Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

Üçgen biçimindeki bir park arazisi (ABCABC), taban kenarı olan BCBC'ye paralel çekilen iki çit (DEDE ve FGFG) ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. AA köşesi arazinin en üst noktası olup, DEDE çiti tepeye daha yakındır.

Bu işlem sonucunda oluşan üç bölgenin (tepe üçgeni, orta şerit ve alt şerit) alanları birbirine eşittir.

BCBC taban uzunluğu 60 metre olduğuna göre, tabana daha yakın olan FGFG çitinin uzunluğu kaç metredir?

  1. A
    20320\sqrt{3}
  2. B
    40
  3. 20620\sqrt{6}Cevap
  4. D
    30230\sqrt{2}
  5. E
    45

Cevap

Tabana yakın olan çitin (FGFG) uzunluğu 20620\sqrt{6} metredir.
Soruda verilen paralel çitler (DEDE ve FGFG), büyük üçgen (ABCABC) ile benzer küçük üçgenler (ADEADE ve AFGAFG) oluşturur. Üç bölgenin alanları eşit olduğundan, tepeden itibaren kümülatif alanlar sırasıyla SS, 2S2S ve 3S3S olur. Bizden istenen FGFG çiti, alanı 2S2S olan ortadaki üçgenin tabanıdır. Büyük üçgenin alanı ise 3S3S'tir. Benzerlik kuralına göre, alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: (∣FG∣∣BC∣)2=2S3S\left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2 = \frac{2S}{3S}. Buradan ∣FG∣60=23\frac{|FG|}{60} = \sqrt{\frac{2}{3}} bulunur. İşlemi yaparsak ∣FG∣=60⋅63=206|FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi geometrik olarak modelle ve alanları tanımla.
Üç bölgenin alanları eşittir (SS). Tepe üçgeni (ADEADE) alanı SS, ortadaki (AFGAFG) toplam alanı 2S2S, en büyük üçgen (ABCABC) toplam alanı 3S3S olur.
Paralel doğrularla oluşan üçgenlerde temel benzerlik teoremini uygulayabilmek için kümülatif alanları bulmalıyız.
2
İstenen çit (FGFG) ile taban (BCBC) arasındaki benzerlik ilişkisini kur.
AFGAFG üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Alanlar oranı Alan(AFG)Alan(ABC)=2S3S=23\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \frac{2S}{3S} = \frac{2}{3} tür.
Tabana paralel doğrular benzer üçgenler oluşturur.
3
Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.
Benzerlik oranı (kk), alan oranının kareköküdür: k=23=23k = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Bu yüzden uzunluk oranı için karekök alırız.
4
FGFG uzunluğunu hesapla.
∣FG∣∣BC∣=23  ⟹  ∣FG∣=60⋅23\frac{|FG|}{|BC|} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies |FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. Paydayı rasyonel yapmak için 3\sqrt{3} ile genişletirsek: 60⋅63=20660 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}.
Orantıyı çözerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralel doğrular gördüğünüzde 'Temel Benzerlik Teoremi'ni hatırlayın. Ayrıca üçgenleri parça parça değil, tepeden başlayarak iç içe geçmiş (kümülatif) üçgenler olarak düşünün (ADEADE, AFGAFG, ABCABC).
2
Bölgelerin alanları eşit olduğuna göre; en küçük üçgenin alanı SS ise, ortadaki üçgenin (AFGAFG) alanı S+S=2SS+S=2S, en büyük üçgenin (ABCABC) alanı S+S+S=3SS+S+S=3S olur.
3
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının (kenarlar oranının) karesine eşittir. Yani Alan(AFG)Alan(ABC)=(∣FG∣∣BC∣)2\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2 formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, alanlar oranı yerine kenar uzunlukları oranı verilip alan sorulan versiyonuyla (örneğin kenarlar 1/3 oranında ise alanlar oranı 1/9'dur) pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözüm: Alanı 3S3S olan üçgenin tabanı 60 ise, alan formülünden h⋅60/2=3Sh \cdot 60 / 2 = 3S diyerek yükseklik ile alan ilişkisi kurulabilir, ancak benzerlik oranı kuralı (Alan ∝k2\propto k^2) en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru