Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

[AB] // [DC] ve [AD] ⊥\perp [AB] olmak üzere, aşağıda verilen ABCD dik yamuğunun içine, yamuğun tüm kenarlarına teğet olan O merkezli bir çember çizilmiştir.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    2
  2. B
    2,5
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Çemberin yarıçapı 3 cm'dir.
Dik yamuğun içine çizilen teğet çember probleminde, teğetler dörtgeni özelliği (∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB|+|DC| = |AD|+|BC|) ve Pisagor bağıntısı kullanılarak yarıçap hesaplanır. Yükseklik 2r2r ve hipotenüs 16−2r16-2r alındığında, kurulan (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2 denkleminden r=3r=3 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.
ABCD bir teğetler dörtgeni olduğundan karşılıklı kenarların toplamı eşittir: ∣AB∣+∣DC∣=∣AD∣+∣BC∣|AB| + |DC| = |AD| + |BC|. Buradan 12+4=16=∣AD∣+∣BC∣12 + 4 = 16 = |AD| + |BC| bulunur.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yarıçap ve yükseklik ilişkisini kur.
Çember [AD] kenarına teğet olduğundan ve [AD] ⊥\perp [AB] olduğundan, yamuğun yüksekliği ∣AD∣|AD| çemberin çapına (2r2r) eşittir. Dolayısıyla ∣BC∣=16−2r|BC| = 16 - 2r olur.
Dik yamukta dik kenar uzunluğu, iç teğet çemberin çapına eşittir.
3
Dik üçgen oluştur ve Pisagor bağıntısını kullan.
C noktasından [AB] kenarına [CH] dikmesi indirilirse, ∣CH∣=∣AD∣=2r|CH| = |AD| = 2r ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DC∣=12−4=8|HB| = |AB| - |DC| = 12 - 4 = 8 olur. CHB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: (2r)2+82=(16−2r)2(2r)^2 + 8^2 = (16-2r)^2.
Yamuk sorularında bilinmeyen kenarı bulmak için genellikle yükseklik indirilerek dik üçgen oluşturulur.
4
Denklemi çözerek yarıçapı bul.
4r2+64=256−64r+4r24r^2 + 64 = 256 - 64r + 4r^2 ⇒64r=192⇒r=3\Rightarrow 64r = 192 \Rightarrow r = 3.
Denklem çözümü sonucu istenen yarıçap değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Teğetler Dörtgeni ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Bir dörtgenin tüm kenarlarına teğet bir çember çizilebiliyorsa, bu dörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Yamuğun yüksekliği aynı zamanda iç teğet çemberin çapına (2r2r) eşittir. Bu bilgiyi ve teğetler dörtgeni özelliğini kullanarak yan kenar (BCBC) uzunluğunu rr cinsinden yazın.
3
CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirin. Oluşan dik üçgenin kenarları: yükseklik 2r2r, taban (12−4)=8(12-4)=8 ve hipotenüs (12+4−2r)(12+4-2r). Pisagor bağıntısını uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ikizkenar yamuk için çözerek teğet özelliklerini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Formül: Dik yamukta iç teğet çemberin yarıçapı r=a⋅ca+cr = \frac{a \cdot c}{a + c} formülüyle de bulunabilir (Burada aa ve cc paralel kenar uzunluklarıdır). r=12⋅412+4=4816=3r = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru