Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin, çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık kaç cm'dir?

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    2
  3. 5\sqrt{5}Cevap
  4. D
    3
  5. E
    222\sqrt{2}

Cevap

İki merkez arasındaki uzaklık \sqrt{5} cm'dir.
Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin hipotenüsü 10'dur. Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin merkezi ise dik köşeden (r, r) yani (2, 2) koordinatındadır. Koordinat sisteminde dik köşeyi (0,0) kabul edersek, İç Merkez I(2,2) ve Çevrel Merkez O(4,3) olur. İki nokta arası uzaklık formülünden: \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hipotenüs uzunluğunu ve çevrel çemberin yarıçapını (R) belirle.
Hipotenüs = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 cm. Çevrel çemberin yarıçapı R = 5 cm (hipotenüsün yarısı).
Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçap hipotenüsün yarısıdır.
2
İç teğet çemberin yarıçapını (r) hesapla.
r = (a + b - c) / 2 formülünden, r = (6 + 8 - 10) / 2 = 2 cm.
Dik üçgenlerde iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
3
Merkezler arası uzaklığı (d) hesapla. (Yöntem 1: Euler Teoremi)
d² = R(R - 2r) formülünde yerine koyarsak: d² = 5(5 - 2(2)) = 5(1) = 5. Buradan d = \sqrt{5} cm.
Üçgenlerde çevrel çember merkezi ile iç teğet çember merkezi arasındaki uzaklık Euler teoremi ile hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ilişki ve Euler teoremi.

İpuçları

1
Önce 6-8-10 üçgeninin hipotenüsünü bulun. Çevrel çemberin merkezi dik üçgende nerede bulunur?
2
Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin yarıçapını r = (a+b-c)/2 formülüyle bulabilirsiniz.
3
Dik köşeyi orijin (0,0) kabul edin. İç teğet çemberin merkezi (r, r), çevrel çemberin merkezi ise (a/2, b/2) değildir; hipotenüsün ortasıdır. Koordinatları belirleyip uzaklık formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu çeşitkenar bir üçgen için Euler teoremini kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi yerine doğrudan Euler Teoremi kullanılabilir: d² = R(R - 2r). Burada R=5 ve r=2 değerleri yerine konularak d² = 5(5-4) = 5 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru