Examkin

Olasılık Kavramları ve Fonksiyonu

22 soru

Soru 1Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için A⊂BA \subset B bağıntısı olduğu bilinmektedir.

Bu olayların olasılıkları xx bir gerçel sayı olmak üzere;
P(A)=1−3xP(A) = 1 - 3x
P(B)=2x+15P(B) = 2x + \frac{1}{5}
eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, xx değerinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [425,13]\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]

Cevap

[425,13]\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]
Doğru cevap, olasılık aksiyomları ve alt küme özelliğinin kesişim kümesidir. P(A)P(A) ve P(B)P(B)'nin [0,1][0,1] aralığında olması gerekliliği bize [0,1/3][0, 1/3] ve [−0.1,0.4][-0.1, 0.4] aralıklarını verir. Ancak sorudaki kritik bilgi A⊂BA \subset B olmasıdır, bu da P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) zorunluluğunu getirir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≥4/25x \ge 4/25 bulunur. Tüm bu şartların aynı anda sağlandığı en geniş aralık alt sınırdan 4/254/25, üst sınırdan 1/31/3 ile sınırlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarını (0 ≤ P(E) ≤ 1) her iki olay için de uygula.
P(A) için: 0≤1−3x≤1⇒0≤x≤130 \le 1-3x \le 1 \Rightarrow 0 \le x \le \frac{1}{3}. P(B) için: 0≤2x+15≤1⇒−110≤x≤250 \le 2x + \frac{1}{5} \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{10} \le x \le \frac{2}{5}.
Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında (sınırlar dahil) olmalıdır.
2
Alt küme (A⊂BA \subset B) ilişkisinden doğan kısıtlamayı (P(A)≤P(B)P(A) \le P(B)) uygula.
1−3x≤2x+15⇒45≤5x⇒x≥4251 - 3x \le 2x + \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{4}{5} \le 5x \Rightarrow x \ge \frac{4}{25}.
Olasılık fonksiyonunun monotonluk özelliği gereği, A olayı B'nin alt kümesi ise A'nın olasılığı B'den büyük olamaz.
3
Bulunan tüm eşitsizlik aralıklarının kesişimini (ortak çözüm kümesini) bul.
Alt sınırlar: max⁡(0,−110,425)=425\max(0, -\frac{1}{10}, \frac{4}{25}) = \frac{4}{25}. Üst sınırlar: min⁡(13,25)=13\min(\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) = \frac{1}{3}.
x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Monotonluk İlkesi

İpuçları

1
Herhangi bir olayın olasılığı en az 0, en çok 1 olabilir. Bu kuralı hem P(A)P(A) hem de P(B)P(B) için ayrı ayrı yazarak x için ilk sınırları bulun.
2
AA kümesi BB kümesinin alt kümesi (A⊂BA \subset B) ise, AA'nın gerçekleşme olasılığı BB'nin gerçekleşme olasılığından büyük olamaz (P(A)≤P(B)P(A) \le P(B)).
3
Üç tane eşitsizlik bulmalısınız: 1) P(A)≥0P(A) \ge 0, 2) P(B)≤1P(B) \le 1, 3) P(A)≤P(B)P(A) \le P(B). Bu üç eşitsizliği de aynı anda sağlayan x aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Ayrık iki olay (A∩B=∅A \cap B = \emptyset) verildiğinde P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1 eşitsizliğinin çözümünü gerektiren soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Grafik Yöntemi: y1=1−3xy_1 = 1-3x ve y2=2x+0.2y_2 = 2x + 0.2 doğrularını koordinat düzleminde çizip, 0≤y1≤y2≤10 \le y_1 \le y_2 \le 1 bölgesinde kalan x aralığını görsel olarak tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir torbada üzerinde tüm rakamların (0,1,2,3,4,5,6,7,8,90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) yazılı olduğu, birbirinin özdeşi olan 1010 adet kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının 77'den küçük bir asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 310\frac{3}{10}

Cevap

Torbadaki kart sayısının 10, istenen asal sayıların ise 3 adet olması nedeniyle olasılık 3/10'dur.
Tüm rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olduğundan örnek uzayın eleman sayısı 10'dur. Bu rakamlar içinden 7'den küçük olan asal sayılar ise sadece 2, 3 ve 5'tir (3 adet). Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranı 3/10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayı (tüm olası durumları) belirle.
E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesi olup eleman sayısı s(E)=10s(E) = 10 dur.
Olasılık hesabında payda kısmına yazılacak olan toplam durum sayısını bulmak gerekir.
2
İstenen olayın elemanlarını belirle.
77'den küçük asal sayılar {2,3,5}\{2, 3, 5\} kümesi olup eleman sayısı s(A)=3s(A) = 3 tür.
Soruda belirtilen '7'den küçük asal sayı' koşuluna uyan değerleri tespit etmek gerekir.
3
Olasılık formülünü uygula.
P(A)=s(A)s(E)=310P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{10}
Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Örnek Uzay

İpuçları

1
Matematikte 'rakamlar' kümesinin hangi sayılardan oluştuğunu ve kaç tane olduğunu hatırla.
2
En küçük asal sayının kaç olduğunu hatırla ve 7'den küçük olan tüm asal sayıları listele.
3
Bir olayın olasılığı 0 (imkansız olay) ile 1 (kesin olay) arasındadır. İstenen asal sayı adedini toplam rakam adedine bölerek sonucu bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, seçilen sayının çift sayı veya 5'ten büyük olma olasılığını hesaplayarak pekiştirme yapabilirsin.

Alternatif Yöntem

Olasılığı doğrudan hesaplamak yerine, '7'den büyük veya asal olmayan' durumları bulup 1'den çıkararak da sonuca ulaşılabilir, ancak bu soru için doğrudan sayma yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olaylarının olasılıkları, bir mm gerçel sayısı cinsinden aşağıdaki gibi modellenmiştir:

P(A)=3mP(A) = 3m
P(B)=2mP(B) = 2m
P(A∩B)=m2P(A \cap B) = m^2

Bu eşitliklerin Kolmogorov olasılık aksiyomlarına uygun bir olasılık fonksiyonu tanımlayabilmesi için, mm sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]

Cevap

[0,5−212][0, \frac{5-\sqrt{21}}{2}]
Doğru aralık, olasılık fonksiyonunun tanım kümesi (0<=P<=1), alt küme özellikleri (P(kesişim)<=P(tekil)) ve birleşim özelliği (P(birleşim)<=1) kısıtlamalarının tümünün ortak çözüm kümesidir. Bu kısıtlamalar m^2 - 5m + 1 >= 0 eşitsizliğine ve 0 <= m <= 2 aralığına götürür, bunların kesişimi de verilen köklü ifadeyi içeren aralıktır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun temel sınırlarını belirle.
Her olasılık değeri [0, 1] aralığında olmalıdır. P(A)=3m >= 0 olduğundan m >= 0 şartı bulunur.
Olasılık negatif olamaz.
2
Alt küme ilişkisinden gelen kısıtlamaları incele.
P(A ∩ B) <= P(B) olmalıdır. m^2 <= 2m => m(m-2) <= 0 => 0 <= m <= 2. (P(A ∩ B) <= P(A) şartı m^2 <= 3m ise 0 <= m <= 3 verir, daha geniş olduğu için dar olan [0, 2] aralığını baz alırız).
Kesişim kümesinin olasılığı, bileşen kümelerin olasılığından büyük olamaz.
3
Birleşim kümesi olasılığının üst sınırını (P(A U B) <= 1) kontrol et.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünden: 3m + 2m - m^2 <= 1 => 5m - m^2 <= 1 => m^2 - 5m + 1 >= 0.
Herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz.
4
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bul.
m^2 - 5m + 1 = 0 denkleminin kökleri (delta = 25-4=21): m = (5 ± √21) / 2. Eşitsizlik >= 0 olduğu için çözüm, köklerin dışıdır: m <= (5-√21)/2 veya m >= (5+√21)/2.
Kritik noktaları belirlemek için diskriminant yöntemi kullanılır.
5
Tüm kısıtlamaların kesişim kümesini al.
Adım 2'den gelen [0, 2] aralığı ile Adım 4'ten gelen m <= (5-√21)/2 şartı kesiştirilir. Büyük kök (yaklaşık 4.79) 2'den büyük olduğu için elenir. Sonuç: [0, (5-√21)/2].
m değeri tüm olasılık aksiyomlarını aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Aksiyomları ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1
Bir olasılık fonksiyonunda herhangi bir olayın olasılığı 1'i aşamaz. Ayrıca P(A U B) değerini m cinsinden hesaplayıp bunun da 1'den küçük veya eşit olması gerektiğini unutmayın.
2
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülünü kullanarak m'ye bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.

Daha Fazla Pratik

P(A) ve P(B) olasılıklarının verildiği ancak kesişimin aralık olarak sorulduğu Bonferroni eşitsizliği sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Grafik Çözümü: y = 5x - x^2 parabolü ile y=1 doğrusunun kesişim noktalarını inceleyerek, parabolün 1'in altında kaldığı ilk aralığı belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda A, B ve C olmak üzere üç farklı hizmet birimi bulunmaktadır. Kuruma gelen bir vatandaşın bu birimlerden yalnızca birinden hizmet alacağı bilinmektedir. Vatandaşın bu birimlerden hizmet alma olasılıkları ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

* A biriminden hizmet alma olasılığı, B biriminden hizmet alma olasılığının 33 katıdır.
* B biriminden hizmet alma olasılığı, C biriminden hizmet alma olasılığının 22 katıdır.

Buna göre, kuruma gelen bir vatandaşın A veya C biriminden hizmet alma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 79\frac{7}{9}

Cevap

Kuruma gelen vatandaşın A veya C biriminden hizmet alma olasılığı 79\frac{7}{9}'dur.
Örnek uzay A, B ve C ayrık olaylarından oluştuğu için toplam olasılık 1'dir. Verilen oranlar kullanılarak P(C)=kP(C)=k, P(B)=2kP(B)=2k ve P(A)=6kP(A)=6k bulunur. Toplam 9k=19k=1 eşitliğinden k=1/9k=1/9 elde edilir. İstenen durum A veya C olduğu için bu olasılıklar toplanır: 6k+k=7k=7/96k + k = 7k = 7/9.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılıkları değişken cinsinden ifade et.
P(C)=kP(C) = k olsun. Bu durumda P(B)=2kP(B) = 2k ve P(A)=3⋅P(B)=3⋅(2k)=6kP(A) = 3 \cdot P(B) = 3 \cdot (2k) = 6k olur.
Soruda verilen kat ilişkilerini matematiksel denkleme dökmek için.
2
Örnek uzayın toplam olasılığını kullanarak kk değerini bul.
P(A)+P(B)+P(C)=1⇒6k+2k+k=1⇒9k=1⇒k=19P(A) + P(B) + P(C) = 1 \Rightarrow 6k + 2k + k = 1 \Rightarrow 9k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{9}.
Olasılık fonksiyonunun özelliklerine göre, ayrık olayların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
3
İstenen birleşim olasılığını hesapla.
P(A∪C)=P(A)+P(C)=6k+k=7k=7⋅19=79P(A \cup C) = P(A) + P(C) = 6k + k = 7k = 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}.
A veya C olayının gerçekleşme olasılığı, bu iki ayrık olayın olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Ayrık olayların birleşiminin olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir (P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)) ve örnek uzaydaki tüm olayların olasılıkları toplamı 1'dir.

İpuçları

1
Tüm birimlerin olasılıkları toplamı 1'e eşit olmalıdır (P(A)+P(B)+P(C)=1P(A) + P(B) + P(C) = 1).
2
En küçük olasılığa sahip olan C birimine kk diyerek diğerlerini kk cinsinden yazınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer oranlar verilip 'En az birinden hizmet alma' olasılığı sorulan soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için aşağıdaki olasılık fonksiyonları verilmiştir:

P(A)=2x−16P(A) = 2x - \frac{1}{6}
P(B)=13−xP(B) = \frac{1}{3} - x

A⊂BA \subset B olduğu bilindiğine göre, xx gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]

Cevap

x değerinin [1/12, 1/6] aralığında olması gerektiğini gösteren seçenek
Doğru cevap, P(A)P(A) ve P(B)P(B)'nin [0,1][0,1] aralığında olma şartları ile A⊂BA \subset B olmasından kaynaklanan P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) şartının ortak çözüm kümesidir. Bu üç eşitsizlik sisteminin kesişimi [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}] aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonu tanımı gereği 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 eşitsizliğini xx için çözün.
0≤2x−16≤1⇒16≤2x≤76⇒112≤x≤7120 \le 2x - \frac{1}{6} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{6} \le 2x \le \frac{7}{6} \Rightarrow \frac{1}{12} \le x \le \frac{7}{12}
Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
2
0≤P(B)≤10 \le P(B) \le 1 eşitsizliğini xx için çözün.
0≤13−x≤1⇒−1≤x−13≤0⇒−23≤x≤130 \le \frac{1}{3} - x \le 1 \Rightarrow -1 \le x - \frac{1}{3} \le 0 \Rightarrow -\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{3}
B olayının olasılığı da 0 ile 1 arasında olmalıdır.
3
A⊂BA \subset B olduğu için P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) eşitsizliğini kurun ve çözün.
2x−16≤13−x⇒3x≤13+16⇒3x≤36⇒x≤162x - \frac{1}{6} \le \frac{1}{3} - x \Rightarrow 3x \le \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow 3x \le \frac{3}{6} \Rightarrow x \le \frac{1}{6}
Bir küme diğerinin alt kümesi ise, olasılığı kapsayan kümenin olasılığından büyük olamaz.
4
Elde edilen üç aralığın kesişimini (ortak çözüm kümesini) bulun.
1) x≥112x \ge \frac{1}{12}, 2) x≤13x \le \frac{1}{3}, 3) x≤16x \le \frac{1}{6}. Ortak aralık: [112,16][\frac{1}{12}, \frac{1}{6}]
x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu Özellikleri ve Alt Küme İlişkisi

İpuçları

1
Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır (0≤P(E)≤10 \le P(E) \le 1). P(A)P(A) ve P(B)P(B) için bu eşitsizlikleri ayrı ayrı yazın.
2
AA kümesi BB kümesinin alt kümesi (A⊂BA \subset B) ise, AA'nın olasılığı BB'nin olasılığından büyük olamaz (P(A)≤P(B)P(A) \le P(B)).
3
Üç farklı eşitsizlik elde edeceksiniz: P(A)P(A) sınırları, P(B)P(B) sınırları ve P(A)≤P(B)P(A) \le P(B). Bu üçünün de aynı anda sağlandığı xx aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'ayrık olaylar' (A∩B=∅A \cap B = \emptyset) verilip P(A∪B)P(A \cup B)'nin alabileceği en büyük değer sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde P(A)P(A)'nın tanımlı olduğu aralığı, P(B)P(B)'nin tanımlı olduğu aralığı ve P(A)≤P(B)P(A) \le P(B) eşitsizliğinin çözümünü çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

Bir E={a,b,c,d}E = \{a, b, c, d\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir PP olasılık fonksiyonu için;

* P({a,b})=35P(\{a, b\}) = \frac{3}{5}
* P({b,c})=12P(\{b, c\}) = \frac{1}{2}
* P({c,d})=25P(\{c, d\}) = \frac{2}{5}

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, P({b})P(\{b\}) değerinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2/5

Cevap

P({b}) değerinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 2/5'tir.
Doğru cevap olan seçenek, olasılık fonksiyonunun her bir çıktı için [0, 1] aralığında değer alması zorunluluğunu doğru şekilde analiz eder. P(a)=0,6−P(b)P(a) = 0,6 - P(b) olduğundan P(b)≤0,6P(b) \leq 0,6; P(c)=0,5−P(b)P(c) = 0,5 - P(b) olduğundan P(b)≤0,5P(b) \leq 0,5 ve P(d)=P(b)−0,1P(d) = P(b) - 0,1 olduğundan P(b)≥0,1P(b) \geq 0,1 sınırları elde edilir. Bu sınırların kesişimi [0,1;0,5][0,1; 0,5] aralığını verir. En büyük değer 0,5 ile en küçük değer 0,1 arasındaki fark 0,4 yani 2/5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması
P(a)=x,P(b)=y,P(c)=z,P(d)=wP(a)=x, P(b)=y, P(c)=z, P(d)=w olsun.
Örnek uzaydaki her bir çıktının olasılığını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Denklemlerin kurulması
x+y=0,6x+y=0,6; y+z=0,5y+z=0,5; z+w=0,4z+w=0,4 ve x+y+z+w=1x+y+z+w=1.
Verilen olasılık değerlerini ve örnek uzayın toplam olasılığının 1 olması kuralını kullanmak için.
3
Tüm değişkenlerin y cinsinden ifadesi
x=0,6−yx = 0,6 - y, z=0,5−yz = 0,5 - y ve w=0,4−z=0,4−(0,5−y)=y−0,1w = 0,4 - z = 0,4 - (0,5 - y) = y - 0,1.
P({b}) yani y değişkenine bağlı sınırları belirleyebilmek için.
4
Olasılık sınırlarının uygulanması
0≤x,y,z,w≤10 \leq x, y, z, w \leq 1 olmalıdır. Buradan y≤0,6y \leq 0,6; y≤0,5y \leq 0,5 ve y≥0,1y \geq 0,1 bulunur. Aralık [0,1;0,5][0,1; 0,5] şeklindedir.
Bir olayın olasılığının 0 ile 1 arasında olması gerektiği kuralını uygulamak için.
5
Farkın hesaplanması
0,5−0,1=0,4=410=250,5 - 0,1 = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değer farkını bulmak için.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Sınır Koşulları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →
A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={−1,0,1}B = \{-1, 0, 1\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir ff fonksiyonunun, f(1)+f(2)+f(3)=0f(1) + f(2) + f(3) = 0 eşitliğini sağlama olasılığı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 727\frac{7}{27}

Cevap

Rastgele seçilen fonksiyonun şartı sağlama olasılığı \frac{7}{27}'dir.
Doğru cevap, örnek uzayın büyüklüğü olan 33=273^3=27 ile istenen durumların sayısı olan 7'nin oranlanmasıyla bulunur. İstenen durumlar, görüntülerin hepsinin 0 olduğu 1 durum ve görüntülerin {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olduğu 6 farklı sıralama durumunun toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası fonksiyonların) sayısını hesapla.
s(E)=s(B)s(A)=33=27s(E) = s(B)^{s(A)} = 3^3 = 27 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Her bir tanım kümesi elemanı (1,2,31, 2, 3) için değer kümesinden (33 seçenek) biri seçilir.
2
İstenen koşulu (f(1)+f(2)+f(3)=0f(1) + f(2) + f(3) = 0) sağlayan değer gruarını belirle.
Toplamı 0 olan üçlü değer grupları: {0,0,0}\{0, 0, 0\} ve {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} gruplarıdır.
Değer kümesi {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} elemanlarından oluştuğu için toplamı 0 yapan başka bir üçlü kombinasyon yoktur.
3
Belirlenen grupların kendi içindeki sıralanış (permütasyon) sayılarını bularak toplam istenen durum sayısını hesapla.
Durum 1 (0,0,0): Tekrarlı permütasyon 3!3!=1\frac{3!}{3!} = 1 durum. Durum 2 (-1,0,1): Farklı elemanlar 3!=63! = 6 durum. Toplam istenen durum 1+6=71 + 6 = 7.
Fonksiyonlarda sıralama önemlidir; f(1)=-1 ile f(1)=0 farklı fonksiyonlar belirtir.
4
İstenen durum sayısını örnek uzay sayısına oranla.
Olasılık = I˙stenen DurumTu¨m Durumlar=727\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{7}{27}
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği.

Anahtar Kavram

Örnek Uzay ve Olasılık Hesabı

İpuçları

1
Önce AA'dan BB'ye tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısını (s(B)s(A)s(B)^{s(A)}) hesaplayın.
2
Görüntü kümesi elemanları {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} arasından seçilecektir. Üç sayının toplamının 0 olması için hangi sayı grupları seçilebilir? (Örn: Hepsi 0 olabilir mi?)
3
Toplamı 0 yapan iki temel grup vardır: {0,0,0}\{0, 0, 0\} ve {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Bu grufların kendi içindeki yer değiştirme sayılarını (permütasyonlarını) toplamayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Birebir olma olasılığı' veya 'Örten olma olasılığı' şartlarıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Polinom açılımı yöntemi: (x−1+x0+x1)3(x^{-1} + x^0 + x^1)^3 ifadesinin açılımındaki x0x^0'lı terimin katsayısı, toplamı 0 olan durumların sayısını verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →
Bir EE örnek uzayı, birbirini dışlayan (ayrık) AA, BB ve CC olaylarından oluşmaktadır. Bu olayların gerçekleşme olasılıkları arasında,
P(A)=2⋅P(B)P(A) = 2 \cdot P(B)
P(B)=3⋅P(C)P(B) = 3 \cdot P(C)
bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, AA olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

AA olayının gerçekleşme olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.
Örnek uzay AA, BB ve CC olaylarından oluştuğu için bu olasılıkların toplamı 1 olmalıdır. Verilen katsayılar kullanılarak tüm olasılıklar P(C)P(C) cinsinden yazıldığında (P(C)=k,P(B)=3k,P(A)=6kP(C)=k, P(B)=3k, P(A)=6k), toplam 10k=110k=1 denklemi elde edilir. Buradan k=1/10k=1/10 bulunur. Soruda P(A)=6kP(A)=6k sorulduğu için cevap 6/106/10 yani 3/53/5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonu özelliklerini hatırla.
EE örnek uzayı AA, BB ve CC ayrık olaylarından oluştuğu için, tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır: P(A)+P(B)+P(C)=1P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Olasılık aksiyomları gereği örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir.
2
Verilen bağıntıları tek bir değişken cinsinden ifade et.
P(C)=kP(C) = k olsun. Bu durumda P(B)=3kP(B) = 3k olur. P(A)=2⋅P(B)P(A) = 2 \cdot P(B) olduğundan, P(A)=2⋅(3k)=6kP(A) = 2 \cdot (3k) = 6k olur.
Denklemi çözmek için tüm bilinmeyenleri en küçük birim (burada P(C)P(C)) cinsinden yazmak işlemi kolaylaştırır.
3
Elde edilen ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine yaz ve kk değerini bul.
6k+3k+k=1⇒10k=1⇒k=1106k + 3k + k = 1 \Rightarrow 10k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}.
Değişkenin değerini bulmak için doğrusal denklem çözülür.
4
İstenen P(A)P(A) değerini hesapla.
P(A)=6k=6⋅110=610=35P(A) = 6k = 6 \cdot \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
Bulunan birim değer, soruda sorulan olayın ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Örnek uzayı oluşturan ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).
Soru 9Soru →

Bir E={e1,e2,e3,e4}E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir PP olasılık fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* P({e1,e2})=3⋅P({e3})P(\{e_1, e_2\}) = 3 \cdot P(\{e_3\})
* P({e3,e4})=4⋅P({e1})P(\{e_3, e_4\}) = 4 \cdot P(\{e_1\})
* P({e2,e3})=12P(\{e_2, e_3\}) = \frac{1}{2}

Buna göre, P({e1})P(\{e_1\}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 538\frac{5}{38}

Cevap

Verilen olasılık fonksiyonu aksiyomları ve denklem sistemi çözüldüğünde P({e1})=538P(\{e_1\}) = \frac{5}{38} olarak bulunur.
Verilen denklemler P(e1)+P(e2)+P(e3)+P(e4)=1P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1 temel kuralı ile birleştirildiğinde dört bilinmeyenli bir sistem oluşur. Bu sistemde P(e2),P(e3)P(e_2), P(e_3) ve P(e4)P(e_4) değerleri P(e1)P(e_1) cinsinden ifade edilip yerine yazıldığında 19⋅P(e1)=2,519 \cdot P(e_1) = 2,5 eşitliği elde edilir. Buradan P(e1)=5/38P(e_1) = 5/38 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzay aksiyomunu yazın.
P(e1)+P(e2)+P(e3)+P(e4)=1P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1
Bir örnek uzaydaki tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamı 1'e eşittir.
2
Verilen ilişkileri kullanarak değişken sayısını azaltın.
P(e1)+P(e2)=3P(e3)P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3) ise 3P(e3)+P(e3)+P(e4)=1⇒4P(e3)+P(e4)=13P(e_3) + P(e_3) + P(e_4) = 1 \Rightarrow 4P(e_3) + P(e_4) = 1
P(e3)+P(e4)=4P(e1)P(e_3) + P(e_4) = 4P(e_1) ise P(e1)+P(e2)+4P(e1)=1⇒5P(e1)+P(e2)=1P(e_1) + P(e_2) + 4P(e_1) = 1 \Rightarrow 5P(e_1) + P(e_2) = 1
Verilen alt küme olasılıklarını ana toplam denklemine yerleştirerek sadeleştirme yapılır.
3
Tüm olasılıkları P(e1)P(e_1) cinsinden ifade edin.
P(e2)=1−5P(e1)P(e_2) = 1 - 5P(e_1)
P(e3)=12−P(e2)=12−(1−5P(e1))=5P(e1)−12P(e_3) = \frac{1}{2} - P(e_2) = \frac{1}{2} - (1 - 5P(e_1)) = 5P(e_1) - \frac{1}{2}
P(e4)=4P(e1)−P(e3)=4P(e1)−(5P(e1)−12)=12−P(e1)P(e_4) = 4P(e_1) - P(e_3) = 4P(e_1) - (5P(e_1) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - P(e_1)
Tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek için tüm terimler aynı değişken türünden yazılır.
4
Elde edilen ifadeleri 4P(e3)+P(e4)=14P(e_3) + P(e_4) = 1 denkleminde yerine koyarak çözün.
4(5P(e1)−12)+(12−P(e1))=14(5P(e_1) - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - P(e_1)) = 1
20P(e1)−2+12−P(e1)=120P(e_1) - 2 + \frac{1}{2} - P(e_1) = 1
19P(e1)−32=1⇒19P(e1)=52⇒P(e1)=53819P(e_1) - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow 19P(e_1) = \frac{5}{2} \Rightarrow P(e_1) = \frac{5}{38}
Lineer denklem çözülerek hedef olasılık değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonu, bir örnek uzaydaki olayları [0, 1] aralığına eşleyen ve örnek uzayın tamamının olasılığını 1 kabul eden bir fonksiyondur.

İpuçları

1
Örnek uzayı oluşturan tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamının 1 olması gerektiğini unutmayın.
2
P(e1)+P(e2)=3P(e3)P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3) bilgisini kullanarak örnek uzay toplamını 4P(e3)+P(e4)=14P(e_3) + P(e_4) = 1 şeklinde sadeleştirebilirsiniz.
3
Tüm bilinmeyenleri (P(e2),P(e3),P(e4)P(e_2), P(e_3), P(e_4)) sadece P(e1)P(e_1) cinsinden yazmaya çalışın ve son denkleme yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, olayların birbirinin tümleyeni olduğu durumlar için çözerek pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları ayrık (ayrık kümeler) iki olaydır.

Bu olayların olasılıkları xx gerçel sayısı türünden,
P(A)=3x−14P(A) = 3x - \frac{1}{4}
P(B)=12−xP(B) = \frac{1}{2} - x
eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, xx değerinin alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [112,38]\left[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}\right]

Cevap

x değerinin en geniş aralığı [1/12, 3/8] kapalı aralığıdır.
Doğru cevap, üç temel kısıtlamanın kesişimidir: 1) A'nın olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 2) B'nin olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 3) A ve B ayrık olduğu için toplamları 1'i geçemez. Bu üç eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [1/12,3/8][1/12, 3/8] aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarından biri olan 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 şartını AA olayı için incele.
0≤3x−14≤1⇒14≤3x≤54⇒x∈[112,512]0 \le 3x - \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{4} \le 3x \le \frac{5}{4} \Rightarrow x \in [\frac{1}{12}, \frac{5}{12}]
Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında olmalıdır.
2
0≤P(B)≤10 \le P(B) \le 1 şartını BB olayı için incele.
0≤12−x≤1⇒−12≤−x≤12⇒x∈[−12,12]0 \le \frac{1}{2} - x \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le -x \le \frac{1}{2} \Rightarrow x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]
B olayının olasılığı da geçerli bir olasılık değeri olmalıdır.
3
Ayrık olaylar için birleşim kuralını (P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1) uygula.
(3x−14)+(12−x)≤1⇒2x+14≤1⇒2x≤34⇒x≤38(3x - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} - x) \le 1 \Rightarrow 2x + \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow 2x \le \frac{3}{4} \Rightarrow x \le \frac{3}{8}
Ayrık iki olayın olasılıkları toplamı, örnek uzayın olasılığını (1) geçemez.
4
Tüm şartları sağlayan ortak çözüm kümesini (kesişim aralığını) bul.
x≥112x \ge \frac{1}{12}, x≤512x \le \frac{5}{12}, x≥−12x \ge -\frac{1}{2}, x≤12x \le \frac{1}{2} ve x≤38x \le \frac{3}{8} eşitsizliklerinin kesişimi: [112,38][\frac{1}{12}, \frac{3}{8}]
x değeri tüm kısıtlamaları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonunun özellikleri: 0≤P(E)≤10 \le P(E) \le 1 ve ayrık olaylar için P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

İpuçları

1
Bir olayın olasılığı asla negatif olamaz ve 1'den büyük olamaz. 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 eşitsizliğini kurun.
2
AA ve BB ayrık olaylar olduğu için, birleşimlerinin olasılığı toplamlarına eşittir ve bu toplam en fazla 1 olabilir.
3
Üç koşulu aynı anda sağlayan aralığı bulun: 1) P(A)≥0P(A) \ge 0, 2) P(B)≥0P(B) \ge 0, 3) P(A)+P(B)≤1P(A) + P(B) \le 1.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'ayrık' yerine 'bağımsız' olaylar denseydi çözüm nasıl değişirdi?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Bir kalkınma ajansına sunulan projeler değerlendirme sonucuna göre; "Onaylandı", "Revizyon Gerekiyor" ve "Reddedildi" olmak üzere üç ayrık kategoriye ayrılmaktadır. Bu üç kategori, örnek uzayı oluşturan ayrık olaylardır.

Rastgele seçilen bir projenin;
- "Onaylandı" veya "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı 710\frac{7}{10},
- "Revizyon Gerekiyor" veya "Reddedildi" kategorisinde olma olasılığı 45\frac{4}{5}

olduğuna göre, bu projenin "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Projenin "Revizyon Gerekiyor" kategorisinde olma olasılığı 12\frac{1}{2}'dir.
Örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 11 olmalıdır. Verilen iki birleşim olasılığı sayesinde tekil olayların olasılıkları P(A)+P(B)+P(C)=1P(A) + P(B) + P(C) = 1 eşitliğinden çekilebilir. "Onaylandı" (AA), "Revizyon" (BB) ve "Reddedildi" (CC) olayları için; P(A)+P(B)=7/10P(A)+P(B)=7/10 ise P(C)=3/10P(C)=3/10; P(B)+P(C)=8/10P(B)+P(C)=8/10 ise P(A)=2/10P(A)=2/10 bulunur. Bu durumda P(B)=1−(3/10+2/10)=5/10=1/2P(B) = 1 - (3/10 + 2/10) = 5/10 = 1/2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonu kurallarını kullanarak denklem sistemini kur
P(Onaylandı)+P(Revizyon)+P(Red)=1P(\text{Onaylandı}) + P(\text{Revizyon}) + P(\text{Red}) = 1
Örnek uzayı oluşturan tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı her zaman 1'e eşittir.
2
"Reddedildi" kategorisinin olasılığını bul
P(Red)=1−710=310P(\text{Red}) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}
"Onaylandı" veya "Revizyon" olasılığı bilindiğine göre, tüm durumdan bu toplam çıkarılarak üçüncü durumun olasılığı bulunur.
3
"Onaylandı" kategorisinin olasılığını bul
P(Onaylandı)=1−45=1−810=210=15P(\text{Onaylandı}) = 1 - \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
"Revizyon" veya "Reddedildi" olasılığı bilindiğine göre, tüm durumdan bu toplam çıkarılarak birinci durumun olasılığı bulunur.
4
İstenen "Revizyon Gerekiyor" kategorisinin olasılığını hesapla
P(Revizyon)=1−(310+210)=1−510=510=12P(\text{Revizyon}) = 1 - (\frac{3}{10} + \frac{2}{10}) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
Toplam olasılıktan (1), diğer iki ayrık kategorinin olasılıkları çıkarılarak hedeflenene ulaşılır.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonu özellikleri ve ayrık olayların birleşim olasılığı

İpuçları

1
Örnek uzaydaki tüm olasılıkların toplamının her zaman 1 olması gerektiğini hatırlayın.
2
Üç olay da ayrık olduğu için birleşim olasılıklarını P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) şeklinde yazabilirsiniz.
3
P(Onay)+P(Revizyon)=7/10P(\text{Onay}) + P(\text{Revizyon}) = 7/10 ise, toplamdan bunu çıkararak P(Red)P(\text{Red}) olasılığını bulabilirsiniz. Benzerini diğer bilgi için yapıp sonuca gidin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, olasılık değerlerinden birinin bilinmeyen bir 'k' değişkenine bağlı olduğu (örneğin P(A)=2k,P(B)=3kP(A)=2k, P(B)=3k) durumlar için çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayın: [P(O)+P(Rv)]+[P(Rv)+P(Rd)]=7/10+4/5[P(O) + P(Rv)] + [P(Rv) + P(Rd)] = 7/10 + 4/5. Sol tarafta P(O)+P(Rv)+P(Rd)P(O) + P(Rv) + P(Rd) ifadesinin 1 olduğunu bildiğimiz için; 1+P(Rv)=7/10+8/101 + P(Rv) = 7/10 + 8/10 olur. Buradan P(Rv)=15/10−1=5/10=1/2P(Rv) = 15/10 - 1 = 5/10 = 1/2 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

Bir hastanede görev yapan 4 doktor, 3 hemşire ve 2 hasta bakıcıdan oluşan bir gruptan rastgele 3 kişilik bir sağlık ekibi seçilecektir.

Seçilen bu ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire bulunma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 914\frac{9}{14}

Cevap

914\frac{9}{14}
İstenen durum, ekipte hem doktor hem de hemşire bulunmasıdır. Bu koşul üç farklı senaryoda gerçekleşir: (1D, 1H, 1B), (2D, 1H) veya (1D, 2H). Bu durumların kombinasyonları toplamı 54'tür. Tüm durumlar 84 olduğundan olasılık 54/84 = 9/14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını hesapla.
Toplam kişi sayısı: 4+3+2=94 + 3 + 2 = 9. Seçilecek kişi sayısı: 3.
n(S)=C(9,3)=9⋅8⋅73⋅2⋅1=3⋅4⋅7=84n(S) = C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84.
Olasılık hesabında paydaya yazılacak toplam durum sayısını bulmak için.
2
İstenen durumu sağlayan (En az 1 Doktor ve En az 1 Hemşire) alt durumları belirle ve hesapla.
Durum 1 (1 Doktor, 1 Hemşire, 1 Hasta Bakıcı): C(4,1)⋅C(3,1)⋅C(2,1)=4⋅3⋅2=24C(4,1) \cdot C(3,1) \cdot C(2,1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24
Durum 2 (2 Doktor, 1 Hemşire): C(4,2)⋅C(3,1)=6⋅3=18C(4,2) \cdot C(3,1) = 6 \cdot 3 = 18
Durum 3 (1 Doktor, 2 Hemşire): C(4,1)⋅C(3,2)=4⋅3=12C(4,1) \cdot C(3,2) = 4 \cdot 3 = 12
Toplam İstenen Durum: 24+18+12=5424 + 18 + 12 = 54.
Şartı sağlayan tüm ayrık senaryoları toplayarak istenen durum sayısını (payı) bulmak için.
3
Alternatif Yöntem (Tümleyen) ile kontrol et.
İstenmeyen Durumlar: Hiç doktor olmaması (sadece hemşire ve bakıcılar) VEYA Hiç hemşire olmaması (sadece doktor ve bakıcılar).
Hiç Doktor Yok (3H+2B=5 kişiden 3): C(5,3)=10C(5,3) = 10.
Hiç Hemşire Yok (4D+2B=6 kişiden 3): C(6,3)=20C(6,3) = 20.
İstenmeyen Toplam: 10+20=3010 + 20 = 30.
İstenen Durum: 84−30=5484 - 30 = 54.
Hesaplamayı doğrulamak için.
4
Olasılığı hesapla ve sadeleştir.
P(A)=5484=914P(A) = \frac{54}{84} = \frac{9}{14}
Sonucu en sade haliyle bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyonlu Olasılık ve Tümleyen Olay

İpuçları

1
Önce toplam durumu (örnek uzayı) hesaplayın: 9 kişiden 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?
2
'En az bir doktor ve en az bir hemşire' şartını sağlayan durumları ayrı ayrı düşünün: (1 Dr, 1 Hem, 1 Diğer), (2 Dr, 1 Hem), (1 Dr, 2 Hem).
3
Alternatif olarak, tüm durumlardan 'hiç doktor olmayanları' ve 'hiç hemşire olmayanları' çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir doktor VEYA en az bir hemşire' bağlacıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: İstenmeyen durumlar = {Doktor olmayan ekipler} U {Hemşire olmayan ekipler}. Doktor olmayanlar (3 Hemşire + 2 Bakıcı = 5 kişiden 3 seçim) = 10. Hemşire olmayanlar (4 Doktor + 2 Bakıcı = 6 kişiden 3 seçim) = 20. Kesişim (Ne doktor ne hemşire = Sadece bakıcılar) = C(2,3) = 0 (imkansız). Toplam istenmeyen = 10+20=30. Olasılık = 1 - 30/84.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →

A={0,1,2,3,4}A = \{0, 1, 2, 3, 4\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3 basamaklı tüm doğal sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor.

Buna göre, torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının 200’den büyük ve çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 716\frac{7}{16}

Cevap

Torbadan çekilen sayının 200'den büyük ve çift olma olasılığı 716\frac{7}{16}'dır.
Doğru cevap, örnek uzayın ve istenen durumun adım adım kısıtlamalara uygun olarak sayılmasıyla bulunur. Rakamları birbirinden farklı 3 basamaklı sayılar için örnek uzay 4×4×3=484 \times 4 \times 3 = 48'dir. İstenen olay (200'den büyük ve çift) için yüzler basamağının 2, 3 veya 4 olduğu durumlar incelenmelidir. Yüzler basamağı çift (2, 4) olduğunda birler basamağı seçenekleri azalırken, tek (3) olduğunda azalmaz. Bu ayrım yapılarak toplam 21 istenen durum bulunur. Sonuç 2148\frac{21}{48} kesrinin sadeleştirilmesiyle 716\frac{7}{16} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını (Örnek Uzay, s(E)s(E)) hesapla.
s(E)=4×4×3=48s(E) = 4 \times 4 \times 3 = 48
Yüzler basamağına 0 gelemez (4 seçenek: 1,2,3,4). Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri, birler basamağına kalan 3 rakamdan biri gelir.
2
İstenen olayın (A) şartlarını belirle.
Sayı > 200 (Yüzler basamağı 2, 3, 4 olmalı) VE Çift (Birler basamağı 0, 2, 4 olmalı).
Rakamlar farklı olduğu için 200 sayısı yazılamaz, bu nedenle 2 ile başlayan tüm sayılar 200'den büyüktür.
3
İstenen durumları yüzler basamağının tek/çift olmasına göre ayrı ayrı incele.
Durum 1 (Yüzler: 2 veya 4), Durum 2 (Yüzler: 3)
Yüzler basamağına çift sayı gelirse, birler basamağı için kullanılabilir çift sayı adedi azalır. Bu yüzden durumlar ayrı hesaplanmalıdır.
4
Durum 1: Yüzler basamağı 2 veya 4 ise (Çift)
6+6=126 + 6 = 12 durum
Yüzler 2 ise: Birler {0,4} (2 seçenek), Onlar kalan 3 seçenek →1×3×2=6\rightarrow 1 \times 3 \times 2 = 6. Yüzler 4 ise aynı şekilde 6 durum.
5
Durum 2: Yüzler basamağı 3 ise (Tek)
99 durum
Yüzler 3 ise: Birler {0,2,4} (3 seçenek), Onlar kalan 3 seçenek →1×3×3=9\rightarrow 1 \times 3 \times 3 = 9.
6
Olasılığı hesapla.
P(A)=12+948=2148=716P(A) = \frac{12 + 9}{48} = \frac{21}{48} = \frac{7}{16}
İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı.

Anahtar Kavram

Koşullu Sayma ve Olasılık

İpuçları

1
Önce tüm 3 basamaklı, rakamları farklı sayıların sayısını (örnek uzay) bulun. Yüzler basamağına 0 gelemeyeceğini unutmayın.
2
İstenen durum için sayı hem çift olmalı hem de yüzler basamağı 2, 3 veya 4 olmalıdır. Yüzler basamağına çift sayı gelmesi ile tek sayı gelmesi durumlarını ayrı ayrı inceleyin.
3
Yüzler basamağı 2 veya 4 olduğunda birler basamağı için kaç seçenek kalıyor? Yüzler basamağı 3 olduğunda kaç seçenek kalıyor? Bu iki durumu toplayarak istenen durum sayısını bulun.

Alternatif Yöntem

Tüm >200 olan sayıları bulup (Yüzler 2,3,4 -> 3*4*3=36 tane), bunlardan tek olanları çıkararak da çiftleri bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

Sonlu bir E={e1,e2,e3,e4,e5}E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} örnek uzayında tanımlı PP olasılık fonksiyonu, her k∈{1,2,3,4,5}k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} değeri için

P(ek)=c⋅2kP(e_k) = c \cdot 2^k

eşitliğini sağlamaktadır (burada cc bir gerçel sayıdır).

Buna göre, bu örnek uzayda tanımlı A={e2,e4}A = \{e_2, e_4\} olayının gerçekleşme olasılığı P(A)P(A) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1031\frac{10}{31}

Cevap

A olayının olasılığı 10/31'dir.
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Verilen P(ek)=c⋅2kP(e_k) = c \cdot 2^k bağıntısı kullanılarak toplam hesaplandığında c(2+4+8+16+32)=62c=1c(2+4+8+16+32) = 62c = 1 eşitliğinden c=1/62c=1/62 bulunur. İstenen A={e2,e4}A=\{e_2, e_4\} olayı için olasılıklar toplamı P(e2)+P(e4)=4c+16c=20cP(e_2) + P(e_4) = 4c + 16c = 20c olur. Değer yerine yazıldığında 20/6220/62, sadeleştirildiğinde ise 10/3110/31 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık aksiyomu gereği, örnek uzaydaki tüm basit olayların olasılıkları toplamının 1'e eşit olması kuralını uygula.
∑k=15P(ek)=1  ⟹  c(21+22+23+24+25)=1\sum_{k=1}^{5} P(e_k) = 1 \implies c(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) = 1
Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı daima 1'dir.
2
Parantez içindeki geometrik toplamı hesaplayarak sabiti (c) bul.
2+4+8+16+32=62  ⟹  62c=1  ⟹  c=1622 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 \implies 62c = 1 \implies c = \frac{1}{62}
Olasılık fonksiyonunun tam olarak tanımlanabilmesi için orantı sabiti bulunmalıdır.
3
İstenen A olayının olasılığını, kümeyi oluşturan elemanların olasılıklarını toplayarak hesapla.
P(A)=P(e2)+P(e4)=c⋅22+c⋅24=c(4+16)=20cP(A) = P(e_2) + P(e_4) = c \cdot 2^2 + c \cdot 2^4 = c(4 + 16) = 20c
Ayrık olayların birleşiminin olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.
4
Bulunan c değerini yerine yazarak sonucu sadeleştir.
P(A)=20⋅162=2062=1031P(A) = 20 \cdot \frac{1}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}
Sonuç en sade haliyle ifade edilmelidir.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).
Soru 15Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için aşağıdaki olasılık eşitlikleri verilmiştir:

P(A∖B)=16P(A \setminus B) = \frac{1}{6}
P(B∖A)=14P(B \setminus A) = \frac{1}{4}
P(A∪B)=3⋅P(A∩B)P(A \cup B) = 3 \cdot P(A \cap B)

Buna göre, AA olayının gerçekleşme olasılığı (P(A)P(A)) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8}

Cevap

38\frac{3}{8}
Kümeler teorisine göre P(A∪B)P(A \cup B), üç ayrık kümenin olasılıkları toplamı olarak yazılabilir: P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B). Verilen değerler ve P(A∪B)=3P(A∩B)P(A \cup B) = 3 P(A \cap B) eşitliği kullanıldığında, kesişim olasılığı 5/245/24 olarak bulunur. P(A)P(A) değeri, P(A∖B)P(A \setminus B) ile kesişimin toplamı olduğundan 1/6+5/24=3/81/6 + 5/24 = 3/8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeler teorisindeki birleşim formülünü ayrık parçalar cinsinden ifade etme
P(A∪B)=P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B)
Birleşim kümesi; yalnızca A'da olanlar, yalnızca B'de olanlar ve her ikisinde olanların (kesişim) toplamından oluşur.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyarak kesişim olasılığını (xx) bulma
3x=16+14+x⇒2x=512⇒x=5243x = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + x \Rightarrow 2x = \frac{5}{12} \Rightarrow x = \frac{5}{24}
P(A∩B)=xP(A \cap B) = x denilirse, soruda verilen P(A∪B)=3xP(A \cup B) = 3x eşitliği kullanılarak denklem çözülür.
3
AA olayının olasılığını hesaplama
P(A)=P(A∖B)+P(A∩B)=16+524=424+524=924=38P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{4}{24} + \frac{5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
AA olayı, A∖BA \setminus B fark kümesi ile A∩BA \cap B kesişim kümesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Küme İşlemleri İlişkisi
Soru 16Soru →
Tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olan E={x∈Z:∣x∣≤2}E = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\} örnek uzayı üzerinde tanımlı bir PP olasılık fonksiyonu, her x∈Ex \in E için aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere;
P({x})=a⋅∣x∣+bP(\{x\}) = a \cdot |x| + b
biçiminde veriliyor.

P({0})=19P(\{0\}) = \frac{1}{9} olduğuna göre, P({x∈E:x≥1})P(\{x \in E : x \ge 1\}) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49\frac{4}{9}

Cevap

49\frac{4}{9}
Olasılık fonksiyonunun en temel özelliği, örnek uzaydaki tüm elemanların olasılıkları toplamının 1 olmasıdır. E={−2,−1,0,1,2}E=\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi için toplam olasılık yazıldığında aa katsayısı bulunur. Daha sonra istenen durum olan x=1x=1 ve x=2x=2 için fonksiyon değerleri toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayını liste yöntemiyle yaz
E={−2,−1,0,1,2}E = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
Mutlak değeri 2 veya 2'den küçük olan tam sayıları belirlemek için.
2
Verilen P({0})P(\{0\}) değerinden bb sabitini bul
P({0})=a⋅∣0∣+b=b=19P(\{0\}) = a \cdot |0| + b = b = \frac{1}{9}
Fonksiyondaki bilinmeyenlerden birini belirlemek için.
3
Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitle ve aa değerini bul
∑P(x)=1  ⟹  P(−2)+P(−1)+P(0)+P(1)+P(2)=1\sum P(x) = 1 \implies P(-2)+P(-1)+P(0)+P(1)+P(2) = 1. Simetriden yararlanarak: 2(2a+b)+2(a+b)+b=1  ⟹  6a+5b=12(2a+b) + 2(a+b) + b = 1 \implies 6a + 5b = 1. b=1/9b=1/9 yerine konulursa 6a=1−5/9=4/9  ⟹  a=2276a = 1 - 5/9 = 4/9 \implies a = \frac{2}{27}.
Fonksiyonu tam olarak tanımlamak için.
4
İstenen olayın (x≥1x \ge 1) olasılığını hesapla
P(x≥1)=P(1)+P(2)=(a+b)+(2a+b)=3a+2bP(x \ge 1) = P(1) + P(2) = (a+b) + (2a+b) = 3a + 2b. Değerleri yerine koy: 3(227)+2(19)=627+29=29+29=493(\frac{2}{27}) + 2(\frac{1}{9}) = \frac{6}{27} + \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir (P(E)=1P(E)=1).

İpuçları

1
Önce örnek uzayı EE'nin elemanlarını açıkça yazınız. ∣x∣≤2|x| \le 2 şartını sağlayan kaç tane tam sayı var?
2
Bir örnek uzayda tanımlı olasılık fonksiyonu için, tüm noktaların olasılıkları toplamı ∑P(x)=1\sum P(x) = 1 olmalıdır. Bu eşitliği kullanarak aa sayısını bulunuz.
3
Simetriyi kullanabilirsiniz: ∣−2∣=∣2∣|-2|=|2| ve ∣−1∣=∣1∣|-1|=|1| olduğu için P(−2)=P(2)P(-2)=P(2) ve P(−1)=P(1)P(-1)=P(1)'dir. Toplam denkleminde b=1/9b=1/9 değerini yerine koyup aa'yı çekiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu P(x)=k⋅x2P(x) = k \cdot x^2 fonksiyonu ile çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir madeni para ile bir zarın birlikte havaya atılması deneyinde, paranın tura veya zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3/4

Cevap

3/4
İstenen durum 'Paranın tura gelmesi (A) VEYA zarın asal gelmesi (B)' dir. Bu iki olay birbirinden bağımsızdır ancak ayrık değildir (aynı anda gerçekleşebilirler). Bu nedenle P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) formülü kullanılır. P(A)=1/2, P(B)=3/6=1/2 ve P(A ∩ B)=1/4 olduğundan, sonuç 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve örnek uzayı tanımla.
Örnek Uzay (E): Para (2 durum) x Zar (6 durum) = 12 durum.
A Olayı: Paranın Tura gelmesi.
B Olayı: Zarın Asal sayı gelmesi.
Olasılık hesabı için tüm durumların sayısı ve istenen durumların tanımlanması gerekir.
2
Ayrı ayrı olasılıkları hesapla.
P(A) = 1/2 (Para Tura).
Zardaki asallar {2, 3, 5} olduğundan, P(B) = 3/6 = 1/2.
Birleşim formülünü kullanmak için tekil olasılıklar gereklidir.
3
Kesişim olasılığını (A ve B) hesapla.
Olaylar bağımsız olduğundan P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 1/2 . 1/2 = 1/4.
Para ve zar atışı bağımsız olaylardır; 'veya' formülünde kesişim çıkarılmalıdır.
4
Birleşim formülünü uygula (P(A ∪ B)).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 1 - 1/4 = 3/4.
Ayrık olmayan olaylarda birleşim olasılığı, olasılıkların toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Birleşim Olasılığı

İpuçları

1
Para ve zar atılması olayları bağımsızdır ancak aynı anda gerçekleşebilirler (ayrık değildirler).
2
'Veya' bağlacı kullanıldığında birleşim kümesi formülünü (P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)) hatırlayınız.
3
Paranın tura gelme olasılığı 1/2, zarın asal (2,3,5) gelme olasılığı 1/2'dir. İkisinin aynı anda olma olasılığını (1/4) toplamdan çıkarınız.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: İstenmeyen durum 'Paranın yazı VE zarın asal olmaması' durumudur. P(Yazı)=1/2, P(Asal Değil)=3/6=1/2. İstenmeyen durum olasılığı = 1/2 * 1/2 = 1/4. İstenen = 1 - 1/4 = 3/4.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Bir kamu kurumunun kırtasiye deposunda bulunan özdeş kalem kutularının renklerine göre sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kalem Kutusu RengiSayısı
Kırmızı88
Mavi1212
Yeşil44

Buna göre, bu depodan rastgele seçilen bir kalem kutusunun yeşil renkli olmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56\frac{5}{6}

Cevap

Beş bölü altı (56\frac{5}{6})
Toplam 2424 adet kalem kutusu bulunmaktadır. Bu kutulardan yeşil olmayanların sayısı (kırmızı ve mavi kutuların toplamı) 8+12=208 + 12 = 20 adettir. Rastgele seçilen bir kutunun yeşil olmama olasılığı 2024\frac{20}{24} olarak bulunur. Bu kesir 44 ile sadeleştirildiğinde 56\frac{5}{6} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kalem kutusu sayısını (örnek uzay) hesapla
8+12+4=248 + 12 + 4 = 24
Olasılık hesabında paydaya yazılacak olan tüm durumların sayısını belirlemek gerekir.
2
Yeşil olmayan kalem kutularının sayısını (istenen durum) hesapla
8+12=208 + 12 = 20 (veya 24−4=2024 - 4 = 20)
Yeşil olmama durumu, kutunun kırmızı veya mavi olması anlamına gelir.
3
Olasılık değerini bul ve sadeleştir
2024=56\frac{20}{24} = \frac{5}{6}
Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Tümleyen Olay

İpuçları

1
Önce depoda bulunan tüm kalem kutularının toplam sayısını hesaplayarak işe başlayın.
2
"Yeşil olmama" durumu, seçilen kutunun ya kırmızı ya da mavi olması gerektiğini belirtir.
3
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığını, 11 tamdan o olayın gerçekleşme olasılığını çıkararak da bulabilirsiniz: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir zar atıldığında 'asal sayı gelmeme' olasılığını hesaplayarak tümleyen olay kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yeşil olma olasılığı P(Yes¸il)=424=16P(\text{Yeşil}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} olarak bulunur. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 11 olduğu için, yeşil olmama olasılığı 1−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} şeklinde hesaplanabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için P(A)=23P(A) = \frac{2}{3} ve P(B)=14P(B) = \frac{1}{4} olasılık değerleri verilmiştir.

Buna göre, A∪BA \cup B olayının gerçekleşme olasılığının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [23,1112][\frac{2}{3}, \frac{11}{12}]

Cevap

A \cup B olayının olasılığı [\frac{2}{3}, \frac{11}{12}] aralığındadır.
İki olayın birleşiminin olasılığı, kesişimlerinin büyüklüğüne bağlı olarak değişir. P(A∪B)P(A \cup B) ifadesinin en büyük olması için olayların mümkün olduğunca ayrık olması gerekir (P(A∩B)=0P(A \cap B)=0). Bu durumda toplam 1112\frac{11}{12} olur. En küçük olması için ise olayların mümkün olduğunca iç içe geçmesi gerekir (B, A'nın alt kümesi). Bu durumda birleşim büyük kümeye (P(A)=23P(A)=\frac{2}{3}) eşit olur. Dolayısıyla aralık [23,1112][\frac{2}{3}, \frac{11}{12}]'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim formülünü ve değişkenleri tanımla.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=23+14−P(A∩B)=1112−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - P(A \cap B) = \frac{11}{12} - P(A \cap B)
Birleşim olasılığını bulmak için genel olasılık toplama kuralı kullanılır.
2
Kesişim olasılığının (P(A∩B)P(A \cap B)) alabileceği minimum ve maksimum değerleri belirle.
Minimum P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 (Ayrık olaylar), Maksimum P(A∩B)=14P(A \cap B) = \frac{1}{4} (B kümesi A'nın alt kümesi).
P(A)+P(B)=11/12<1P(A)+P(B) = 11/12 < 1 olduğundan olaylar ayrık olabilir (kesişim 0). Kesişim en fazla küçük küme kadar olabilir (P(B)P(B)).
3
Bulunan sınırları birleşim formülünde yerine koyarak aralığı hesapla.
Maksimum B için (kesişim 0 iken): 11/12−0=11/1211/12 - 0 = 11/12. Minimum B için (kesişim 1/41/4 iken): 11/12−3/12=8/12=2/311/12 - 3/12 = 8/12 = 2/3.
Birleşim olasılığı, kesişim en az olduğunda en büyük; kesişim en çok olduğunda en küçük değerini alır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Sınırları ve Kümeler Teorisi İlişkisi

İpuçları

1
Birleşim formülünü hatırlayın: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
2
Birleşimin en büyük olması için kesişimin en küçük (0); birleşimin en küçük olması için kesişimin en büyük olması gerekir.
3
P(A)+P(B)=11/12P(A) + P(B) = 11/12 değeri 1'den küçüktür, yani bu olaylar tamamen ayrık olabilir. Ayrıca P(B)<P(A)P(B) < P(A) olduğu için B kümesi tamamen A'nın içinde olabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

1'den nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış topların bulunduğu bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Bu deneyde her bir topun çekilme olasılığının, o topun üzerinde yazan sayı ile doğru orantılı olduğu belirlenmiştir. Çekilen topun numarasının tek sayı olma olasılığı 511\frac{5}{11} olduğuna göre, torbadaki toplam top sayısı (nn) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Torbadaki toplam top sayısı 10'dur.
Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Olasılıklar sayılarla orantılı olduğundan, ağırlıklı bir örnek uzay söz konusudur. nn sayısı çift (2m2m) olduğunda, tek sayı gelme olasılığı m2m+1\frac{m}{2m+1} formülü ile ifade edilir. Bu ifade 511\frac{5}{11}'e eşitlendiğinde m=5m=5 ve dolayısıyla n=10n=10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun yapısını belirle.
P(k)=c⋅kP(k) = c \cdot k. Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır: ∑k=1nc⋅k=1\sum_{k=1}^n c \cdot k = 1.
Her bir çıktının olasılığı numarasıyla orantılıdır.
2
Orantı sabiti cc'yi nn cinsinden ifade et.
c⋅n(n+1)2=1⇒c=2n(n+1)c \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1 \Rightarrow c = \frac{2}{n(n+1)}.
1'den n'ye kadar olan sayıların toplam formülü kullanılarak cc bulunur.
3
nn sayısının tek veya çift olma durumuna göre 'Tek Sayı Gelme Olasılığını' (P(Tek)P(Tek)) formüle et.
Durum 1 (n=2mn=2m çift ise): Tek sayılar 1,3,…,2m−11, 3, \dots, 2m-1. Toplamları m2m^2. P(Tek)=c⋅m2=m2m+1P(Tek) = c \cdot m^2 = \frac{m}{2m+1}. Durum 2 (n=2m−1n=2m-1 tek ise): Tek sayılar 1,3,…,2m−11, 3, \dots, 2m-1. Toplamları m2m^2. P(Tek)=m2m−1P(Tek) = \frac{m}{2m-1}.
Tek sayıların toplamı, terim sayısının karesine eşittir.
4
Verilen olasılık değeri 511\frac{5}{11} ile denklemleri çöz.
Durum 1 için: m2m+1=511⇒11m=10m+5⇒m=5\frac{m}{2m+1} = \frac{5}{11} \Rightarrow 11m = 10m + 5 \Rightarrow m=5. Buradan n=2m=10n = 2m = 10. (Durum 2 denenirse m=−5m=-5 çıkar, geçersizdir).
Elde edilen mm değeri pozitif tam sayı olmalıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Olasılık Fonksiyonu ve Ardışık Sayı Toplamları
Sayfa 1 / 2Sonraki