Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olaylarının olasılıkları, bir mm gerçel sayısı cinsinden aşağıdaki gibi modellenmiştir:

P(A)=3mP(A) = 3m
P(B)=2mP(B) = 2m
P(A∩B)=m2P(A \cap B) = m^2

Bu eşitliklerin Kolmogorov olasılık aksiyomlarına uygun bir olasılık fonksiyonu tanımlayabilmesi için, mm sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [0, 1/3]
  2. [0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]Cevap
  3. C
    [0, 1/5]
  4. D
    [5−212,2][\frac{5-\sqrt{21}}{2}, 2]
  5. E
    [0, 2]

Cevap

[0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]
Doğru aralık, olasılık fonksiyonunun tanım kümesi (0<=P<=1), alt küme özellikleri (P(kesişim)<=P(tekil)) ve birleşim özelliği (P(birleşim)<=1) kısıtlamalarının tümünün ortak çözüm kümesidir. Bu kısıtlamalar m^2 - 5m + 1 >= 0 eşitsizliğine ve 0 <= m <= 2 aralığına götürür, bunların kesişimi de verilen köklü ifadeyi içeren aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun temel sınırlarını belirle.
Her olasılık değeri [0, 1] aralığında olmalıdır. P(A)=3m >= 0 olduğundan m >= 0 şartı bulunur.
Olasılık negatif olamaz.
2
Alt küme ilişkisinden gelen kısıtlamaları incele.
P(A ∩ B) <= P(B) olmalıdır. m^2 <= 2m => m(m-2) <= 0 => 0 <= m <= 2. (P(A ∩ B) <= P(A) şartı m^2 <= 3m ise 0 <= m <= 3 verir, daha geniş olduğu için dar olan [0, 2] aralığını baz alırız).
Kesişim kümesinin olasılığı, bileşen kümelerin olasılığından büyük olamaz.
3
Birleşim kümesi olasılığının üst sınırını (P(A U B) <= 1) kontrol et.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünden: 3m + 2m - m^2 <= 1 => 5m - m^2 <= 1 => m^2 - 5m + 1 >= 0.
Herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz.
4
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bul.
m^2 - 5m + 1 = 0 denkleminin kökleri (delta = 25-4=21): m = (5 ± √21) / 2. Eşitsizlik >= 0 olduğu için çözüm, köklerin dışıdır: m <= (5-√21)/2 veya m >= (5+√21)/2.
Kritik noktaları belirlemek için diskriminant yöntemi kullanılır.
5
Tüm kısıtlamaların kesişim kümesini al.
Adım 2'den gelen [0, 2] aralığı ile Adım 4'ten gelen m <= (5-√21)/2 şartı kesiştirilir. Büyük kök (yaklaşık 4.79) 2'den büyük olduğu için elenir. Sonuç: [0, (5-√21)/2].
m değeri tüm olasılık aksiyomlarını aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Aksiyomları ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
Bir olasılık fonksiyonunda herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz. Ayrıca P(A U B) değerini m cinsinden hesaplayıp bunun da 1'den küçük veya eşit olması gerektiğini unutmayın.
2
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünü kullanarak m'ye bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.

Daha Fazla Pratik

P(A) ve P(B) olasılıklarının verildiği ancak kesişimin aralık olarak sorulduğu Bonferroni eşitsizliği sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Grafik Çözümü: y = 5x - x^2 parabolü ile y=1 doğrusunun kesişim noktalarını inceleyerek, parabolün 1'in altında kaldığı ilk aralığı belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru