Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Yarıçapı 1212 cm olan OO merkezli dairesel bir kağıt, bir kiriş boyunca katlanıyor. Katlama sonucunda, kağıdın katlanan yayı dairenin merkezi olan OO noktasından geçmektedir.

Buna göre, katlanan bu daire kesmesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    36π−36336\pi - 36\sqrt{3}
  2. B
    48π−48348\pi - 48\sqrt{3}
  3. 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}Cevap
  4. D
    48π+36348\pi + 36\sqrt{3}
  5. E
    72π−36372\pi - 36\sqrt{3}

Cevap

Katlanan daire kesmesinin alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2'dir.
Katlanan yayın merkeze değmesi, katlama kirişinin merkeze uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Bu durumda oluşan merkez açı 120∘120^\circ olur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından, ilgili ikizkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yay OO noktasından geçtiğine göre, katlama çizgisi (kiriş) ile yay arasındaki en uzak mesafe yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Kirişin merkeze uzaklığı h=r/2=6h = r/2 = 6 cm olur.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktası merkeze değiyorsa, kiriş bu mesafeyi ortalar.
2
Merkez açıyı hesapla
Oluşan dik üçgende hipotenüs r=12r=12, dik kenar 66 olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açının yarısı 60∘60^\circ, tamamı α=120∘\alpha = 120^\circ olur.
cos⁡(θ)=612=12  ⟹  θ=60∘\cos(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ. Merkez açı 2θ=120∘2\theta = 120^\circ.
3
Daire diliminin alanını bul
Alan dilim=πr2⋅120360=π(144)⋅13=48π_{dilim} = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = \pi (144) \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm2\text{cm}^2.
Daire alanı formülü πr2\pi r^2 ve açı oranı kullanılır.
4
Üçgenin alanını hesapla
Alan u¨c\cgen=12r2sin⁡(120∘)=12⋅144⋅32=363_{üçgen} = \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
İkizkenar üçgenin alan formülü: 12absin⁡(α)\frac{1}{2} a b \sin(\alpha).
5
Daire kesmesinin alanını bul
Alan kesme=Alandilim−Alanu¨c\cgen=48π−363_{kesme} = \text{Alan}_{dilim} - \text{Alan}_{üçgen} = 48\pi - 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Katlanan parça (daire kesmesi), daire diliminden üçgenin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Kesmesinin Alanı ve Katlama Problemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru