Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Şekilde O merkezli, [OA][OA] ve [OB][OB] yarıçaplı bir çeyrek daire ile [OA][OA] çaplı yarım daire verilmiştir. Bu çeyrek dairenin içine; [OB][OB] yarıçapına, çeyrek daire yayına ve [OA][OA] çaplı yarım daireye teğet olacak şekilde MM merkezli küçük bir çember çizilmiştir.

∣OA∣=12|OA| = 12 cm olduğuna göre, MM merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    2
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    2√3
  5. E
    3√2

Cevap

M merkezli çemberin yarıçapı 3 cm'dir.
Soruda verilen geometrik yapıda, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları oluşturulduğunda iki adet dik üçgen bağıntısı ortaya çıkar. O merkezli çeyrek dairenin yarıçapı R=12R=12 cm, yarım dairenin yarıçapı 66 cm ve aranan çemberin yarıçapı rr'dir. Yarım dairenin merkezi KK olsun. MM merkezinden tabana inilen dikme hh uzunluğunda olsun. OKMOKM üçgeninde ve OMOM doğrusu üzerinde kurulan Pisagor bağıntıları çözüldüğünde genel kural olarak R=4rR=4r bağıntısı bulunur. 12=4r12 = 4r olduğundan r=3r=3 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Şekli analitik düzlemde veya dik üçgenler yardımıyla modelle.
O noktası (0,0), OA yarıçapı x ekseni üzerinde olsun. Büyük yarıçap R=12 cm. M merkezli çemberin yarıçapına r diyelim.
Teğet çember problemlerinde merkezleri birleştiren doğrular en temel çözüm yoludur.
2
M merkezinin koordinatlarını ve uzaklık bağıntılarını belirle.
M çemberi [OB] kenarına (y ekseni) teğet olduğundan M'nin apsisi r olur. M(r, h) diyelim. O noktasına uzaklığı (R-r), [OA] üzerindeki yarım dairenin merkezi K'ya uzaklığı (R/2 + r) olur.
İçten teğet çemberlerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar farkı, dıştan teğetlerde ise yarıçaplar toplamıdır.
3
Merkezler arası uzaklıklar için Pisagor bağıntılarını yaz.
1. O-M uzaklığı için: r2+h2=(R−r)2r^2 + h^2 = (R-r)^2
2. K-M uzaklığı için (K noktası (6,0) noktasındadır): (r−6)2+h2=(6+r)2(r-6)^2 + h^2 = (6+r)^2
İki bilinmeyenli (r ve h) iki denklem elde ederek çözüme ulaşmak için.
4
İkinci denklemden h kareyi çek ve birinci denklemde yerine koy.
2. denklemden: h2=(6+r)2−(r−6)2=(12)(2r)=24rh^2 = (6+r)^2 - (r-6)^2 = (12)(2r) = 24r.
1. denklemde yerine koy: r2+24r=(12−r)2⇒r2+24r=144−24r+r2r^2 + 24r = (12-r)^2 \Rightarrow r^2 + 24r = 144 - 24r + r^2.
Değişkenleri yok ederek r değerini bulmak için.
5
Elde edilen denklemi çöz.
24r=144−24r⇒48r=144⇒r=324r = 144 - 24r \Rightarrow 48r = 144 \Rightarrow r = 3.
Sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Teğet Çemberlerde Merkezlerin Birleştirilmesi

İpuçları

1
Teğet olan çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru parçalarını çizmeyi deneyin.
2
Küçük çemberin merkezi M, yarım dairenin merkezi K ve çeyrek dairenin merkezi O olsun. M noktasının K ve O noktalarına olan uzaklıklarını r cinsinden yazın.
3
Küçük çemberin merkezinin O noktasına uzaklığı (12−r)(12-r), K noktasına uzaklığı (6+r)(6+r) olacaktır. Bu iki uzunluğu kullanarak iki farklı Pisagor bağıntısı kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu, yarım daire yerine iki eş çeyrek daire arasına sıkışmış tam daire için çözün.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Özel Durum): Bu geometri kalıbında (Çeyrek daire içine, bir kenarı çap kabul eden yarım daire ve araya sıkışan tam daire), büyük yarıçap daima küçük yarıçapın 4 katıdır (R=4rR = 4r).
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru