Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Kenar uzunlukları 66 cm, 88 cm ve 1010 cm olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi (O1O_1 merkezli) çiziliyor. Daha sonra, üçgenin dik köşesi ile bu iç teğet çember arasına; hem dik kenarlara hem de iç teğet çembere teğet olacak şekilde O2O_2 merkezli daha küçük bir çember yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen bu küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. 6−426 - 4\sqrt{2}Cevap
  2. B
    3−223 - 2\sqrt{2}
  3. C
    4−224 - 2\sqrt{2}
  4. D
    22−22\sqrt{2} - 2
  5. E
    22

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 6−426 - 4\sqrt{2} cm'dir.
Büyük çemberin yarıçapı 2 cm olarak bulunur. Köşedeki küçük çember ile büyük çember arasındaki teğetlik ilişkisi ve köşeye olan uzaklıklar kullanılarak denklem kurulduğunda yarıçap 6−426 - 4\sqrt{2} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) hesapla.
r1=6+8−102=2r_1 = \frac{6+8-10}{2} = 2 cm.
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} formülüyle veya Alan = u⋅ru \cdot r bağıntısıyla bulunur.
2
Çember merkezlerinin dik köşeye olan uzaklıklarını ifade et.
∣BO1∣=r12=22|B O_1| = r_1\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ve ∣BO2∣=r22|B O_2| = r_2\sqrt{2}.
Çemberler eksenlere teğet olduğunda merkezler açıortay (45°) üzerindedir ve köşeye uzaklık r2r\sqrt{2} olur.
3
Merkezler arası uzaklık bağıntısını kur ve denklemi oluştur.
∣BO1∣=∣BO2∣+∣O2O1∣⇒22=r22+(2+r2)|B O_1| = |B O_2| + |O_2 O_1| \Rightarrow 2\sqrt{2} = r_2\sqrt{2} + (2 + r_2).
Çemberler birbirine dıştan teğet olduğundan merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına (r1+r2r_1 + r_2) eşittir.
4
Oluşan denklemden r2r_2 değerini çöz.
22−2=r2(2+1)⇒r2=2(2−1)2+12\sqrt{2} - 2 = r_2(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}.
r2r_2 parantezine alıp yalnız bırakma işlemi.
5
Paydayı rasyonel yaparak sonucu sadeleştir.
r2=2(2−1)22−1=2(3−22)=6−42r_2 = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}.
Köklü ifadelerde paydayı eşlenik ile çarparak sadeleştirme.

Anahtar Kavram

İç Teğet Çember ve Teğet Çemberler Geometrisi

İpuçları

1
Önce 6-8-10 üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapını (r1r_1) bulunuz. Dik üçgenler için r=(a+b−c)/2r = (a+b-c)/2 formülünü hatırlayın.
2
Çemberlerin merkezleri ile üçgenin dik köşesi aynı doğru üzerindedir (açıortay). Bu doğru üzerinde uzaklıkları yazarak bir eşitlik kurmayı deneyin.
3
Dik köşeye BB dersek, ∣BO1∣=∣BO2∣+∣O1O2∣|BO_1| = |BO_2| + |O_1O_2| olmalıdır. ∣BO∣=r2|BO| = r\sqrt{2} ve ∣O1O2∣=r1+r2|O_1O_2| = r_1 + r_2 bağıntılarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içine yerleştirilen sonsuz çember serisi için çalışarak geometrik dizi toplamlarını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir. Köşeye olan uzaklıkların oranı yarıçapların oranına eşittir: r2r1=r22r12\frac{r_2}{r_1} = \frac{r_2\sqrt{2}}{r_1\sqrt{2}}. Bu yöntem daha karmaşık olabilir, uzaklık denklemi daha doğrudandır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru