Layer 1

Soru 1Soru →

Merkez açısının ölçüsü $60^\circ$ olan $O$ merkezli bir daire diliminin içine; dilimin yayına ve her iki yarıçapına teğet olacak şekilde, $M$ merkezli ve $r$ yarıçaplı bir daire yerleştirilmiştir.

Buna göre, $O$ merkezli daire diliminin alanının, $M$ merkezli dairenin alanına oranı kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{4}{3}

\frac{3}{2}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{2}$

Cevap

Daire diliminin alanı ile içteki dairenin alanı oranı

\frac{3}{2}

'dir.

Soruda verilen teğetlik şartları, geometrik bir kurgu (açıortay ve dik üçgen) oluşturmayı gerektirir.

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni özelliği kullanılarak daire diliminin yarıçapının (

R

), içteki dairenin yarıçapının (

r

) 3 katı olduğu (

R=3r

) bulunur. Daire alan formülü (

\pi r^2

) ve daire dilimi alan formülü (

\pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360}

) uygulandığında oran

\frac{3}{2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Şekli geometrik olarak analiz et

O noktası (dilim merkezi) ile M noktasını (daire merkezi) birleştiren doğru, açıyı iki eşit parçaya böler (

30^\circ-30^\circ

). Küçük dairenin yarıçapına

r

diyelim.

Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları doğrusal ilişkilere sahiptir; açıortay üzerinde işlem yapmak çözümün anahtarıdır.

2

Dik üçgen oluşturarak uzunlukları hesapla

M merkezinden teğet noktasına (yarıçap) inilen dikme ile oluşan OMA dik üçgeninde,

\sin(30^\circ) = \frac{r}{|OM|}

olur. Buradan

|OM| = \frac{r}{1/2} = 2r

bulunur.

30-60-90 üçgeni veya trigonometrik oranlar kullanılarak merkezler arası uzaklık bulunur.

3

Daire diliminin yarıçapını (R) r cinsinden ifade et

Daire diliminin yarıçapı

R

, merkezler arası uzaklık (

|OM|

) ile küçük dairenin yarıçapının (

r

) toplamıdır.

R = |OM| + r = 2r + r = 3r

.

Küçük çember yaya da teğet olduğu için, O'dan yaya kadar olan mesafe (R), O-M mesafesi ve M yarıçapının toplamıdır.

4

Alanları hesapla ve oranla

M merkezli daire alanı:

A_1 = \pi r^2

. O merkezli daire dilimi alanı:

A_2 = \pi R^2 \cdot \frac{60}{360} = \pi (3r)^2 \cdot \frac{1}{6} = 9\pi r^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3\pi r^2}{2}

. Oran:

\frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi r^2 / 2}{\pi r^2} = \frac{3}{2}

.

Formüller yerine konularak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Bir açı içine yerleştirilen teğet çemberin merkezi, açının açıortayı üzerindedir. Bu özellik kullanılarak yarıçaplar arasında bağ kurulur.

İpuçları

1

Şekli zihninizde canlandırın: Küçük dairenin merkezi (M), büyük daire diliminin merkezi (O) ve teğet noktaları arasında nasıl bir geometrik ilişki vardır? Merkezleri birleştiren doğruyu çizin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Şekildeki $O$ merkezli dairesel bir duvar saatinin yarıçapı $15$ cm'dir. Bu saatin dış çerçevesini süslemek için bir sıra tel kullanılacaktır. Buna göre, kullanılacak telin uzunluğu en az kaç cm'dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

45

90

180

225

675

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Dairenin çevre uzunluğu 90 cm olarak hesaplanır.

Dairenin çevre uzunluğu,

2 \cdot \pi \cdot r

formülü ile bulunur. Verilen

r = 15

ve

\pi = 3

değerleri formülde yerine yazıldığında

2 \cdot 3 \cdot 15 = 90

cm sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen bilgileri ve istenen formülü belirleyelim.

Yarıçap

r = 15

cm,

\pi = 3

, Çevre formülü:

C = 2\pi r

Dairenin çevresini hesaplamak için yarıçap ve sabit pi sayısının formülde yerine konulması gerekir.

2

Değerleri çevre formülünde yerine yerleştirerek çarpma işlemini yapalım.

C = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90

cm

Çevreyi bulmak için formüldeki tüm çarpanların çarpılması sonucunda toplam uzunluğa ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Çevresi

İpuçları

1

Bir çemberin çevresini bulmak için yarıçap ve pi sayısını içeren

2\pi r

formülünü hatırlayınız.

2

Soruda yarıçap (

r

) 15 cm,

\pi

ise 3 olarak verilmiştir. Bu değerleri

2 \cdot \pi \cdot r

ifadesinde yerine koyun.

3

İşlem şu şekildedir:

2 \times 3 \times 15

. Bu çarpımın sonucu size doğru cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen bir dairenin alanını

\pi r^2

formülü ile hesaplayarak çevre ve alan arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dairenin çevresi aynı zamanda 'Çap ×

\pi

' (

d \cdot \pi

) formülü ile de bulunabilir. Burada yarıçap 15 cm ise çap 30 cm'dir.

30 \cdot 3 = 90

cm sonucu bu yolla da elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 3Soru →

Bir belediyenin park düzenleme çalışmaları kapsamında, merkezine dairesel bir çiçek tarhı yapılması planlanmaktadır. Bu çiçek tarhının yarıçapı $r = 6$ metre olarak belirlenmiştir. Buna göre, yapılacak olan bu çiçek tarhının toplam alanı kaç metrekaredir? ( $\pi = 3$ alınız.)

12

18

36

108

216

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dairesel çiçek tarhının alanı 108 metrekaredir.

Dairenin alanı hesaplanırken

\pi r^2

formülü kullanılır. Soruda verilen yarıçap

r = 6

ve

\pi = 3

değerleri yerine konulduğunda;

3 \times (6^2) = 3 \times 36 = 108

sonucuna ulaşılır. Bu nedenle 108 metrekare olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Dairenin alan formülünü hatırlayalım.

Alan =

\pi \times r^2

Bir dairenin düzlemde kapladığı bölgenin büyüklüğü yarıçapın karesi ile sabit bir sayı olan pi sayısının çarpımına eşittir.

2

Soruda verilen yarıçap (

r = 6

) ve

\pi = 3

değerlerini formülde yerine yazalım.

Alan =

3 \times 6^2

Problemi çözmek için verilen sayısal verileri standart formüle yerleştirmemiz gerekir.

3

İşlem önceliğine uyarak önce yarıçapın karesini hesaplayalım.

6^2 = 36

Matematiksel işlemlerde üslü ifadeler, çarpma işleminden önce gerçekleştirilir.

4

Elde edilen kare sonucunu

\pi

değeri ile çarparak nihai alanı bulalım.

3 \times 36 = 108

Formülün son aşaması olan çarpma işlemi ile çiçek tarhının toplam alanına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Alanı

İpuçları

1

Bir dairenin iç bölgesinin büyüklüğünü bulmak için alan formülünü kullanmalısınız.

2

Alan formülü

\pi \times r^2

şeklindedir. Burada

r

yarıçapı temsil eder.

3

Önce

6^2

işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu soruda verilen

\pi = 3

değeriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen başka bir dairenin çevresini hesaplayarak çevre ve alan formülleri arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Kenar uzunlukları $4$ metre ve $6$ metre olan dikdörtgen biçimindeki bir yapının $A$ köşesine, uzunluğu $12$ metre olan bir ip ile bir cisim bağlanmıştır. Cisim, yapının içine girmeden ve ip gergin olacak şekilde yapının etrafında hareket ettirilmektedir.

Buna göre, bu cismin tarayabileceği bölgenin alanı en çok kaç $\pi$ metrekaredir?

133

134

144

125

108

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 134

Cevap

Cismin taradığı toplam alan

134\pi

metrekaredir.

İp

A

köşesine bağlıdır ve dikdörtgenin çevresine sarıldıkça hareket yarıçapı azalır. Toplam alan 4 parçadan oluşur:
1.

A

merkezli,

12

br yarıçaplı,

270^\circ

lik dilim:

\frac{3}{4}\pi(12^2) = 108\pi

2.

B

merkezli,

(12-6)=6

br yarıçaplı,

90^\circ

lik dilim:

\frac{1}{4}\pi(6^2) = 9\pi

3.

D

merkezli,

(12-4)=8

br yarıçaplı,

90^\circ

lik dilim:

\frac{1}{4}\pi(8^2) = 16\pi

4.

C

merkezli,

(12-10)=2

br yarıçaplı,

90^\circ

lik dilim:

\frac{1}{4}\pi(2^2) = 1\pi

Toplam:

134\pi

.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi parçalara ayır

İpin hareketi, engellere takıldıkça yarıçapı değişen daire dilimleri oluşturur. Alan 4 ana bölgeye ayrılır.

İp her köşeyi döndüğünde dönme merkezi değişir ve yarıçap o kenar uzunluğu kadar kısalır.

2

Ana daire diliminin alanını hesapla (Merkez A)

Alan =

\frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{3}{4} \cdot 144\pi = 108\pi

Dikdörtgenin iç açısı

90^\circ

olduğundan, ipin dışarıda taradığı açı

360^\circ - 90^\circ = 270^\circ

olur.

3

İkinci daire diliminin alanını hesapla (Merkez B, Kenar 6m tarafı)

Yarıçap

r_2 = 12 - 6 = 6

m. Alan =

\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi

İp B köşesini döndüğünde yarıçap 6 metre kısalır ve

90^\circ

lik bir dönüş yapar.

4

Üçüncü daire diliminin alanını hesapla (Merkez D, Kenar 4m tarafı)

Yarıçap

r_3 = 12 - 4 = 8

m. Alan =

\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi

İp D köşesini döndüğünde yarıçap 4 metre kısalır ve

90^\circ

lik bir dönüş yapar.

5

Son köşe C'deki küçük daire dilimini hesapla

Yarıçap

r_4 = 12 - (6+4) = 2

m. Alan =

\frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = 1\pi

İp her iki taraftan da C köşesine ulaştığında elinde

2

metre pay kalır (

12 > 6+4

). Bu kısım C köşesinde

90^\circ

lik son bir alan tarar.

6

Tüm alanları topla

Toplam Alan =

108\pi + 9\pi + 16\pi + 1\pi = 134\pi

Ayrık bölgelerin alanları toplanarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Dairede Alan ve Yay Uzunluğu (İpin sarılması problemi)

İpuçları

1

İp dikdörtgenin köşelerine takıldıkça, dönme merkezi o köşe olur ve hareketin yarıçapı kısalır.

2

Toplam alan 4 farklı daire diliminden oluşur: A merkezli büyük dilim, B ve D merkezli orta dilimler ve C merkezli en küçük dilim.

3

C köşesindeki en küçük daire diliminin yarıçapını bulmak için ipin toplam uzunluğundan (12), kenar uzunluklarının toplamını (6+4) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İpin uzunluğu dikdörtgenin çevresine eşit olsaydı taralı alan nasıl değişirdi?

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 5Soru →

Yarıçapı $12$ cm olan $O$ merkezli dairesel bir kağıt, bir kiriş boyunca katlanıyor. Katlama sonucunda, kağıdın katlanan yayı dairenin merkezi olan $O$ noktasından geçmektedir.

Buna göre, katlanan bu daire kesmesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

36\pi - 36\sqrt{3}

48\pi - 48\sqrt{3}

48\pi - 36\sqrt{3}

48\pi + 36\sqrt{3}

72\pi - 36\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $48\pi - 36\sqrt{3}$

Cevap

Katlanan daire kesmesinin alanı

48\pi - 36\sqrt{3}

\text{cm}^2

'dir.

Katlanan yayın merkeze değmesi, katlama kirişinin merkeze uzaklığının yarıçapın yarısı (

r/2

) olduğunu gösterir. Bu durumda oluşan merkez açı

120^\circ

olur. İstenen alan,

120^\circ

'lik daire diliminin alanından, ilgili ikizkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur:

48\pi - 36\sqrt{3}

.

Adım Adım Çözüm

1

Katlama geometrisini analiz et

Katlanan yay

O

noktasından geçtiğine göre, katlama çizgisi (kiriş) ile yay arasındaki en uzak mesafe yarıçapın yarısıdır (

r/2

). Kirişin merkeze uzaklığı

h = r/2 = 6

cm olur.

Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktası merkeze değiyorsa, kiriş bu mesafeyi ortalar.

2

Merkez açıyı hesapla

Oluşan dik üçgende hipotenüs

r=12

, dik kenar

6

olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açının yarısı

60^\circ

, tamamı

\alpha = 120^\circ

olur.

\cos(\theta) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ

. Merkez açı

2\theta = 120^\circ

.

3

Daire diliminin alanını bul

Alan

_{dilim} = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = \pi (144) \cdot \frac{1}{3} = 48\pi

\text{cm}^2

.

Daire alanı formülü

\pi r^2

ve açı oranı kullanılır.

4

Üçgenin alanını hesapla

Alan

_{üçgen} = \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

İkizkenar üçgenin alan formülü:

\frac{1}{2} a b \sin(\alpha)

.

5

Daire kesmesinin alanını bul

Alan

_{kesme} = \text{Alan}_{dilim} - \text{Alan}_{üçgen} = 48\pi - 36\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Katlanan parça (daire kesmesi), daire diliminden üçgenin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Kesmesinin Alanı ve Katlama Problemleri

Soru 6Soru →

Kenar uzunlukları $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi ( $O_1$ merkezli) çiziliyor. Daha sonra, üçgenin dik köşesi ile bu iç teğet çember arasına; hem dik kenarlara hem de iç teğet çembere teğet olacak şekilde $O_2$ merkezli daha küçük bir çember yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen bu küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

6 - 4\sqrt{2}

3 - 2\sqrt{2}

4 - 2\sqrt{2}

2\sqrt{2} - 2

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 - 4\sqrt{2}$

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı

6 - 4\sqrt{2}

cm'dir.

Büyük çemberin yarıçapı 2 cm olarak bulunur. Köşedeki küçük çember ile büyük çember arasındaki teğetlik ilişkisi ve köşeye olan uzaklıklar kullanılarak denklem kurulduğunda yarıçap

6 - 4\sqrt{2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını (

r_1

) hesapla.

r_1 = \frac{6+8-10}{2} = 2

cm.

Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a+b-c}{2}

formülüyle veya Alan =

u \cdot r

bağıntısıyla bulunur.

2

Çember merkezlerinin dik köşeye olan uzaklıklarını ifade et.

|B O_1| = r_1\sqrt{2} = 2\sqrt{2}

ve

|B O_2| = r_2\sqrt{2}

.

Çemberler eksenlere teğet olduğunda merkezler açıortay (45°) üzerindedir ve köşeye uzaklık

r\sqrt{2}

olur.

3

Merkezler arası uzaklık bağıntısını kur ve denklemi oluştur.

|B O_1| = |B O_2| + |O_2 O_1| \Rightarrow 2\sqrt{2} = r_2\sqrt{2} + (2 + r_2)

.

Çemberler birbirine dıştan teğet olduğundan merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına (

r_1 + r_2

) eşittir.

4

Oluşan denklemden

r_2

değerini çöz.

2\sqrt{2} - 2 = r_2(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}

.

r_2

parantezine alıp yalnız bırakma işlemi.

5

Paydayı rasyonel yaparak sonucu sadeleştir.

r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}

.

Köklü ifadelerde paydayı eşlenik ile çarparak sadeleştirme.

Anahtar Kavram

İç Teğet Çember ve Teğet Çemberler Geometrisi

İpuçları

1

Önce 6-8-10 üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapını (

r_1

) bulunuz. Dik üçgenler için

r = (a+b-c)/2

formülünü hatırlayın.

2

Çemberlerin merkezleri ile üçgenin dik köşesi aynı doğru üzerindedir (açıortay). Bu doğru üzerinde uzaklıkları yazarak bir eşitlik kurmayı deneyin.

3

Dik köşeye

B

dersek,

|BO_1| = |BO_2| + |O_1O_2|

olmalıdır.

|BO| = r\sqrt{2}

ve

|O_1O_2| = r_1 + r_2

bağıntılarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içine yerleştirilen sonsuz çember serisi için çalışarak geometrik dizi toplamlarını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir. Köşeye olan uzaklıkların oranı yarıçapların oranına eşittir:

\frac{r_2}{r_1} = \frac{r_2\sqrt{2}}{r_1\sqrt{2}}

. Bu yöntem daha karmaşık olabilir, uzaklık denklemi daha doğrudandır.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 7Soru →

Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin, çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık kaç cm'dir?

\sqrt{2}

2

\sqrt{5}

3

2\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{5}$

Cevap

İki merkez arasındaki uzaklık \sqrt{5} cm'dir.

Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin hipotenüsü 10'dur. Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin merkezi ise dik köşeden (r, r) yani (2, 2) koordinatındadır. Koordinat sisteminde dik köşeyi (0,0) kabul edersek, İç Merkez I(2,2) ve Çevrel Merkez O(4,3) olur. İki nokta arası uzaklık formülünden: \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotenüs uzunluğunu ve çevrel çemberin yarıçapını (R) belirle.

Hipotenüs = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 cm. Çevrel çemberin yarıçapı R = 5 cm (hipotenüsün yarısı).

Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçap hipotenüsün yarısıdır.

2

İç teğet çemberin yarıçapını (r) hesapla.

r = (a + b - c) / 2 formülünden, r = (6 + 8 - 10) / 2 = 2 cm.

Dik üçgenlerde iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.

3

Merkezler arası uzaklığı (d) hesapla. (Yöntem 1: Euler Teoremi)

d² = R(R - 2r) formülünde yerine koyarsak: d² = 5(5 - 2(2)) = 5(1) = 5. Buradan d = \sqrt{5} cm.

Üçgenlerde çevrel çember merkezi ile iç teğet çember merkezi arasındaki uzaklık Euler teoremi ile hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ilişki ve Euler teoremi.

İpuçları

1

Önce 6-8-10 üçgeninin hipotenüsünü bulun. Çevrel çemberin merkezi dik üçgende nerede bulunur?

2

Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin yarıçapını r = (a+b-c)/2 formülüyle bulabilirsiniz.

3

Dik köşeyi orijin (0,0) kabul edin. İç teğet çemberin merkezi (r, r), çevrel çemberin merkezi ise (a/2, b/2) değildir; hipotenüsün ortasıdır. Koordinatları belirleyip uzaklık formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu çeşitkenar bir üçgen için Euler teoremini kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi yerine doğrudan Euler Teoremi kullanılabilir: d² = R(R - 2r). Burada R=5 ve r=2 değerleri yerine konularak d² = 5(5-4) = 5 bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 8Soru →

O merkezli bir çemberin dışındaki bir P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir. Çemberin yarıçapı $5$ cm ve $|PT| = 12$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?

7

8

12

13

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

P noktasının çembere olan en kısa uzaklığı 8 cm'dir.

Soruda verilenler bir dik üçgen oluşturur. Yarıçap (

r=5

) ve teğet uzunluğu (

12

) dik kenarlardır. Pisagor bağıntısı veya 5-12-13 özel üçgeni yardımıyla P noktasının merkeze uzaklığı 13 cm bulunur. Çembere olan en kısa uzaklık ise merkeze olan uzaklıktan yarıçapın farkıdır (

13 - 5 = 8

).

Adım Adım Çözüm

1

Teğet özelliğini kullanarak dik üçgeni oluşturma

Çemberin merkezini O olarak alırsak, yarıçap teğete değme noktasında diktir (

OT \perp PT

). Böylece OPT dik üçgeni oluşur.

Bir çemberde yarıçap, teğet noktasına diktir.

2

Pisagor bağıntısını uygulama

|OT|^2 + |PT|^2 = |PO|^2

formülünden

5^2 + 12^2 = |PO|^2 \Rightarrow 25 + 144 = 169

. Buradan

|PO| = 13

cm bulunur.

Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

3

En kısa uzaklığı hesaplama

P noktasının çembere en kısa uzaklığı, merkeze olan uzaklıktan yarıçapın çıkarılmasıyla bulunur:

|PO| - r = 13 - 5 = 8

cm.

Bir noktanın çembere en kısa uzaklığı, o noktayı merkeze birleştiren doğrunun çemberi kestiği nokta ile o nokta arasındaki mesafedir.

Anahtar Kavram

Bir noktadan çembere çizilen teğet, değme noktasında yarıçapa diktir ve oluşan dik üçgen (genellikle özel üçgenler) kullanılarak uzunluk hesaplanır.

İpuçları

1

Çemberin merkezi ile teğet noktasını birleştiren yarıçapın, teğet doğrusuna dik olduğunu hatırlayınız.

2

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak P noktasının merkeze olan uzaklığını (

|PO|

) bulunuz.

3

Merkeze olan uzaklık 13 cm'dir. Çembere olan en kısa uzaklığı bulmak için bu mesafeden yarıçapı çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda P noktasının çembere olan en uzak mesafesinin sorulduğu bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir çemberin içinde, birbirini dik kesen $[AB]$ ve $[CD]$ kirişleri $P$ noktasında kesişmektedir. $|AP| = 2$ cm, $|PB| = 6$ cm ve $|CP| = 3$ cm olduğuna göre, bu çemberin alanı kaç $\pi$ cm $^2$ 'dir?

13

15

16

\frac{65}{4}

\frac{49}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{65}{4}$

Cevap

Çemberin alanı

\frac{65}{4}\pi

cm

^2

'dir.

Çemberde kesişen kirişler için kuvvet bağıntısı (

2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD|

) kullanılarak

|PD|=4

bulunur. Kirişler birbirine dik olduğundan, yarıçap hesabı için

4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

formülü veya koordinat düzlemi mantığıyla merkez uzaklıkları kullanılabilir.

R^2 = 16.25

bulunur, alan

\frac{65}{4}\pi

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberde kuvvet bağıntısını kullanarak bilinmeyen parça uzunluğunu bul.

|AP| \cdot |PB| = |CP| \cdot |PD| \Rightarrow 2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD| \Rightarrow |PD| = 4

cm.

Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımı birbirine eşittir.

2

Çemberin merkezinin kirişlere olan uzaklıklarını ve yarıçapı hesapla.

|AB| = 8

cm (orta nokta M,

AM=4

),

|CD|=7

cm (orta nokta N,

CN=3.5

). Merkezden kirişlere inilen dikmeler kirişleri ortalar.

|MP| = |4-2| = 2

ve

|NP| = |3.5-3| = 0.5

.

Yarıçapı bulmak için merkezden kiriş uç noktasına pisagor uygulanır.

3

Pisagor bağıntısı ile yarıçapın karesini (

R^2

) hesapla.

Merkez

O

,

[AB]

kirişinin orta noktası

M

olsun.

OMB

dik üçgeninde:

R^2 = |OM|^2 + |MB|^2

.

|OM|

mesafesi,

P

noktasının diğer kirişe göre konumundan

0.5

cm bulunur.

R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25 = \frac{65}{4}

.

Çemberin alanı formülü için

R^2

değeri gereklidir.

4

Alan formülünü uygula.

Alan =

\pi R^2 = \frac{65}{4}\pi

.

Dairenin alanı

\pi R^2

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Kuvvet Bağıntısı

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Birbirini dik kesen kirişler için

4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

formülü kullanılabilir.

a=2, b=6, c=3, d=4

için

4R^2 = 4 + 36 + 9 + 16 = 65 \Rightarrow R^2 = 65/4

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir kenar uzunluğu $6$ cm olan bir $ABCD$ karesinin içine; $A$ ve $B$ köşeleri merkez kabul edilerek $6$ cm yarıçaplı iki çeyrek çember çiziliyor. Buna göre, kare içerisinde bu iki çember yayının kesişmesiyle oluşan kapalı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12\pi - 9\sqrt{3}

6\pi - 9\sqrt{3}

18\pi - 36

12\pi - 18\sqrt{3}

9\pi - 9\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12\pi - 9\sqrt{3}$

Cevap

12\pi - 9\sqrt{3}

ifadesi, iki adet

60^\circ

'lik daire diliminin alanından bir eşkenar üçgenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen doğru alandır.

Kare içinde oluşturulan

ABE

eşkenar üçgeninin açısı

60^\circ

olduğu için, her iki merkezden çizilen yaylar

60^\circ

'lik daire dilimleri oluşturur. Bu iki dilimin alanları toplamı (

6\pi + 6\pi = 12\pi

), ortak olan

ABE

eşkenar üçgeninin alanını (

9\sqrt{3}

) iki kez içerir. Bu nedenle toplam alandan bir kez üçgenin alanı çıkarılarak

12\pi - 9\sqrt{3}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim noktasını belirleme

Kesişim noktası

E

olsun.

|AE| = 6

cm ve

|BE| = 6

cm (yarıçaplar).

Her iki çemberin yarıçapı karenin bir kenarına (

6

cm) eşittir.

2

Eşkenar üçgeni tanımlama

|AB| = |AE| = |BE| = 6

cm olduğundan

ABE

üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Üç kenarı da yarıçap uzunluğuna eşit olan bir üçgen oluşur.

3

Merkez açıları hesaplama

m(\widehat{EAB}) = 60^\circ

ve

m(\widehat{EBA}) = 60^\circ

olur.

Eşkenar üçgenin iç açıları

60^\circ

'dir.

4

Daire dilimi ve üçgen alanlarını hesaplama

60^\circ

'lik dilim alanı

= \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = 6\pi

. Eşkenar üçgen alanı

= \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

.

Daire dilimi alanı

\frac{\alpha}{360} \pi r^2

ve eşkenar üçgen alanı

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

formülleriyle bulunur.

5

Toplam taralı alanı bulma

Alan

= \text{Alan}(A\text{-}BE \text{ dilimi}) + \text{Alan}(B\text{-}AE \text{ dilimi}) - \text{Alan}(ABE \text{ üçgeni}) = 6\pi + 6\pi - 9\sqrt{3} = 12\pi - 9\sqrt{3}

.

İki dilim toplandığında ortadaki eşkenar üçgen iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Daire dilimlerinin kesişim bölgesinin alanı, kapsayıcı geometrik şekillerin alan farkları ve trigonometrik oranlar kullanılarak hesaplanır.

İpuçları

1

Karenin kenarı ile çemberlerin yarıçapları arasındaki ilişkiye dikkat edin.

2

Yayların kesişim noktasını köşelerle birleştirdiğinizde oluşan üçgenin türünü belirleyin.

3

Oluşan eşkenar üçgenin açısının

60^\circ

olduğunu kullanarak dilim alanlarını toplayın ve ortak bölgeyi çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Bu soruyu, çeyrek çemberlerin merkezlerini karşı köşeler (

C

ve

D

) olarak değiştirerek tekrar çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunun içine, tüm kenarlarına teğet olan $O$ merkezli bir çember çizilmiştir. Çemberin yarıçapı $6$ cm ve yamuğun yan kenarlarından (paralel olmayan kenarlar) birinin uzunluğu $13$ cm'dir.

Buna göre, bu yamuğun alanı kaç cm $^2$ dir?

78

144

156

312

169

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Yamuğun alanı 156 cm

^2

dir.

Soruda verilen şekil hem bir ikizkenar yamuk hem de bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeni özelliğine göre, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir (Alt taban + Üst taban = Yan kenar + Yan kenar). Yan kenar

13

cm verildiğinden, tabanların toplamı

13 + 13 = 26

cm olur. Çember tabanlara teğet olduğu için yamuğun yüksekliği çemberin çapına (

2r = 12

cm) eşittir. Alan formülü uygulandığında sonuç

156

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini belirle.

Çember yamuğun tabanlarına teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği (

h

) çemberin çapına eşittir.

h = 2r = 2 \times 6 = 12

cm.

İç teğet çemberin çapı, paralel kenarlar arasındaki dik uzaklığa eşittir.

2

Teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak taban uzunlukları toplamını bul.

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşittir. Yan kenarlar

b=13

ve

d=13

olduğuna göre, tabanlar toplamı

a+c = 13+13 = 26

cm'dir.

Tüm kenarlara teğet olma şartı (teğetler dörtgeni), karşılıklı kenar toplamlarının eşitliğini gerektirir.

3

Yamuğun alanını hesapla.

Alan =

\frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156

cm

^2

.

Yamuk alan formülü: (Alt taban + Üst taban) / 2 x Yükseklik.

Anahtar Kavram

Teğetler Dörtgeni ve Yamuk Alanı İlişkisi

İpuçları

1

Şeklin bir 'teğetler dörtgeni' olduğunu hatırlayınız. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı hakkında ne söylenebilir?

2

Yamuğun içine çizilen çember tabanlara teğet olduğu için, yamuğun yüksekliği çemberin çapına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Bir dik yamuğun içine çizilen çemberin yarıçapı ve ayırdığı parçalar verildiğinde alan bulma sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısı ile tabanlar tek tek bulunabilir: Yükseklik

12

, yan kenar

13

ise dik üçgenden taban farkının yarısı

5

bulunur.

x-y=10

,

x+y=26

denklemleri kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çembere, dışındaki P noktasından çizilen teğetler çembere A ve B noktalarında değmektedir. m(APB) = 60° olduğuna göre, teğetler (PA, PB) ve çemberin küçük yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

36√3 - 12π

36√3 - 4π

36√3 - 6π

18√3 - 6π

36√3 - 3π

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36√3 - 12π

Cevap

36√3 - 12π

Taralı alan, merkez ile teğet değme noktalarının oluşturduğu PAOB dörtgeninin alanından, 120 derecelik daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dörtgenin alanı iki adet 30-60-90 üçgeninden oluşur ve 36√3 cm²'dir. Daire diliminin alanı ise 12π cm²'dir. Sonuç 36√3 - 12π olur.

Adım Adım Çözüm

1

Merkez açı m(AOB)'nin bulunması

PAOB dörtgeninde A ve B açıları 90°'dir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan, m(AOB) = 360° - (90° + 90° + 60°) = 120° bulunur.

Teğetler yarıçapa diktir ve dörtgenin iç açıları toplamı sabittir.

2

PAOB dörtgeninin alanının hesaplanması

PO çizildiğinde açıortay olur ve m(APO)=30° olur. PAO üçgeni 30-60-90 üçgenidir. |OA|=6 ise |PA|=6√3 olur. Alan(PAO) = (6.6√3)/2 = 18√3. Dörtgen alanı = 2 . 18√3 = 36√3 cm².

Deltoid alanı iki eş dik üçgenin alanları toplamıdır.

3

Daire diliminin alanının hesaplanması

Alan = π.r² . (α/360) = π.6² . (120/360) = 36π . (1/3) = 12π cm².

120 derecelik daire dilimi tam dairenin üçte biridir.

4

Taralı alanın bulunması

Taralı Alan = Alan(PAOB) - Alan(Daire Dilimi) = 36√3 - 12π.

Toplam alandan daire dilimi çıkarılarak aradaki bölge bulunur.

Anahtar Kavram

Teğet Özellikleri ve Dairede Alan

İpuçları

1

Teğetler değme noktalarında yarıçapa diktir (90°). Bu özellik sayesinde merkezdeki O açısını bulabilirsiniz.

2

Şekilde oluşan PAOB dörtgeninin alanını bulmak için P ile O noktasını birleştirerek iki eş dik üçgen oluşturun.

3

PAO üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir. Üçgenlerin toplam alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, teğetler arasındaki açı 90 derece veya 120 derece olacak şekilde çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Yarıçapı $12$ cm olan daire biçimindeki bir kağıt, bir kiriş boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlama sonucunda, daire yayının en uç noktası dairenin merkezi olan $O$ noktası ile çakışmaktadır. Buna göre, katlanan bu daire parçasının (daire kesmesinin) alanı kaç cm²'dir?

24\pi - 18\sqrt{3}

36\pi - 24\sqrt{3}

48\pi - 36\sqrt{3}

48\pi - 24\sqrt{3}

60\pi - 36\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $48\pi - 36\sqrt{3}$

Cevap

Katlanan parçanın alanı

48\pi - 36\sqrt{3}

cm²'dir.

Katlanan yayın daire merkezine değmesi, katlama çizgisinin (kirişin) merkeze olan uzaklığının yarıçapın yarısı (

r/2

) olduğunu gösterir. Yarıçap

12

cm olduğundan kirişin merkeze uzaklığı

6

cm'dir. Bu durumda oluşan dik üçgende hipotenüs

12

, dik kenar

6

olduğundan merkez açı

2 \times 60^\circ = 120^\circ

bulunur. İstenen alan,

120^\circ

'lik daire diliminin alanından (

48\pi

), ilgili ikizkenar üçgenin alanının (

36\sqrt{3}

) çıkarılmasıyla

48\pi - 36\sqrt{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Katlama geometrisini analiz et

Katlanan yayın tepe noktası merkeze değdiği için, kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır:

h = r/2 = 12/2 = 6

cm.

Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktasının kirişe uzaklığı ile merkezin kirişe uzaklığı eşittir.

2

Merkez açıyı hesapla

Merkezden kirişe inilen dikme, yarıçap ve kiriş ucu arasında oluşan dik üçgende

\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2

olduğundan yarı açı

\alpha = 60^\circ

, toplam merkez açı

120^\circ

olur.

Daire diliminin alanını bulmak için merkez açının bilinmesi gerekir.

3

Daire diliminin alanını hesapla

Alan =

\pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = 144\pi \cdot \frac{1}{3} = 48\pi

cm².

Daire kesmesinin alanı, daire dilimi alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

4

Üçgenin alanını hesapla

Kiriş uzunluğu

2 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12\sqrt{3}

cm. Üçgen Alanı =

\frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3}

cm².

Merkez açısı

120^\circ

olan ikizkenar üçgenin alanı.

5

Sonucu bul

Kesme Alanı = Dilim Alanı - Üçgen Alanı =

48\pi - 36\sqrt{3}

cm².

Boyalı bölge bir daire kesmesidir.

Anahtar Kavram

Bir dairede kiriş boyunca katlama yapıldığında yay merkeze değiyorsa, kirişin merkeze uzaklığı yarıçapın yarısıdır ve merkez açı

120^\circ

olur.

İpuçları

1

Kağıt katlandığında yayın merkeze değmesi, kirişin merkeze olan uzaklığı hakkında size ne söyler? Şekli açtığınızı düşünün.

2

Kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır (

r/2

). Bu bilgiyi kullanarak merkezde oluşan üçgenin açılarını bulun.

3

Merkezden kirişe dik indiğinizde oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açı

120^\circ

olacaktır. Daire kesmesinin alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen bir dairede,

60^\circ

'lik yayı gören kirişin ayırdığı parçanın alanını hesaplayınız.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 14Soru →

Yarıçapı $12$ birim olan $O$ merkezli bir daireden, merkez açısının ölçüsü $60^{\circ}$ olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Elde edilen bu daire diliminin içine; dilimin her iki yarıçapına ve yayına teğet olacak şekilde $M$ merkezli en büyük çember yerleştiriliyor. Buna göre, $M$ merkezli çemberin alanı kaç birimkaredir?

9\pi

12\pi

16\pi

24\pi

36\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16\pi$

Cevap

16\pi

birimkare

Çemberin merkezi ile dilimin merkezi birleştirildiğinde oluşan

30-60-90

üçgeninden çemberin yarıçapı (

r

), dilimin yarıçapının (

R

) üçte biri (

r = R/3

) olarak bulunur.

R=12

ise

r=4

olur ve alan

16\pi

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Şekli zihinde canlandırarak merkezleri birleştiren doğruyu çiz.

O

noktası (dilim merkezi),

M

noktası (çember merkezi) ve

T

noktası (yay üzerindeki teğet noktası) doğrusaldır.

Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları aynı doğru üzerindedir.

2

M

merkezinden teğet noktasına dik indirerek oluşan dik üçgeni incele.

OM

doğrusu açıortaydır, dolayısıyla

60^{\circ}

'lik açıyı

30^{\circ}-30^{\circ}

böler. Oluşan dik üçgende hipotenüs

|OM| = 2r

olur (

\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{|OM|}

olduğu için).

30-60-90

üçgeninde hipotenüs,

30^{\circ}

'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

3

Büyük dairenin yarıçapı (

R

) ile küçük çemberin yarıçapı (

r

) arasındaki bağıntıyı kur.

R = |OM| + r = 2r + r = 3r

. Soruda

R=12

verildiğinden,

12 = 3r

ise

r = 4

birim bulunur.

Dilimin yarıçapı, merkezden yaya kadar olan toplam mesafedir.

4

Çemberin alanını hesapla.

Alan

= \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi

birimkare.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Bir açıya ve bir yaya teğet olan çember problemlerinde, merkezleri birleştiren doğrunun açıortay olduğu ve oluşan dik üçgen özelliklerinin kullanılması gerekir.

İpuçları

1

Dilimin merkezi

O

ile çemberin merkezi

M

'yi birleştiren bir doğru çizmeyi dene. Bu doğru açıortaydır.

2

Oluşan dik üçgende

30^{\circ}

'nin karşısındaki kenar

r

ise, hipotenüs (

OM

uzunluğu) kaç

r

olur?

3

Dilimin yarıçapı

R=12

, aynı zamanda

|OM| + r

toplamına eşittir.

|OM|=2r

olduğuna göre

3r=12

eşitliğini kullanabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

90^{\circ}

'lik çeyrek daire dilimi için çözerek

R

ve

r

arasındaki ilişkinin nasıl değiştiğini (

R = r(1+\sqrt{2})

) inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir ancak dik üçgen yöntemi en pratik olanıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

$O$ merkezli ve yarıçapı $6$ cm olan bir çembere, çemberin dışındaki bir $P$ noktasından $[PA]$ ve $[PB]$ teğetleri çiziliyor. $|PA| = 6\sqrt{3}$ cm olduğuna göre; $[PA]$ , $[PB]$ doğru parçaları ve çemberin $AB$ küçük yayı arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ ’dir?

36\sqrt{3} - 12\pi

18\sqrt{3} - 12\pi

36\sqrt{3} - 6\pi

36\sqrt{3} - 18\pi

18\sqrt{3} - 6\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $36\sqrt{3} - 12\pi$

Cevap

36\sqrt{3} - 12\pi

Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğetler yarıçapa diktir.

OAP

dik üçgeninde

30^\circ-60^\circ-90^\circ

bağıntısı kullanılarak merkez açının

120^\circ

olduğu bulunur. Dörtgenin alanından (

36\sqrt{3}

) bu merkez açıya sahip daire diliminin alanı (

12\pi

) çıkarıldığında istenen bölge elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet özelliklerini belirleme

OA \perp AP

ve

OB \perp BP

Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir.

2

OAP

dik üçgeninde açıları bulma

\tan(\angle APO) = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle APO = 30^\circ, \angle AOP = 60^\circ

Dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranı tanjant değerini verir.

3

Dörtgenin merkez açısını ve toplam alanını hesaplama

\angle AOB = 120^\circ

,

\text{Alan}(OAPB) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}) = 36\sqrt{3}

\text{cm}^2

Simetri nedeniyle

OAPB

dörtgeni iki eş dik üçgenden oluşur.

4

Daire diliminin alanını hesaplama

\text{Alan(Dilim)} = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 12\pi

\text{cm}^2

120^\circ

’lik merkez açıya sahip daire diliminin alanı

\pi r^2 \frac{\alpha}{360}

formülüyle bulunur.

5

Taralı alanı bulma

36\sqrt{3} - 12\pi

Sınırlı bölgenin alanı, dıştaki dörtgenin alanından içteki daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Teğet-yarıçap dikliği ve daire dilimi alanı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Alanı $48 \text{ cm}^2$ olan bir daire verilmiştir. $\pi = 3$ olduğuna göre, bu dairenin çevresi kaç cm'dir?

8

12

16

24

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dairenin çevresi 24 cm'dir.

Verilen alan bilgisi kullanılarak

3 \cdot r^2 = 48

eşitliğinden yarıçap

r = 4 \text{ cm}

olarak hesaplanır. Bu yarıçap değeri çevre formülünde yerine yazıldığında (

2 \cdot 3 \cdot 4

) sonuç 24 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dairenin alan formülünü (

A = \pi r^2

) kullanarak yarıçapı (

r

) bulunuz.

48 = 3 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ cm}

Çevreyi hesaplayabilmek için öncelikle dairenin temel ölçüsü olan yarıçapı belirlemek gerekir.

2

Bulunan yarıçap değerini çevre formülünde (

Ç = 2\pi r

) yerine koyunuz.

Ç = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ cm}

Yarıçapı bilinen bir dairenin çevresi, yarıçapın

2\pi

katına eşittir.

Anahtar Kavram

Dairede alan ve çevre formülleri arasındaki geçiş

İpuçları

1

Dairenin alanı

\pi \cdot r^2

ve çevresi

2 \cdot \pi \cdot r

formülleri ile hesaplanır. Burada

r

yarıçapı temsil eder.

2

Önce

3 \cdot r^2 = 48

denklemini çözerek yarıçapı (

r

) bulunuz.

3

Yarıçapı 4 cm olarak bulduktan sonra, çevre formülünde

\pi

yerine 3 ve

r

yerine 4 yazarak işlemi tamamlayınız.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin çevresi ile alanı arasındaki sayısal farkın ne kadar olduğunu hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 17Soru →

Kenar uzunlukları 8 cm, 15 cm ve 17 cm olan üçgensel bir metal levhadan, bu levhanın içine sığabilecek en büyük alana sahip dairesel parça kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilecek bu dairesel parçanın alanı kaç $\pi$ cm $^2$ dir?

6

9

16

25

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9

Verilen kenar uzunlukları (8, 15, 17) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin içine çizilebilecek en büyük daire, iç teğet çemberidir. Üçgenin alanı

A(ABC) = u \cdot r

formülüyle ilişkilidir. Üçgenin alanı

60

cm

^2

ve yarı çevresi

u=20

cm olduğundan, iç teğet çemberin yarıçapı

r=3

cm bulunur. Dairenin alanı ise

\pi r^2 = 9\pi

cm

^2

dir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin türünü belirle.

Kenarlar 8-15-17 olduğu için,

8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2

sağlar. Bu bir dik üçgendir.

Pisagor teoreminin tersi gereği kenar uzunlukları bu bağıntıyı sağlayan üçgen dik üçgendir.

2

Üçgenin alanını hesapla.

Alan =

\frac{8 \times 15}{2} = 60

cm

^2

.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

3

Üçgenin çevresini ve yarı çevresini (u) bul.

Çevre =

8 + 15 + 17 = 40

cm. Yarı çevre

u = \frac{40}{2} = 20

cm.

İç teğet çemberin yarıçapı formülü için yarı çevreye ihtiyaç vardır.

4

İç teğet çemberin yarıçapını (r) bul.

Alan =

u \cdot r \Rightarrow 60 = 20 \cdot r \Rightarrow r = 3

cm.

Bir üçgenin alanı, yarı çevresi ile iç teğet çemberinin yarıçapının çarpımına eşittir.

5

Dairesel parçanın (dairenin) alanını hesapla.

Alan =

\pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi

cm

^2

.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

İç Teğet Çember ve Alan Bağıntısı

İpuçları

1

Üçgenin kenar uzunluklarına dikkat edin (8-15-17). Bu özel bir üçgen türü olabilir mi?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Bir makine parçasının tasarımı için, $O$ merkezli ve yarıçapları $6$ cm ve $10$ cm olan iki çember arasındaki bölgeden, merkez açısı $135^\circ$ olan bir parça kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, kesilip çıkarılan bu parçanın alanı kaç $\pi$ $\text{cm}^2$ 'dir?

6

8

16

24

51

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kesilen parçanın alanı 24\pi cm²'dir.

İki daire arasında kalan bölgenin (halka) alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Burada sadece

135^\circ

'lik bir dilim sorulduğu için, tam halkanın alanını

\frac{135}{360}

oranıyla çarpmamız gerekir.

\pi(10^2 - 6^2) \cdot \frac{3}{8} = 64\pi \cdot \frac{3}{8} = 24\pi

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Şeklin bir 'halka dilimi' (annulus sector) olduğunu belirle ve ilgili alan formülünü hatırla.

Alan =

\frac{\alpha}{360} \cdot \pi (R^2 - r^2)

Büyük daire diliminin alanından küçük daire diliminin alanı çıkarılmalıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koy.

\alpha = 135^\circ

,

R = 10

,

r = 6

Soruda verilen dış ve iç yarıçaplar ile merkez açı kullanılır.

3

Yarıçapların kareleri farkını ve açı oranını hesapla.

R^2 - r^2 = 100 - 36 = 64

ve

\frac{135}{360} = \frac{3}{8}

İşlemi sadeleştirmek için oranları bulmak gerekir.

4

Sonucu hesapla.

Alan =

\frac{3}{8} \cdot 64\pi = 3 \cdot 8\pi = 24\pi

Çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Halka Diliminin Alanı

Soru 19Soru →

Şekilde O merkezli, $[OA]$ ve $[OB]$ yarıçaplı bir çeyrek daire ile $[OA]$ çaplı yarım daire verilmiştir. Bu çeyrek dairenin içine; $[OB]$ yarıçapına, çeyrek daire yayına ve $[OA]$ çaplı yarım daireye teğet olacak şekilde $M$ merkezli küçük bir çember çizilmiştir.

$|OA| = 12$ cm olduğuna göre, $M$ merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

2

3

4

2√3

3√2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

M merkezli çemberin yarıçapı 3 cm'dir.

Soruda verilen geometrik yapıda, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları oluşturulduğunda iki adet dik üçgen bağıntısı ortaya çıkar. O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı

R=12

cm, yarım dairenin yarıçapı

6

cm ve aranan çemberin yarıçapı

r

'dir. Yarım dairenin merkezi

K

olsun.

M

merkezinden tabana inilen dikme

h

uzunluğunda olsun.

OKM

üçgeninde ve

OM

doğrusu üzerinde kurulan Pisagor bağıntıları çözüldüğünde genel kural olarak

R=4r

bağıntısı bulunur.

12 = 4r

olduğundan

r=3

cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Şekli analitik düzlemde veya dik üçgenler yardımıyla modelle.

O noktası (0,0), OA yarıçapı x ekseni üzerinde olsun. Büyük yarıçap R=12 cm. M merkezli çemberin yarıçapına r diyelim.

Teğet çember problemlerinde merkezleri birleştiren doğrular en temel çözüm yoludur.

2

M merkezinin koordinatlarını ve uzaklık bağıntılarını belirle.

M çemberi [OB] kenarına (y ekseni) teğet olduğundan M'nin apsisi r olur. M(r, h) diyelim. O noktasına uzaklığı (R-r), [OA] üzerindeki yarım dairenin merkezi K'ya uzaklığı (R/2 + r) olur.

İçten teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar farkı, dıştan teğetlerde ise yarıçaplar toplamıdır.

3

Merkezler arası uzaklıklar için Pisagor bağıntılarını yaz.

1. O-M uzaklığı için:

r^2 + h^2 = (R-r)^2

2. K-M uzaklığı için (K noktası (6,0) noktasındadır):

(r-6)^2 + h^2 = (6+r)^2

İki bilinmeyenli (r ve h) iki denklem elde ederek çözüme ulaşmak için.

4

İkinci denklemden h kareyi çek ve birinci denklemde yerine koy.

2. denklemden:

h^2 = (6+r)^2 - (r-6)^2 = (12)(2r) = 24r

.
1. denklemde yerine koy:

r^2 + 24r = (12-r)^2 \Rightarrow r^2 + 24r = 144 - 24r + r^2

.

Değişkenleri yok ederek r değerini bulmak için.

5

Elde edilen denklemi çöz.

24r = 144 - 24r \Rightarrow 48r = 144 \Rightarrow r = 3

.

Sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Teğet Çemberlerde Merkezlerin Birleştirilmesi

İpuçları

1

Teğet olan çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçalarını çizmeyi deneyin.

2

Küçük çemberin merkezi M, yarım dairenin merkezi K ve çeyrek dairenin merkezi O olsun. M noktasının K ve O noktalarına olan uzaklıklarını r cinsinden yazın.

3

Küçük çemberin merkezinin O noktasına uzaklığı

(12-r)

, K noktasına uzaklığı

(6+r)

olacaktır. Bu iki uzunluğu kullanarak iki farklı Pisagor bağıntısı kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu, yarım daire yerine iki eş çeyrek daire arasına sıkışmış tam daire için çözün.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Özel Durum): Bu geometri kalıbında (Çeyrek daire içine, bir kenarı çap kabul eden yarım daire ve araya sıkışan tam daire), büyük yarıçap daima küçük yarıçapın 4 katıdır (

R = 4r

).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 20Soru →

Merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $6$ cm olan bir daire verilmiştir. $\pi = 3$ alındığında, bu dairenin alanı çevresinden kaç $\text{cm}^2$ fazladır?

72

108

36

144

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Dairenin alanı 108 cm², çevresi 36 cm olup aradaki fark 72 cm²'dir.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülünden

3 \times 6^2 = 108

\text{cm}^2

olarak bulunur. Çevresi ise

2\pi r

formülünden

2 \times 3 \times 6 = 36

cm olarak hesaplanır. Aradaki fark olan 72 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Dairenin çevresini hesapla

Çevre

= 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 6 = 36

cm

Çevre formülü

2\pi r

olarak tanımlanır.

2

Dairenin alanını hesapla

Alan

= \pi \times r^2 = 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108

\text{cm}^2

Alan formülü

\pi r^2

olarak tanımlanır.

3

Alan ile çevre arasındaki farkı bul

108 - 36 = 72

\text{cm}^2

Soruda alanın çevreden ne kadar fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Dairede Alan ve Çevre Hesaplama

İpuçları

1

Dairenin çevre ve alan formüllerini ayrı ayrı uygulayın.

2

Çevre için

2\pi r

, alan için

\pi r^2

formülünü kullanın;

\pi

yerine 3,

r

yerine 6 yazın.

3

Bulduğunuz 108 alan değerinden 36 çevre değerini çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı iki katına çıkarıldığında alanın ve çevrenin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Formülleri ortak paranteze alarak

\pi r(r - 2)

şeklinde de hesaplayabilirsiniz:

3 \times 6 \times (6 - 2) = 18 \times 4 = 72

.

Tahmini Süre:1m 30s

Çember ve Daire

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap