Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için A \subset B bağıntısı olduğu bilinmekted… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için $A \subset B$ bağıntısı olduğu bilinmektedir.

Bu olayların olasılıkları

x

bir gerçel sayı olmak üzere;

P(A) = 1 - 3x

P(B) = 2x + \frac{1}{5}

eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, $x$ değerinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]$ Cevap
B
$\left[ 0, \frac{1}{3} \right]$
C
$\left[ \frac{4}{25}, \frac{2}{5} \right]$
D
$\left[ 0, \frac{2}{5} \right]$
E
$\left[ \frac{1}{5}, \frac{1}{3} \right]$

Cevap

\left[ \frac{4}{25}, \frac{1}{3} \right]

Doğru cevap, olasılık aksiyomları ve alt küme özelliğinin kesişim kümesidir.

P(A)

P(B)

'nin

[0,1]

aralığında olması gerekliliği bize

[0, 1/3]

[-0.1, 0.4]

aralıklarını verir. Ancak sorudaki kritik bilgi

A \subset B

olmasıdır, bu da

P(A) \le P(B)

zorunluluğunu getirir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x \ge 4/25

bulunur. Tüm bu şartların aynı anda sağlandığı en geniş aralık alt sınırdan

4/25

, üst sınırdan

1/3

ile sınırlıdır.

Adım Adım Çözüm

Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarını (0 ≤ P(E) ≤ 1) her iki olay için de uygula.

P(A) için:

0 \le 1-3x \le 1 \Rightarrow 0 \le x \le \frac{1}{3}

. P(B) için:

0 \le 2x + \frac{1}{5} \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{10} \le x \le \frac{2}{5}

Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında (sınırlar dahil) olmalıdır.

Alt küme (

A \subset B

) ilişkisinden doğan kısıtlamayı (

P(A) \le P(B)

) uygula.

1 - 3x \le 2x + \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{4}{5} \le 5x \Rightarrow x \ge \frac{4}{25}

Olasılık fonksiyonunun monotonluk özelliği gereği, A olayı B'nin alt kümesi ise A'nın olasılığı B'den büyük olamaz.

Bulunan tüm eşitsizlik aralıklarının kesişimini (ortak çözüm kümesini) bul.

Alt sınırlar:

\max(0, -\frac{1}{10}, \frac{4}{25}) = \frac{4}{25}

. Üst sınırlar:

\min(\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) = \frac{1}{3}

x değeri tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Monotonluk İlkesi

İpuçları

Herhangi bir olayın olasılığı en az 0, en çok 1 olabilir. Bu kuralı hem

P(A)

hem de

P(B)

için ayrı ayrı yazarak x için ilk sınırları bulun.

A

kümesi

B

kümesinin alt kümesi (

A \subset B

) ise,

A

'nın gerçekleşme olasılığı

B

'nin gerçekleşme olasılığından büyük olamaz (

P(A) \le P(B)

Üç tane eşitsizlik bulmalısınız: 1)

P(A) \ge 0

, 2)

P(B) \le 1

, 3)

P(A) \le P(B)

. Bu üç eşitsizliği de aynı anda sağlayan x aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Ayrık iki olay (

A \cap B = \emptyset

) verildiğinde

P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1

eşitsizliğinin çözümünü gerektiren soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Grafik Yöntemi:

y_1 = 1-3x

y_2 = 2x + 0.2

doğrularını koordinat düzleminde çizip,

0 \le y_1 \le y_2 \le 1

bölgesinde kalan x aralığını görsel olarak tespit edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru