Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Benzerlik

ABC bir üçgendir. [AB][AB] kenarı üzerinde bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerinde bir EE noktası belirlenerek, [BC][BC] kenarına paralel olacak şekilde [DE][DE] doğru parçası çiziliyor. Ardından, EE noktasından [AB][AB] kenarına paralel ikinci bir doğru çiziliyor ve bu doğru [BC][BC] kenarını FF noktasında kesiyor.

Oluşan şekil üzerinde A(△ADE)=4 cm2A(△ ADE) = 4 \text{ cm}^2 ve A(△EFC)=36 cm2A(△ EFC) = 36 \text{ cm}^2 olarak ölçülmüştür.

Buna göre, DBFEDBFE paralelkenarının alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    12
  2. 24Cevap
  3. C
    40
  4. D
    48
  5. E
    64

Cevap

Paralelkenarın alanı 24 cm² dir.
Paralelkenar ve üçgen kombinasyonlarında, uçlardaki üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamı, büyük üçgenin alanının kareköküne eşittir. Stoplam=4+36=8\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 8 ise toplam alan 64'tür. Üçgenler (4+36=40) çıkarıldığında geriye 24 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirle.
DE//BCDE // BC ve EF//ABEF // AB olduğundan, \u0026#9651; ADE \sim \u0026#9651; ABC ve \u0026#9651; EFC \sim \u0026#9651; ABC benzerlikleri vardır.
Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.
2
Benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (k2k^2). Bu yapıdaki özel bir teorem gereği, A(ABC)=A(ADE)+A(EFC)\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{A(ADE)} + \sqrt{A(EFC)} eşitliği geçerlidir.
∣DE∣∣BC∣=4Stoplam\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{4}{S_{toplam}}} ve ∣FC∣∣BC∣=36Stoplam\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{36}{S_{toplam}}} olup, ∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣|BC| = |BF| + |FC| ve ∣BF∣=∣DE∣|BF|=|DE| (paralelkenar) eşitliğinden bu sonuç türetilir.
3
Toplam alanı hesapla.
A(ABC)=4+36=2+6=8\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 2 + 6 = 8 olduğundan, A(ABC)=82=64 cm2A(ABC) = 8^2 = 64 \text{ cm}^2 dir.
Köklerin toplamının karesi toplam alanı verir.
4
Paralelkenarın alanını bul.
A(DBFE)=A(ABC)−[A(ADE)+A(EFC)]=64−(4+36)=64−40=24 cm2A(DBFE) = A(ABC) - [A(ADE) + A(EFC)] = 64 - (4 + 36) = 64 - 40 = 24 \text{ cm}^2.
Toplam alandan bilinen üçgen alanları çıkarılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralel doğruların oluşturduğu küçük üçgenler (ADEADE ve EFCEFC), büyük üçgen (ABCABC) ile benzerdir.
2
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2). Kenar uzunlukları cinsinden benzerlik oranlarını yazmayı deneyin.
3
Pratik yol: Bu tür şekillerde paralelkenarın alanı Sp=2S1⋅S2S_{p} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2} formülü ile de hesaplanabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının verildiği ancak alanın sorulduğu tersine problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül: Paralelkenarın alanı Spara=2S1⋅S2S_{para} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2} dir. Burada S1=4,S2=36S_1=4, S_2=36 olduğundan, Spara=24⋅36=2⋅12=24S_{para} = 2\sqrt{4 \cdot 36} = 2 \cdot 12 = 24 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Benzerlik

Bu konudan daha fazla soru