Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,
[(A∪B)∖(B∖A)]′ \left[ (A \cup B) \setminus (B \setminus A) \right]'
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A'Cevap
  2. B
    A
  3. C
    B'
  4. D
    B
  5. E
    E

Cevap

İfadenin en sade hali A' (A'nın tümleyeni) kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde parantez içinin A kümesine eşit olduğu görülür. En dıştaki tümleyen işareti nedeniyle doğru cevap A kümesinin tümleyenidir (A′A').

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki fark işlemini (B∖AB \setminus A) kesişim ve tümleme cinsinden ifade edelim.
B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A'
Küme farkı tanımı gereği X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' eşitliği kullanılır.
2
Ana ifadedeki fark işlemini (∖\setminus) dönüştürelim.
(A∪B)∖(B∩A′)=(A∪B)∩(B∩A′)′(A \cup B) \setminus (B \cap A') = (A \cup B) \cap (B \cap A')'
Dışarıdaki fark işlemi de kesişim ve tümleme cinsine çevrilir.
3
De Morgan kuralını uygulayarak sağdaki parantezin tümleyenini alalım.
(B∩A′)′=B′∪A(B \cap A')' = B' \cup A
İfade şu hale gelir: (A∪B)∩(A∪B′)(A \cup B) \cap (A \cup B')
Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.
4
Dağılma özelliğini tersten (ortak paranteze alma) uygulayalım.
(A∪B)∩(A∪B′)=A∪(B∩B′)(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B')
B∩B′=∅B \cap B' = \emptyset olduğundan sonuç A∪∅=AA \cup \emptyset = A bulunur.
Her iki parantezde de A∪A \cup ifadesi ortaktır.
5
En dıştaki tümleyen işlemini uygulayalım.
[A]′=A′[A]' = A'
Soruda köşeli parantezin dışında bir tümleyen işareti (') bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' dönüşümü ve De Morgan kuralları kullanılarak sadeleştirme yapılır.

İpuçları

1
Fark işlemini (X∖YX \setminus Y) kesişim ve tümleme cinsinden (X∩Y′X \cap Y') yazarak başlayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru