Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKoşullu Olasılık

Sağlık Bakanlığı tarafından ithal edilen tıbbi cihazlar üzerinde yapılan kalite kontrol denetimlerinde, cihazların teknik şartnameye uygun olup olmadığı test edilmektedir. İthal edilen cihazların 110\frac{1}{10}'unun teknik şartnameye uygun olmadığı (kusurlu olduğu) bilinmektedir.

Denetimlerde kullanılan test cihazı:
* Gerçekte kusurlu olan cihazların 1920\frac{19}{20}'sini doğru bir şekilde "kusurlu" olarak tespit etmekte,
* Gerçekte sağlam (şartnameye uygun) olan cihazların ise 120\frac{1}{20}'sini hatalı bir şekilde "kusurlu" olarak etiketlemektedir.

Buna göre, test cihazı tarafından "kusurlu" olarak etiketlenen rastgele seçilmiş bir tıbbi cihazın, gerçekte sağlam olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    120\frac{1}{20}
  2. 928\frac{9}{28}Cevap
  3. C
    1928\frac{19}{28}
  4. D
    920\frac{9}{20}
  5. E
    1920\frac{19}{20}

Cevap

Test sonucunda kusurlu etiketlenen cihazın aslında sağlam olma olasılığı 928\frac{9}{28}'dir.
Soru bizden, bir cihazın 'kusurlu' olarak etiketlendiği bilindiğinde, bu cihazın aslında 'sağlam' olma olasılığını istemektedir. Bu, klasik bir koşullu olasılık problemidir. Toplamda her 200 cihazdan 19 tanesi gerçekten kusurlu olduğu için, 9 tanesi ise sağlam olduğu halde yanlışlıkla kusurlu etiketlenir. Yani toplam 28 cihaz 'kusurlu' etiketini alır. Bu 28 cihazdan 9'u aslında sağlamdır. Cevap 928\frac{9}{28}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.
KK: Cihaz Kusurlu, SS: Cihaz Sağlam, EE: Etiket Kusurlu. Verilenler: P(K)=110P(K) = \frac{1}{10}, P(S)=910P(S) = \frac{9}{10}. Koşullu olasılıklar: P(E∣K)=1920P(E|K) = \frac{19}{20}, P(E∣S)=120P(E|S) = \frac{1}{20}.
Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözüm yolunu netleştirir.
2
Kusurlu olarak etiketlenme durumunun gerçekleşebileceği iki farklı yolu (dalı) hesapla.
1. Yol (Gerçekten Kusurlu ve Tespit Edildi): P(K∩E)=110⋅1920=19200P(K \cap E) = \frac{1}{10} \cdot \frac{19}{20} = \frac{19}{200}.
2. Yol (Sağlam ama Yanlış Etiketlendi): P(S∩E)=910⋅120=9200P(S \cap E) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{20} = \frac{9}{200}.
Bayes teoremi veya ağaç diyagramı mantığıyla, sonucun (etiketin) ortaya çıkabileceği tüm ayrık olasılıkları bulmamız gerekir.
3
Toplam 'Kusurlu Etiketlenme' olasılığını (P(E)P(E)) bul.
Toplam Olasılık = 19200+9200=28200\frac{19}{200} + \frac{9}{200} = \frac{28}{200}.
Örnek uzayımızı artık sadece 'kusurlu etiketlenenler' ile sınırlıyoruz.
4
İstenen koşullu olasılığı hesapla: P(Sag˘lam∣Etiket)=P(Sag˘lam∩Etiket)P(ToplamEtiket)P(Sağlam | Etiket) = \frac{P(Sağlam \cap Etiket)}{P(Toplam Etiket)}.
9/20028/200=928\frac{9/200}{28/200} = \frac{9}{28}.
Kusurlu etiketlenenler içinde, hatayla etiketlenmiş olan sağlam cihazların oranını buluyoruz.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi)

İpuçları

1
Örnek uzayınızı (tüm durumları) 'test sonucunda kusurlu etiketlenen tüm cihazlar' olarak sınırlayın.
2
Bir ağaç diyagramı çizin: İlk dalda cihazın gerçek durumu (Kusurlu/Sağlam), ikinci dalda test sonucu (Etiketli/Etiketsiz) olsun.
3
200 adet hayali cihaz olduğunu varsayın. Bunların kaçı gerçekten kusurludur? Kaçı sağlamdır? Bu gruplardan kaçar tanesi 'kusurlu' etiketi alır? Hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir senaryoda, testin pozitif çıkması durumunda hastalığın gerçekte var olma olasılığını soran bir soru çözün.

Alternatif Yöntem

Sayı Verme Yöntemi: Toplam 200 cihaz olsun. 20'si kusurlu (1/10), 180'i sağlamdır. Kusurluların 19/20'si yani 19'u etiketlenir. Sağlamların 1/20'si yani 180/20 = 9'u etiketlenir. Toplam etiketlenen = 19 + 9 = 28. Bunlardan sağlam olanlar = 9. Olasılık = 9/28.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru