Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Aşağıdaki şekilde, O1O_1 ve O2O_2 merkezli iki daire CC noktasında birbirine dıştan teğettir. [AB][AB] doğru parçası, bu iki daireye sırasıyla AA ve BB noktalarında teğettir.

O1O_1 merkezli dairenin yarıçapı 66 cm ve O2O_2 merkezli dairenin yarıçapı 22 cm olduğuna göre, bu daireler ile [AB][AB] doğru parçası arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}Cevap
  2. B
    163−6π16\sqrt{3} - 6\pi
  3. C
    123−22π312\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}
  4. D
    163−20π316\sqrt{3} - \frac{20\pi}{3}
  5. E
    32−10π32 - 10\pi

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} cm2\text{cm}^2 dir.
İki daire arasındaki boyalı alan, merkezlerin ve teğet noktalarının oluşturduğu dik yamuğun alanından, yamuğun içinde kalan daire dilimlerinin alanlarının çıkarılmasıyla bulunur. Yamuğun alanı 16316\sqrt{3}, dilimlerin alanları toplamı 22π3\frac{22\pi}{3} olduğundan doğru cevap 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} tür.

Adım Adım Çözüm

1
O1O_1 ve O2O_2 merkezlerini birleştiren doğruyu çiz ve merkezlerden teğet noktalarına (AA ve BB) dikmeler indir. Bu yapı bir dik yamuk oluşturur.
Merkezler arası uzaklık ∣O1O2∣=6+2=8|O_1O_2| = 6 + 2 = 8 cm dir.
Dıştan teğet dairelerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir.
2
O2O_2 noktasından O1AO_1A kenarına bir dikme ([O2H][O_2H]) indirerek bir dik üçgen oluştur ve teğet uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
Oluşan dik üçgende hipotenüs 88, dik kenar ∣O1H∣=6−2=4|O_1H| = 6-2=4 cm'dir. Pisagor veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden yükseklik ∣AB∣=43|AB| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Dik üçgende hipotenüs (88), dik kenarın (44) iki katı olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir.
3
O1ABO2O_1ABO_2 dik yamuğunun alanını hesapla.
Alan = 6+22⋅43=4⋅43=163\frac{6+2}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}
4
Yamuk içindeki daire dilimlerinin merkez açılarını belirle ve alanlarını hesapla.
O1O_1 açısı 60∘60^\circ, O2O_2 açısı 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ dir.
O1O_1 Dilim Alanı = π⋅62⋅60360=6π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi.
O2O_2 Dilim Alanı = π⋅22⋅120360=4π3\pi \cdot 2^2 \cdot \frac{120}{360} = \frac{4\pi}{3}.
Paralel kollarda (teğetler dik olduğu için) iç açılar toplamı 180180 derecedir.
5
Yamuk alanından daire dilimlerinin alanlarını çıkararak boyalı alanı bul.
163−(6π+4π3)=163−22π316\sqrt{3} - (6\pi + \frac{4\pi}{3}) = 16\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}.
Boyalı Alan = Yamuk Alanı - (Büyük Dilim Alanı + Küçük Dilim Alanı)

Anahtar Kavram

Teğet Çemberler ve Alan Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru