Examkin

Soru

Zorluk: ZorKoşullu Olasılık

Birinci torbada 4 sarı, 2 mavi; ikinci torbada ise 3 sarı, 3 mavi top bulunmaktadır.

Birinci torbadan rastgele bir top alınıp rengine bakılmaksızın ikinci torbaya atılıyor. Daha sonra ikinci torbadan rastgele bir top çekiliyor.

İkinci torbadan çekilen bu topun mavi olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan ikinci torbaya atılan topun sarı olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    25\frac{2}{5}
  2. B
    37\frac{3}{7}
  3. C
    47\frac{4}{7}
  4. 35\frac{3}{5}Cevap
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

35\frac{3}{5}
Soruda 'ikinci torbadan çekilen topun mavi olduğu bilindiğine göre' ifadesi bir koşullu olasılık sorusudur. Çözüm için tüm 'Mavi Çekme' durumlarının olasılığı hesaplanmalı ve paydaya yazılmalıdır. İstenen durum olan 'Sarı Aktarılıp Mavi Çekilmesi' olasılığı ise paya yazılır.

1. Durum (Sarı Aktar - Mavi Çek): 46⋅37=1242\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{42}
2. Durum (Mavi Aktar - Mavi Çek): 26⋅47=842\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{42}

Toplam Mavi Olasılığı: 12+842=2042\frac{12+8}{42} = \frac{20}{42}

Sonuç: 12/4220/42=1220=35\frac{12/42}{20/42} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları belirle
İki durum vardır: 1. Durum (Sarı aktarılması ve Mavi çekilmesi) veya 2. Durum (Mavi aktarılması ve Mavi çekilmesi).
Birinci torbadan neyin aktarıldığı, ikinci torbanın yapısını ve dolayısıyla çekiliş olasılığını değiştirir.
2
1. Durumun olasılığını hesapla (Sarı aktar, Mavi çek)
P(Sarı Aktar) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. İkinci torbada 4 Sarı, 3 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Sarı Aktar) = \frac{3}{7}. Çarpım: \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}.
Ardışık olayların gerçekleşme olasılığı çarpılarak bulunur.
3
2. Durumun olasılığını hesapla (Mavi aktar, Mavi çek)
P(Mavi Aktar) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. İkinci torbada 3 Sarı, 4 Mavi olur (Toplam 7). P(Mavi Çek | Mavi Aktar) = \frac{4}{7}. Çarpım: \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{21}.
Her iki durum için de ortak paydada kalmak (21 veya 42) işlemi kolaylaştırır.
4
Tüm durumun (Mavi çekilme) olasılığını bul
P(Mavi Çek) = \frac{6}{21} + \frac{4}{21} = \frac{10}{21}.
Ayrık durumların olasılıkları toplanır.
5
Koşullu olasılığı hesapla
P(Sarı Aktar | Mavi Çek) = \frac{\text{1. Durum Olasılığı}}{\text{Toplam Mavi Çekme Olasılığı}} = \frac{6/21}{10/21} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
Koşullu olasılık formülü: P(A|B) = P(A \cap B) / P(B).

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

İpuçları

1
Önce iki farklı senaryoyu düşünün: 1. Torbadan Sarı topun aktarıldığı durum ve 2. Torbadan Mavi topun aktarıldığı durum.
2
Her iki senaryo için de sonunda 'Mavi' top çekilme olasılığını ayrı ayrı hesaplayın ve toplayın. Bu sizin paydanız (tüm olası durumlar) olacaktır.
3
Koşullu olasılık formülü: I˙stenen Durumun Olasılıg˘ıKos¸ulun Toplam Olasılıg˘ı\frac{\text{İstenen Durumun Olasılığı}}{\text{Koşulun Toplam Olasılığı}}. İstenen durum: Sarı aktarılıp Mavi çekilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru