Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:
s(A)=14 s(A) = 14
s(A′)=20 s(A') = 20
s(B)=16 s(B) = 16
s(A∖B)=8 s(A \setminus B) = 8

Buna göre, s(A′∩B′)s(A' \cap B') değeri kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    14

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 10'dur.
Soruyu çözmek için önce evrensel kümenin eleman sayısı bulunur: s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34. Daha sonra AA kümesinin eleman sayısı formülünden kesişim kümesi elde edilir: s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)⇒14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) \Rightarrow 14 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6. Birleşim kümesi formülü ile s(A∪B)=14+16−6=24s(A \cup B) = 14 + 16 - 6 = 24 bulunur. Son olarak, De Morgan kuralı gereği s(A′∩B′)=s((A∪B)′)s(A' \cap B') = s((A \cup B)') olduğundan, bu değer evrensel kümeden birleşim kümesinin çıkarılmasıyla 34−24=1034 - 24 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Evrensel kümenin eleman sayısını bulmak için s(A)s(A) ve s(A′)s(A') değerlerini toplayın.
s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34
Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi oluşturur.
2
A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) eşitliğini kullanın.
14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=614 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6
AA kümesi, AA'nın BB'den farkı ile kesişimlerinin birleşimidir.
3
A∪BA \cup B birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=14+16−6=24s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 14 + 16 - 6 = 24
Birleşim formülü: İki kümenin eleman sayıları toplamından kesişimleri çıkarılır.
4
De Morgan kuralını kullanarak s(A′∩B′)s(A' \cap B') ifadesini s((A∪B)′)s((A \cup B)') olarak yazın ve sonucu bulun.
s((A∪B)′)=s(E)−s(A∪B)=34−24=10s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 34 - 24 = 10
İstenen ifade, birleşim kümesinin tümleyenine eşittir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Kümelerde Kardinalite Problemleri

İpuçları

1
Öncelikle s(E)=s(A)+s(A′)s(E) = s(A) + s(A') eşitliğini kullanarak evrensel kümenin eleman sayısını bulunuz.
2
s(A∖B)s(A \setminus B) bilgisini kullanarak s(A∩B)s(A \cap B) değerini hesaplayınız.
3
De Morgan kuralını hatırlayınız: A′∩B′=(A∪B)′A' \cap B' = (A \cup B)'. Bu nedenle önce s(A∪B)s(A \cup B) değerini bulup evrensel kümeden çıkarınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak üç küme içeren veya alt küme bağıntısı verilen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgeye değişken atayınız (x, y, z, t). x+z=14x+z=14, y+t=20y+t=20 (A dışı), z+y=16z+y=16 (B), x=8x=8 (A fark B). Bu denklem sistemini çözerek tt (A' kesişim B') değerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru