Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇember ve Daire

Bir belediyenin altyapı çalışmaları kapsamında kullanılan dairesel kesite sahip bir atık su borusunun yarıçapı 66 birimdir. Borunun içinden geçen suyun üst yüzeyinin genişliği (kiriş uzunluğu) 636\sqrt{3} birim olarak ölçülmüştür.

Borunun yarısından azının dolu olduğu bilindiğine göre, borunun dolu kısmının kesit alanı kaç birimkaredir?

  1. 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}Cevap
  2. B
    12π+9312\pi + 9\sqrt{3}
  3. C
    6π−936\pi - 9\sqrt{3}
  4. D
    24π−9324\pi - 9\sqrt{3}
  5. E
    36π−12336\pi - 12\sqrt{3}

Cevap

Dolu kısmın alanı 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} birimkaredir.
Soruda verilen su dolu kısım bir 'daire kesmesi'dir. Bu alanı bulmak için, kirişin uç noktalarını merkeze birleştirerek oluşan daire diliminin alanından, ortada kalan üçgenin alanı çıkarılmalıdır. Kenar uzunlukları 6,6,636, 6, 6\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı 120∘120^\circ'dir. 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanı 12π12\pi, üçgenin alanı ise 939\sqrt{3} birimkaredir. Sonuç bu iki değerin farkıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri geometrik şekle dök ve üçgen oluştur.
Merkez OO, yarıçap r=6r=6 ve kiriş ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3}. OABOAB üçgeni oluşur.
Daire kesmesi (dolu kısım) alanını bulmak için daire dilimi ve üçgen alanına ihtiyaç vardır.
2
Merkez açıyı hesapla.
Kenarlar 66, 66 ve 636\sqrt{3} olduğundan bu bir 30−30−12030-30-120 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ'dir.
x3x\sqrt{3} özelliği, ikizkenar üçgende tepe açısının 120∘120^\circ olduğunu gösterir.
3
Daire diliminin alanını hesapla.
Alan = π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
Daire dilimi alanı formülü: πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360}.
4
Üçgenin alanını hesapla.
Alan(OABOAB) = 12⋅6⋅6⋅sin⁡(120∘)=18⋅32=93\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
Sinüs alan formülü: 12a⋅b⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\alpha).
5
Dolu kısmın (daire kesmesi) alanını bul.
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}.
Daire kesmesi alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Anahtar Kavram

Daire Kesmesi Alanı

İpuçları

1
Suyun üst yüzeyi bir kiriş oluşturur. Bu kirişin uçlarını dairenin merkeziyle birleştirerek bir üçgen ve daire dilimi elde etmeye çalışın.
2
Oluşan üçgenin kenarları yarıçap (66) ve kiriş (636\sqrt{3}) uzunluklarıdır. Bu kenar uzunlukları size merkez açının kaç derece olduğunu söyler (30−30−12030-30-120 üçgenini hatırlayın).
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru