Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÇember ve Daire

Alt ve üst taban uzunlukları sırasıyla 1515 cm ve 1010 cm olan bir ABCDABCD dik yamuğu, kenarlarına içten teğet olan OO merkezli bir çemberi çevrelemektedir. Buna göre, yamuğun alanı ile çemberin alanı arasındaki fark kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. 150−36π150 - 36\piCevap
  2. B
    125−25π125 - 25\pi
  3. C
    300−36π300 - 36\pi
  4. D
    150−12π150 - 12\pi
  5. E
    144−36π144 - 36\pi

Cevap

Yamuğun alanı 150150, çemberin alanı 36π36\pi olduğundan fark 150−36π150 - 36\pi bulunur.
Soruda verilen şekil bir teğetler dörtgeni olduğundan, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir. Tabanlar toplamı 10+15=2510+15=25 olduğundan, yükseklik (hh) ile eğik kenarın (xx) toplamı da 2525 olmalıdır (h+x=25⇒x=25−hh+x=25 \Rightarrow x=25-h). Dik yamuk içinde oluşturulan dik üçgende, dik kenarlar hh ve taban farkı olan 55 birimdir. Pisagor bağıntısı h2+52=(25−h)2h^2 + 5^2 = (25-h)^2 çözüldüğünde yükseklik h=12h=12 bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda çemberin çapıdır, yani yarıçap r=6r=6'dır. Yamuğun alanı 10+152⋅12=150\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150, çemberin alanı π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi olarak hesaplanır. Aradaki fark 150−36π150 - 36\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.
Yamuğun paralel olmayan kenarlarının toplamı, paralel kenarlarının toplamına eşittir: h+∣BC∣=10+15=25h + |BC| = 10 + 15 = 25. Buradan ∣BC∣=25−h|BC| = 25 - h bulunur.
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.
2
Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kur.
Dik köşeden tabana dikme inildiğinde oluşan dik üçgenin kenarları: hh, (15−10)=5(15-10)=5 ve hipotenüs (25−h)(25-h) olur. Denklem: h2+52=(25−h)2h^2 + 5^2 = (25-h)^2.
Yamuğun yüksekliğini bulmak için dik üçgen yardımıyla denklem kurulmalıdır.
3
Denklemi çözerek yüksekliği ve yarıçapı bul.
h2+25=625−50h+h2⇒50h=600⇒h=12h^2 + 25 = 625 - 50h + h^2 \Rightarrow 50h = 600 \Rightarrow h = 12 cm. Çemberin çapı yüksekliğe eşit olduğundan 2r=12⇒r=62r = 12 \Rightarrow r = 6 cm.
Dik yamukta iç teğet çemberin çapı, yamuğun yüksekliğine eşittir.
4
Alanları hesapla ve farkı bul.
Yamuk Alanı: 10+152⋅12=150\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150. Çember Alanı: π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi. Fark: 150−36π150 - 36\pi.
Sonuç için her iki geometrik şeklin alan formülleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı eşittir ve dik yamukta yükseklik iç teğet çemberin çapıdır.

İpuçları

1
Şekil bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeninin en önemli kenar özelliğini hatırlayın: Karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşittir.
2
Yamuğun yüksekliğine hh deyin. Dik kenar aynı zamanda yüksekliktir. Diğer (eğik) yan kenarı hh cinsinden ifade etmek için teğetler dörtgeni özelliğini (a+c=b+da+c = b+d) kullanın.
3
Tabanların farkı 55'tir. Dik yamukta dik inerek bir dik üçgen oluşturun. Bu üçgenin kenarları hh, 55 ve hipotenüsü (25−h)(25-h) olacaktır. Pisagor bağıntısı ile hh'yi bulun.

Alternatif Yöntem

5-12-13 özel üçgenini deneyerek de bulunabilir. Taban farkı 5 olduğundan, kenarları 5, 12, 13 olan dik üçgen yamuğun kesilen kısmı olabilir. Bu durumda yükseklik 12 olur.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru