Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor. Buna göre,

[(A∖B)′∖B′]∪(A∖B) \left[ (A \setminus B)' \setminus B' \right] \cup (A \setminus B)

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    B
  2. A \cup BCevap
  3. C
    A \cap B
  4. D
    A
  5. E
    (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

Cevap

A \cup B
İfade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım [(A∖B)′∖B′][(A \setminus B)' \setminus B'] işlemi BB kümesine eşit çıkar. İkinci kısım ise (A∖B)(A \setminus B)'dir. BB kümesi ile (A∖B)(A \setminus B) kümesinin birleşimi, mantıksal olarak A ve B kümelerinin tamamını (A∪BA \cup B) kapsar.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantez içindeki fark işlemini kesişim cinsinden yaz.
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olduğundan ifade (A∩B′)′(A \cap B')' olur.
Kümelerde fark işlemi, ikinci kümenin tümleyeni ile kesişime eşittir.
2
De Morgan kuralını uygula.
(A∩B′)′=A′∪(B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B
Tümleme işlemi parantez içine dağıtılırken kesişim birleşime dönüşür.
3
Köşeli parantez içindeki ikinci fark işlemini uygula.
Expr =(A′∪B)∖B′=(A′∪B)∩(B′)′=(A′∪B)∩B= (A' \cup B) \setminus B' = (A' \cup B) \cap (B')' = (A' \cup B) \cap B
Fark işlemi tekrar kesişim ve tümleyen cinsinden yazılır.
4
Dağılma veya soğurma (absorption) özelliğini kullan.
(A′∪B)∩B=B(A' \cup B) \cap B = B
BB kümesi, A′∪BA' \cup B kümesinin bir alt kümesi olduğu için kesişim BB olur.
5
Bulunan sonucu ifadenin geri kalanıyla birleştir.
B∪(A∖B)B \cup (A \setminus B)
İlk kısım BB olarak bulundu.
6
Son ifadeyi sadeleştir.
B∪(A∖B)=B∪(A∩B′)=(B∪A)∩(B∪B′)=(B∪A)∩E=A∪BB \cup (A \setminus B) = B \cup (A \cap B') = (B \cup A) \cap (B \cup B') = (B \cup A) \cap E = A \cup B
B kümesi ile 'A'nın B'de olmayan kısmı'nın birleşimi, A ve B'nin tamamını kapsar.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (A∖BA \setminus B) ile kesişim (A∩B′A \cap B') arasındaki ilişki ve De Morgan kuralları.

İpuçları

1
Fark işlemini kesişim cinsinden yazmayı deneyin: X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y'.
2
De Morgan kuralını hatırlayın: (X∩Y)′=X′∪Y′(X \cap Y)' = X' \cup Y'. İlk parantezi bu kurala göre açın.
3
BB kümesi ile A∖BA \setminus B (A'nın B'de olmayan kısmı) birleştirilirse ne elde edilir? Bir Venn şeması çizerek bu alanları boyamayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Buna benzer olarak, (A∪B)∩(A∪B′)(A \cup B) \cap (A \cup B') ifadesinin sadeleştirildiği soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru