Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu

1'den nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış topların bulunduğu bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Bu deneyde her bir topun çekilme olasılığının, o topun üzerinde yazan sayı ile doğru orantılı olduğu belirlenmiştir. Çekilen topun numarasının tek sayı olma olasılığı 511\frac{5}{11} olduğuna göre, torbadaki toplam top sayısı (nn) kaçtır?

  1. A
    9
  2. 10Cevap
  3. C
    11
  4. D
    12
  5. E
    13

Cevap

Torbadaki toplam top sayısı 10'dur.
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Olasılıklar sayılarla orantılı olduğundan, ağırlıklı bir örnek uzay söz konusudur. nn sayısı çift (2m2m) olduğunda, tek sayı gelme olasılığı m2m+1\frac{m}{2m+1} formülü ile ifade edilir. Bu ifade 511\frac{5}{11}'e eşitlendiğinde m=5m=5 ve dolayısıyla n=10n=10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun yapısını belirle.
P(k)=c⋅kP(k) = c \cdot k. Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır: ∑k=1nc⋅k=1\sum_{k=1}^n c \cdot k = 1.
Her bir çıktının olasılığı numarasıyla orantılıdır.
2
Orantı sabiti cc'yi nn cinsinden ifade et.
c⋅n(n+1)2=1⇒c=2n(n+1)c \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1 \Rightarrow c = \frac{2}{n(n+1)}.
1'den n'ye kadar olan sayıların toplam formülü kullanılarak cc bulunur.
3
nn sayısının tek veya çift olma durumuna göre 'Tek Sayı Gelme Olasılığını' (P(Tek)P(Tek)) formüle et.
Durum 1 (n=2mn=2m çift ise): Tek sayılar 1,3,…,2m−11, 3, \dots, 2m-1. Toplamları m2m^2. P(Tek)=c⋅m2=m2m+1P(Tek) = c \cdot m^2 = \frac{m}{2m+1}. Durum 2 (n=2m−1n=2m-1 tek ise): Tek sayılar 1,3,…,2m−11, 3, \dots, 2m-1. Toplamları m2m^2. P(Tek)=m2m−1P(Tek) = \frac{m}{2m-1}.
Tek sayıların toplamı, terim sayısının karesine eşittir.
4
Verilen olasılık değeri 511\frac{5}{11} ile denklemleri çöz.
Durum 1 için: m2m+1=511⇒11m=10m+5⇒m=5\frac{m}{2m+1} = \frac{5}{11} \Rightarrow 11m = 10m + 5 \Rightarrow m=5. Buradan n=2m=10n = 2m = 10. (Durum 2 denenirse m=−5m=-5 çıkar, geçersizdir).
Elde edilen mm değeri pozitif tam sayı olmalıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Olasılık Fonksiyonu ve Ardışık Sayı Toplamları
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru