Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Yarıçapları 33 cm ve 99 cm olan O1O_1 ve O2O_2 merkezli iki çember, bir noktada birbirine dıştan teğettir. Bu iki çemberin ortak dış teğet doğrusu çizilmiştir.

Buna göre; çemberler ve ortak dış teğet doğrusu arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}Cevap
  2. B
    363−45π236\sqrt{3} - \frac{45\pi}{2}
  3. C
    243−15π24\sqrt{3} - 15\pi
  4. D
    363−18π36\sqrt{3} - 18\pi
  5. E
    183−33π418\sqrt{3} - \frac{33\pi}{4}

Cevap

363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}
İstenilen alan, merkezler ve teğet noktalarının oluşturduğu dik yamuğun alanından, yamuk içinde kalan daire dilimlerinin alanlarının çıkarılmasıyla bulunur. Yamuğun alanı 36336\sqrt{3}, daire dilimlerinin toplam alanı 33π2\frac{33\pi}{2} olduğundan doğru cevap 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2} ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Merkezleri birleştirin ve dik yamuğu oluşturun.
Merkezler arası uzaklık 3+9=123+9=12 cm olur. Teğet noktalarına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir, bu da bir dik yamuk oluşturur.
Teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru, teğet noktasından geçer.
2
Dik üçgen yardımıyla teğet uzunluğunu ve açıları bulun.
Küçük merkezden büyük yarıçapa dik inildiğinde; hipotenüsü 1212, dik kenarı (9−3)=6(9-3)=6 olan bir üçgen oluşur. Bu 30-60-90 üçgenidir (sin⁡α=6/12\sin \alpha = 6/12). Teğet uzunluğu 636\sqrt{3} cm bulunur.
Pisagor bağıntısı ve trigonometrik oranlar kullanılarak uzunluk ve açılar tespit edilir.
3
Yamuğun alanını hesaplayın.
Alan = 3+92⋅63=6⋅63=363\frac{3+9}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}.
4
Çıkarılacak daire dilimlerinin açılarını ve alanlarını belirleyin.
Büyük çemberdeki açı 60∘60^\circ, küçük çemberdeki açı 120∘120^\circ dir (bütünler açı). Büyük dilim alanı π⋅92⋅60360=27π2\pi \cdot 9^2 \cdot \frac{60}{360} = \frac{27\pi}{2}. Küçük dilim alanı π⋅32⋅120360=3π\pi \cdot 3^2 \cdot \frac{120}{360} = 3\pi. Toplam daire alanı = 27π2+6π2=33π2\frac{27\pi}{2} + \frac{6\pi}{2} = \frac{33\pi}{2}.
Yamuk içindeki açıları kullanarak çıkarılacak beyaz bölgelerin alanları bulunur.
5
Toplam alandan daire dilimlerini çıkarın.
Sonuç: 363−33π236\sqrt{3} - \frac{33\pi}{2}.
Taralı Alan = Yamuk Alanı - Daire Dilimlerinin Alanları.

Anahtar Kavram

Teğet Çemberler ve Alan Hesabı

İpuçları

1
Çemberlerin merkezlerini birleştirin ve teğet noktalarına yarıçaplar çizin. Oluşan şekil bir dik yamuktur.
2
Küçük çemberin merkezinden, büyük çemberin teğet yarıçapına bir dikme inerek bir dik üçgen oluşturun. Bu üçgenin kenar uzunluklarını kullanarak açıları bulun.
3
Oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Bu sayede yamuğun içindeki daire dilimlerinin açıları 60 ve 120 derece olarak bulunur.

Alternatif Yöntem

Teğet uzunluğunu doğrudan L=2r1⋅r2L = 2\sqrt{r_1 \cdot r_2} formülüyle 227=632\sqrt{27} = 6\sqrt{3} olarak bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru