Yarıçap r3=12−4=8r_3 = 12 - 4 = 8 m. Alan = 90360⋅π⋅82=14⋅64π=16π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi
İp D köşesini döndüğünde yarıçap 4 metre kısalır ve 90∘90^\circ lik bir dönüş yapar.
5
Son köşe C'deki küçük daire dilimini hesapla
Yarıçap r4=12−(6+4)=2r_4 = 12 - (6+4) = 2 m. Alan = 90360⋅π⋅22=14⋅4π=1π\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = 1\pi
İp her iki taraftan da C köşesine ulaştığında elinde 22 metre pay kalır (12>6+412 > 6+4). Bu kısım C köşesinde 90∘90^\circ lik son bir alan tarar.
6
Tüm alanları topla
Toplam Alan = 108π+9π+16π+1π=134π108\pi + 9\pi + 16\pi + 1\pi = 134\pi
Ayrık bölgelerin alanları toplanarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Dairede Alan ve Yay Uzunluğu (İpin sarılması problemi)

İpuçları

1
İp dikdörtgenin köşelerine takıldıkça, dönme merkezi o köşe olur ve hareketin yarıçapı kısalır.
2
Toplam alan 4 farklı daire diliminden oluşur: A merkezli büyük dilim, B ve D merkezli orta dilimler ve C merkezli en küçük dilim.
3
C köşesindeki en küçük daire diliminin yarıçapını bulmak için ipin toplam uzunluğundan (12), kenar uzunluklarının toplamını (6+4) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İpin uzunluğu dikdörtgenin çevresine eşit olsaydı taralı alan nasıl değişirdi?
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru