E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri için, \left[ (A \setminus B)' \cap … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

E

evrensel kümesinin boştan farklı

A

B

alt kümeleri için,

\left[ (A \setminus B)' \cap (A \cap B) \right] \cup (B \setminus A)

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A
$A$
$B$ Cevap
C
$A \cap B$
D
$B \setminus A$
E
$A \cup B$

Cevap

İfadenin en sade hali

B

kümesidir.

Verilen ifadede öncelikle fark işleminin tümleyeni alınır:

(A \setminus B)' = A' \cup B

. Bu ifade ile

(A \cap B)

kesiştirildiğinde,

(A \cap B)

kümesi

A' \cup B

kümesinin bir alt kümesi olduğu için sonuç yine

(A \cap B)

olur. Son adımda,

B

kümesinin

A

ile olan kesişimi

(A \cap B)

ile

B

kümesinin

A

farkı

(B \setminus A)

birleştirilir. Bir kümenin kesişim bölgesi ile fark bölgesinin birleşimi, o kümenin kendisine (

B

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

Parantez içindeki

(A \setminus B)'

ifadesini De Morgan kuralı ile açalım.

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

Fark işlemi

A \setminus B = A \cap B'

olarak yazılabilir ve ardından tümleyeni alınır.

Köşeli parantez içindeki kesişim işlemini dağılma özelliği veya alt küme ilişkisi ile sadeleştirelim:

(A' \cup B) \cap (A \cap B)

A \cap B

(A \cap B)

kümesi hem

B

'nin hem de

A

'nın alt kümesidir. Dolayısıyla

(A' \cup B)

kümesinin de alt kümesidir. Bir kümenin, kendisini kapsayan bir küme ile kesişimi kendisine eşittir.

Elde edilen sonucu dışarıdaki ifade ile birleştirelim:

(A \cap B) \cup (B \setminus A)

B

(A \cap B)

B

kümesinin

A

ile ortak olan kısmıdır.

(B \setminus A)

ise

B

kümesinin

A

ile ortak olmayan kısmıdır. Bu iki ayrık parçanın birleşimi

B

kümesinin kendisini verir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işleminin tümleyeni ve dağılma özellikleri kullanılarak yapılan cebirsel sadeleştirme.

İpuçları

Önce parantez içindeki

(A \setminus B)'

ifadesini, fark işlemini kesişime çevirerek

(A \cap B')'

şeklinde düşünün ve De Morgan kuralını uygulayın.

Bulduğunuz

(A' \cup B)

ifadesi ile

(A \cap B)

ifadesinin kesişimini düşünün.

(A \cap B)

kümesi,

(A' \cup B)

kümesinin içinde midir?

Elde ettiğiniz

(A \cap B)

kümesi ile

(B \setminus A)

kümesini birleştirin.

B

kümesinin

A

ile ortak olan kısmı ve

A

ile ortak olmayan kısmının birleşimi neyi verir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

(A \cup B)' \cap (A' \setminus B)

ifadesinin sadeleştirilmesini içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgeyi numaralandırabilirsiniz.

(A \setminus B)'

bölgesi,

A

fark

B

dışındaki her yerdir. Bu bölge ile

A \cap B

kesiştiğinde sadece kesişim bölgesi kalır. Son olarak bu bölgeye

B \setminus A

eklenirse

B

kümesinin tamamı elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru