Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık Kavramları ve Fonksiyonu

EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için aşağıdaki olasılık fonksiyonları verilmiştir:

P(A)=2x−16P(A) = 2x - \frac{1}{6}
P(B)=13−xP(B) = \frac{1}{3} - x

A⊂BA \subset B olduğu bilindiğine göre, xx gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]Cevap
  2. B
    [112,13][\frac{1}{12}, \frac{1}{3}]
  3. C
    [−23,16][-\frac{2}{3}, \frac{1}{6}]
  4. D
    [16,712][\frac{1}{6}, \frac{7}{12}]
  5. E
    [112,712][\frac{1}{12}, \frac{7}{12}]

Cevap

x değerinin [1/12, 1/6] aralığında olması gerektiğini gösteren seçenek
Doğru cevap, P(A)P(A) ve P(B)P(B)'nin [0,1][0,1] aralığında olma şartları ile A⊂BA \subset B olmasından kaynaklanan P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) şartının ortak çözüm kümesidir. Bu üç eşitsizlik sisteminin kesişimi [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}] aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonu tanımı gereği 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 eşitsizliğini xx için çözün.
0≤2x−16≤1⇒16≤2x≤76⇒112≤x≤7120 \le 2x - \frac{1}{6} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{6} \le 2x \le \frac{7}{6} \Rightarrow \frac{1}{12} \le x \le \frac{7}{12}
Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
2
0≤P(B)≤10 \le P(B) \le 1 eşitsizliğini xx için çözün.
0≤13−x≤1⇒−1≤x−13≤0⇒−23≤x≤130 \le \frac{1}{3} - x \le 1 \Rightarrow -1 \le x - \frac{1}{3} \le 0 \Rightarrow -\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{3}
B olayının olasılığı da 0 ile 1 arasında olmalıdır.
3
A⊂BA \subset B olduğu için P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) eşitsizliğini kurun ve çözün.
2x−16≤13−x⇒3x≤13+16⇒3x≤36⇒x≤162x - \frac{1}{6} \le \frac{1}{3} - x \Rightarrow 3x \le \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow 3x \le \frac{3}{6} \Rightarrow x \le \frac{1}{6}
Bir küme diğerinin alt kümesi ise, olasılığı kapsayan kümenin olasılığından büyük olamaz.
4
Elde edilen üç aralığın kesişimini (ortak çözüm kümesini) bulun.
1) x≥112x \ge \frac{1}{12}, 2) x≤13x \le \frac{1}{3}, 3) x≤16x \le \frac{1}{6}. Ortak aralık: [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]
x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu Özellikleri ve Alt Küme İlişkisi

İpuçları

1
Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır (0≤P(E)≤10 \le P(E) \le 1). P(A)P(A) ve P(B)P(B) için bu eşitsizlikleri ayrı ayrı yazın.
2
AA kümesi BB kümesinin alt kümesi (A⊂BA \subset B) ise, AA'nın olasılığı BB'nin olasılığından büyük olamaz (P(A)≤P(B)P(A) \le P(B)).
3
Üç farklı eşitsizlik elde edeceksiniz: P(A)P(A) sınırları, P(B)P(B) sınırları ve P(A)≤P(B)P(A) \le P(B). Bu üçünün de aynı anda sağlandığı xx aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'ayrık olaylar' (A∩B=∅A \cap B = \emptyset) verilip P(A∪B)P(A \cup B)'nin alabileceği en büyük değer sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde P(A)P(A)'nın tanımlı olduğu aralığı, P(B)P(B)'nin tanımlı olduğu aralığı ve P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) eşitsizliğinin çözümünü çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

Bu konudan daha fazla soru