E evrensel kümesinin boş olmayan A ve B alt kümeleri için, K = (A \setminus B)' \cap (B \setminus A)' \neşitliği tanımlanıyor. Buna göre, K' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

E evrensel kümesinin boş olmayan A ve B alt kümeleri için, K = (A \setminus B)' \cap (B \s… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

E

evrensel kümesinin boş olmayan

A

B

alt kümeleri için,

K = (A \setminus B)' \cap (B \setminus A)'

eşitliği tanımlanıyor.

Buna göre, $K'$ kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$(A \cup B) \setminus (A \cap B)$ Cevap
B
$A \cap B$
C
$A \cup B$
D
$(A \cup B)'$
E
$A \setminus B$

Cevap

(A \cup B) \setminus (A \cap B)

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde,

K

kümesinin 'Kesişim Kümesi' ile 'Evrensel Kümenin Dış Bölgesi'nin birleşimi olduğu görülür. Bu kümenin tümleyeni (

K'

), evrensel kümede geriye kalan parçalardır. Geriye kalan parçalar

A \setminus B

B \setminus A

kümeleridir. Bu iki kümenin birleşimi

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

ifadesidir ve bu da

(A \cup B) \setminus (A \cap B)

ifadesine denktir.

Adım Adım Çözüm

Kümelerde fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden ifade edelim.

A \setminus B = A \cap B'

B \setminus A = B \cap A'

olduğunu hatırlayalım.

İşlemleri daha kolay sadeleştirmek için standart küme operatörlerine dönüştürmek gerekir.

Verilen

K

ifadesindeki parantez içlerinin tümleyenlerini alalım (De Morgan Kuralları).

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

(B \setminus A)' = (B \cap A')' = B' \cup A

olur.

Parantez dışındaki tümleyen işaretini içeri dağıtarak ifadeyi açıyoruz.

K

ifadesini oluşturup dağılma özelliğini kullanalım.

K = (A' \cup B) \cap (A \cup B') = (A \cap B) \cup (A' \cap B')

Bu ifade, 'ya her ikisinde olanlar (

A \cap B

)' ya da 'hiçbirinde olmayanlar (

A' \cap B'

)' kümesini belirtir.

K

kümesinin tümleyenini (

K'

) bulalım.

K' = [(A \cap B) \cup (A \cup B)']'

. De Morgan ile:

(A \cap B)' \cap (A \cup B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)

K kümesi 'kesişim' ve 'dış bölge'nin birleşimidir. Tümleyeni ise geriye kalan 'sadece A' ve 'sadece B' bölgeleridir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Küme İşlemleri

İpuçları

Önce

A \setminus B

ifadesini

A \cap B'

şeklinde yazarak parantez içlerini düzenleyin.

De Morgan kuralını kullanarak tümleyenleri parantez içine dağıtın:

(A \cap B')' = A' \cup B

Bulduğunuz

K

kümesi, Venn şemasında 'ortadaki kesişim' ve 'en dıştaki boşluk'tur. Bunun tümleyeni ise geriye kalan iki 'hilal' şeklindeki parçadır.

Daha Fazla Pratik

Sadece Venn şeması verilip taralı alanın sorulduğu görsel soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi:

A=\{1,2\}

B=\{2,3\}

E=\{1,2,3,4\}

seçerek elemanlar üzerinden işlem yapılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru